1、【答案】第 1 页 共 8 页 2023 年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试（二二）数学数学参考答案参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D D A A D B BC ACD BD BCD 13 14 15 16 8 3 或者*3()k kN 10 12；133212 17（1）11a，23a；（2）2122n 18（1）20010yx；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值 19（1）3A；（2）tan32BAD20（1）证明见解析；（2）66 21（1）24yx；（2）330 xy或330 xy 22（1）0
2、a；（2）证明见解析 1【答案】C 【解析】由题意得，(2i)(3i)7i1iia，故选：C 2【答案】B 【解析】因为*|32,Ax xnnN，6,7,10,11B，则7,10AB，故集合AB的元素个数为 2故选：B 3【答案】D 【解析】因为abb，所以0abb，所以20a bb，所以2a bb ，221cos,33bba ba bababb b ，故选 D 4【答案】D 【解析】由213339a，314428b，134c，则111334889ba，ca，又14223loglog 84b，13222loglog 43c，则22loglogcb，即cb，所以cba故选：D 5【答案】A 【解
3、析】如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球 O 的球心，且50ROB，40OO，所以50 2BC，2222504030O BROO，进而可得30 2B C ，取BC的中点为N，过B C 的中点P作PMON，连接PN，所以115 22OMO PB A，125 22ONBA，故10 2MNONOM，在直角三角形PMN中，40tan2 210 2PMPNMMN，故2 2sin3PNM，由于PNBC，ONBC，所以PNM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为2 23，故选：A 6【答案】A【解析】设过点,()0Aa且方向向量为(1,1)n 的光线，经直线yb 的点为B，右焦点为
4、C【答案】第 2 页 共 8 页 因为方向向量(1,1)n 的直线斜率为1，则45CAB，1ABk，又由反射光的性质可得1BCk，故ABBC，所以ABC为等腰直角三角形，且B到AC的距离为b，又ACca，故2acb，22222244()acacbac，则(35)()0ac ac，故35ac，离心率35cea故选：A 7【答案】D【解析】因为()3f xf恒成立，所以max()13ff x，即2sin13，所以22 32k或232,32kkZ，所以2 6k 或52,6kkZ，当2,6kk Z时，1()sin 22 62fk，3sin2 sin42632fk，则()4ff，与题意矛盾，当52,6k
5、kZ时，51()sin 22 62fk，553sin2 cos42662fk，符合题意，所以52,6kkZ，所以55()sin 22 sin 266f xxkx，令2 522 226kkx，得2,36Zxkkk，所以()f x的单调递增区间为2,()36Zkkk故选：D 8【答案】B【解析】因为()f x为偶函数，则()()f xfx，等式两边求导可得()()fxfx，因为函数()exfxx为偶函数，则()e()exxfxxfxx，联立可得ee()2xxfxx，令()()g xfx，则ee()1ee102xxxxg x，且()g x不恒为零，所以，函数()g x在R上为增函数，即函数()fx在
6、R上为增函数，故当0 x 时，()(0)0fxf，所以，函数()f x在0,)上单调递增，由(21)(1)faf a可得211fafa，所以，211aa，整理可得220aa，解得02a故选：B 9【答案】BC 【解析】记事件 A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第i台车床加工的零件，则1(|)8%P A B，2(|)3%P A B，3(|)2%P A B，1()10%P B，2()40%P B，3()50%P B，对于 A，任取一个零件是第 1 台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P ABP A B P B，故 A 错误；对于 B，任取一个零件是次品的概率为123(
7、)()()()8%10%3%40%2%50%0.03P AP ABP ABP AB，故 B 正确；对于 C，如果该零件是第 3 台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()1 2%0.98P A BP A B ，故 C 正确；对于 D，如果该零件是次品，那么它不是第 3 台车床加工出来的概率为 3333()(|)()2%50%21(|)11()()0.033P ABP A B P BP BAP AP A ，故 D 错误故选：BC 10【答案】ACD 【解析】显然24()14xf xx 是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为0,1，且a，bZ，则2a ，0,1,2b；1a，2b；0a，
