1、22.2反证法反证法学习导航学习导航新知初探思维启动新知初探思维启动1反证法反证法假设原命题假设原命题_，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_错错误，从而证明了误，从而证明了_成立，这种证明方法叫做反证法成立，这种证明方法叫做反证法不成立不成立假设假设原命题原命题想一想想一想2.“反证法反证法”与与“证逆否命题证逆否命题”有什么主要区别？有什么主要区别？提示：提示：(1)两种证法的逻辑原理不同两种证法的逻辑原理不同“反证法反证法”的原理是命题与命题的否定一真的原理是命题与命题的否定一真一假，一假，“证逆否命题证逆否命题”的原理是命题与其逆否命题的等价
2、性的原理是命题与其逆否命题的等价性(即同真假即同真假)(2)两种证明的推理形式不同，证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出两种证明的推理形式不同，证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛条件的反面成立而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾盾2反证法常见矛盾类型反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、已知条件、公理、定义、定理及明显成立的事实或自相矛盾等公理、定义、定理及明显成立的事实或自相矛盾等题型三用反证法
3、证明题型三用反证法证明(或解答或解答)“至多至多”或或“至少至少”类命题类命题例例3【名师点评名师点评】(1)要想得到原命题的反面，必须先弄清原命题的含义，即要想得到原命题的反面，必须先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大不能缩小也不能扩大)例例1结结束束【名师点评名师点评】(1)当结论为否定形式的命题时，通过反设，转化为肯定性命当结论为否定形式的命题时，通过反设，转化为肯定性命题题可作为条件应用进行推理可作为条件应用进行推理，因此对此类问题用反证法很方便，因此对此类问题用反证法很方便(2)用反证法证明问题的一般步骤：用反证法证明问题的一般步骤：假设
4、命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确题型四用反证法证明唯一性命题题型四用反证法证明唯一性命题 若函数若函数f(x)在区间在区间a，b上的图象连续不断开，且上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，且且f(x)在在a，b上单调递增，上单调递增，求证：求证：f(x)在在(a，b)内有且只有一个零点内有且只有一个零点【证明证明】由于由于f(x)在在a，b上的图象连续不断开上的图象连续
5、不断开,且且f(a)0,f(b)0，即，即f(a)f(b)0，所以所以f(x)在在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为内至少存在一个零点，设零点为m，则，则f(m)0，假设假设f(x)在在(a，b)内还存在另一个零点内还存在另一个零点n，即，即f(n)0，例例2则则nm.若若nm，则，则f(n)f(m)，即，即00，矛盾；，矛盾；若若nm，则，则f(n)f(m)，即，即00，矛盾，矛盾因此假设不正确，即因此假设不正确，即f(x)在在(a，b)内有且只有一个零点内有且只有一个零点【名师点评名师点评】证明证明“有且只有一个有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和的问题，需要证明两个命题
6、，即存在性和唯一性本例用直接证法中的综合法证明了存在性，反证法证明了唯一性唯一性本例用直接证法中的综合法证明了存在性，反证法证明了唯一性跟踪训练跟踪训练2(1)证明：方程证明：方程2x3有且只有一个根有且只有一个根证明：证明：(1)2x3，xlog23.这说明方程有一个根这说明方程有一个根下面用反证法证明方程下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的的根是唯一的假设方程假设方程2x3有两个根有两个根b1，b2(b1b2)，则则2b13,2b23.两式相除，得两式相除，得2b1b21.如果如果b1b20，则，则2b1b21，这与，这与2b1b21相矛盾；相矛盾；如果如果b1b20,2b1b21，这也
7、与，这也与2b1b21相矛盾相矛盾所以方程所以方程2x3有且只有一个根有且只有一个根用反证法证题时要把握三点：用反证法证题时要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论定结论,不从结论的反面出发进行论证不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法就不是反证法(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的理、公理相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的例例4本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束