8、2b 故选：ACD 11【答案】BD【答案】第 3 页 共 8 页【解析】双曲线的标准方程为22221xyaa，则222caaa，易知点1(2,0)Fa、2(2,0)Fa，双曲线的渐近线方程为yx 对于 A 选项，当BCx轴，直线BC的方程为2xa，联立2222xaxya，可得2xaya，此时，2BCa，则 11222246BFCFBFaCFaBCaa，此时，1BCF的周长为118BCBFCFa，A 错；对于 B 选项，因为双曲线关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线上，因为若直线OB交双曲线的左支于点E，则点B、E关于原点对称，即BE、12FF的中点均为原点，故四边形12BFEF为
9、平行四边形，所以，12/EFBF，即1/EFBC，B 对；对于 C 选项，易知OA的方程为yx，OD的方程为yx，所以，OAOD，因为直线l与双曲线的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为2xmya，则11m，设点11(,)B x y、22(,)C xy，联立2xmyayx可得21axym，即点22,11aaAmm，联立2xmyayx 可得21axm，21aym，即点22,11aaDmm，所以，221 11AaOAxm，22111DaODxm，所以，222221222211AODaaSOA ODamm，当且仅当0m 时，等号成立，C 错；对于 D 选项，12222ABBFAB
10、BFaAFa，2AF的最小值为点2F到渐近线的距离，为a，当2AF与渐近线垂直时，直线2AF与双曲线只有一个交点，所以不能取等号，所以13ABBFa，D正确 12【答案】BCD【解析】选项 A，因为CN 平面ABD，且,AN BN 平面ABD，所以CNAN，CNBN，所以当点P与点N重合时，APBP取得最小值，A 错误；若3CPPN，则点P为正四面体的中心，此时必有DP 平面ABC，B 正确；若DP 平面ABC，则是外接球的圆锥模型，圆锥底面半径2 33r，高66h，设外接球半径为R，则222()hRrR，代入并解得：223 624hrRh，外接球的表面积22472SR，C 正确；112 63
11、32 693MNACDNACDB ACDddd，D 正确 13【答案】8【解析】由X（单位：分）服从正态分布2(80,)N，知正态密度曲线的对称轴为80 x，成绩在80,90DBACEMNP【答案】第 4 页 共 8 页 上的学生人数为 16，由对称性知成绩在 80 分上的学生人数为 24 人，所以 90 分以上的学生人数为24 168 14【答案】3 或者*3()k kN【解析】二项式21nxx的展开式的通项为3121C(1)C,0,1,2,rrn rrrnrrnnTxxrnx，因为二项式21nxx的展开式中存在常数项，所以30nr有解，即3nr，可得 n 的一个值为 3 故答案为：3（答案
12、不唯一）15【答案】10【解析】由12a，m nmnaaa，令1m，则112nnaaa，所以数列na是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，即2(1)22nann，又k为正整数，所以122(1)440kka akk，即(1)110k k，解得10k 或11k （舍去）故答案为：10 16【答案】12#0.5 133212【解析】设(,)P x y，1(,)12d Q Pxy，当1,0 xy时，则112xy，即302xy，当1,0 xy 时，则112xy，即302xy，当1,0 xy时，则112xy，即102xy 当1,0 xy时，则112xy，即102xy，故点 P 的轨迹所围成图形如图阴影部
13、分四边形ABCD的面积：则111142222S 如下图，设00(,)P xy，11(,)M x y，显然10 xx，10yy，101010101100(,)()d P Mxxyyxxyyxyxy，求(,)d P M的最小值，即11xy的最小值，00 xy的最大值，又00max()32xy，下面求11xy的最小值，令111211yxyxx，3133112210 xyxx ，即1312x，令0y，解得：1312x，令0y，解得：1312x，所以y在13,2上单调递减，在132,上单调递增，所以1312x 时，y有最小值，且min2332y，所以13min23333(,)21222d P M故答案为
14、：12；133212 17【答案】（1）11a，23a；（2）2122n【解析】（1）由1(1)2nnnnaS 得212aa，即212aa，1 分 23242aS，即1324aaa，3 分 又30a，所以11a，23a 5 分【答案】第 5 页 共 8 页（2）当2nk时，22122kkkaS，6 分 当21nk时，221212kkkaS，7 分 两式相加可得22121221222kkkkkkaSaS，得2212121222322kkkkkaa，8 分 由于12nnnbaa，所以3254724622126(2)(2)(22)()nnnaaaaaabbbbaa 135213(2222)n 9 分
15、 212(14)3221 4nn 10 分 18【答案】（1）20010yx；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值【解析】（1）令1ux，则y关于u的线性回归方程为yu，1 分 由题意可得1221103502102001.60.910niniiiiu yuyuu，3 分 70200 0.310yx，4 分 则10200yu，5 分 所以y关于x的回归方程为20010yx 6 分（2）由20010yx可得20010 xy，7 分 年利润10Mmx8 分 2220020010010500251010yyyy 9 分 21(20)90.8500y，10 分 当20y 时，年利
16、润M 取得最大值，此时200200201020 10 xy，11 分 所以，当年技术创新投入为 20 千万元时，年利润的预报值取最大值 12 分 19【答案】（1）3A；（2）tan32BAD【解析】（1）因为coscosbAaBbc，由余弦定理可得22222222bcaacbbabcbcac，2 分 化简可得222bcabc，3 分 由余弦定理可得2221cos22bcaAbc，4 分 因为0A，所以3A 5 分（2）因为3cos3B，则B为锐角，所以2236sin1 cos133BB，6 分【答案】第 6 页 共 8 页 因为ABC，所以，23CB，所以222sinsinsincoscos
17、sin333CBBB 331616232326，(7 分)设BAD，则3CAD，在ABD和ACD中，由正弦定理得3sinsin6BDADADB，8 分 6sin36sin3CDADADC，9 分 因为2CDBD，上面两个等式相除可得6sin(36)sin3，10 分 得316cossin(36)sin22，即2cos(26)sin，11 分 所以2tantan3226BAD12 分 20【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】（1）证明：取1BC的中点M，连接DM，EM，因为点D是BC的中点，所以11/DMCCAA，则A，E，M，D四点共面1 分 因为/AD平面1BC E，平面AEMD平面
18、1BC EEM，所以/ADEM 2 分 因为ABAC，所以ADBC 3 分 在直三棱柱111ABCABC中，1CC 平面ABC，则1ADCC 又1BCCCC，BC 平面11BBC C，1CC 平面11BBC C，所以AD 平面11BBC C 4 分 所以EM 平面11BBC C又EM 平面1BC E，所以平面1BC E 平面11BBC C 5 分 （2）由（1）知ME 平面11BBC C，则111113BBC EB BCVSME，设2BCa，则BDa，29ADa，1112332B BCSaa，1122219939322BBC EaaVaa，7 分 由基本不等式知，当且仅当29aa时等号成立，即
19、三棱锥11BBC E的体积最大，【答案】第 7 页 共 8 页 此时，3 22a 8 分 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有3 2,0,02A，3 20,02C，3 20,02B，3 23,0,22E，13 20,32C，3 23 2,022AC，1(0,3 2,3)C B，3 23 2 3,222BE，9 分 设平面1BC E的一个法向量为111(,)xny z，则有1111113 2303 23 230222n C Byzn BExyz，取12y，解得(0,2,2)n，10 分 设直线AC与平面1BC E所成的角为，
20、36sincos,6324n AC，11 分 故直线AC与平面1BC E所成角的正弦值为6612 分 21【答案】（1）24yx；（2）330 xy或330 xy【解析】（1）设(,)P x y，则以PF为直径的圆的圆心为1,02x，1 分 根据圆与y轴相切，可得22111(1)222xPFxy，2 分 化简得24yx，所以C的方程为24yx4 分（2）由题意可知：直线l的斜率存在且不为 0，设直线l：:(1)l yk x，11(,)A x y，22(,)B xy，联立22222(1)2(2)04yk xk xkxkyx，所以21222(2)kxxk，121x x，5 分 设直线l的倾斜角为，
21、则tanAMAF，tanBNBF，6 分 所以tantantanAMBNAFBFABABk，7 分 所以2212222(2)4422kkABAFBFxxkk，8 分 由题意可知四边形为梯形，所以222318(1)22AMFBMFABkkSSSABAMBNk9 分 4238(21)kkk，(10 分)设0tk，则42338(21)21()8ttS ttttt，所以422442323()8 18ttS tttt【答案】第 8 页 共 8 页 24(1)(3)(3)8tttt，当3t，()0S t，()S t单调递增，当03t，()0S t，()S t单调递减，所以当3t 时，即3k 时，面积最小，
22、11 分 此时3k ，故直线的方程为：3(1)yx，即330 xy或330 xy12 分 22【答案】（1）0a；（2）证明见解析【解析】（2）令()ln(1)(1)h xxx x，则1()111xh xxx ，当10 x 时，()0h x，则函数()h x在()1,0上单调递增，当0 x 时，()0h x，则函数()h x在(0,)上单调递减，所以max()(0)0h xh，即ln(1)xx，1 分 所以当0a时，2ln(1)xxaxx，即()()f xg x，2 分 当0a 时，取010 xa，由于0ln(1)ln10 x，而2200110axxaaa，得2000ln(1)xaxx，故00
23、()()f xg x，不符合题意3 分 综上所述，0a 4 分（2）证明：当0a 时，由（1）可得ln(1)xx，则ln1xx，可得11ln1xx，即1ln1xx，即1ln1(1)xxx，5 分 令111tx，则1txt，所以1ln1ttt，即1lnln(1)(1)tttt，6 分 所以1ln()ln(1)nknknk，(0,1,2,)kn，7 分 令()sin(0)g xxx x，则()1 cos0g xx，且()g x不恒为零，所以，函数()g x在(0,)上单调递增，故()(0)0g xg，8 分 则sin(0)xx x，9 分 所以11sinln()ln(1)nknknknk，0,1,2,kn，10 分 所以111sinsinsin122nnn ln(1)lnln(2)ln(1)ln(2)ln(21)nnnnnn11 分 2ln(2)lnln2nnnn12 分
