1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点考点 1010平面向量的概念和运算平面向量的概念和运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB 的大小叫做向量的长度(或模)，记作 |AB |. (2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的 (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可 以移到同一直线上 规定：
2、0 与任一向量平行 (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (6) 相反向量： 与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量 规定零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的加法 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (2) 法则：三角形法则；平行四边形法则 (3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法 (1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2) 法则：三角形法则 (3) 运算律：aba(b) 4.向量的数乘 (1) 实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当0 时，a 与 a 的方向相同；
3、 当0 时，a 与 a 的方向相反；当0 时，a0. (2) 运算律：设、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab 5. 向量共线的判定定理 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线 6平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数1、2， 使 a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向
4、量的一组基底 一个平面向量 a 能用一组基底 e1，e2表示，即 a1e12e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 7平面向量的坐标运算 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x12y2y12. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， (3)若 a(x，y)，则a(x，y)；|a| x2y2. 8向量平行的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abab x1y2x2y10. 玩转典例 题型一题型一平面向量的
5、基本概念平面向量的基本概念 例例 1 给出下列命题： 向量AB 的长度与向量BA的长度相等； 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量一定是共线向量 其中不正确命题的个数为() A. 1B. 2C. 3D. 4 【解析】对于，在ABC 中，BA 与CA有公共终点 A，但不是共线向量，故错正确，故选 A. 例例 2 下列命题中，正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量AB 与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共
6、线； 如果 ab，bc，那么 ac； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 不正确，如果 b0，则 a 与 c 不一定平行； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小
7、题型题型二二平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例例 3（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，3BCCD ，则() A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 【答案】A 【解析】由 4414 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC ；故选：A 例例 4（2018新课标）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】在ABC中，AD为BC边上的中线，E
8、为AD的中点， 1 2 EBABAEABAD 11 () 22 ABABAC 31 44 ABAC ，故选：A 例例 5(2020威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xAEyAF(x，yR)， 则 xy_. 【解析】由题意得AE ABBEAB1 2AD ，AF AD DF AD 1 2AB ， 因为AB xAEyAF，所以ABxy 2 AB x 2yAD ， 所以 xy 21， x 2y0， 解得 x4 3， y2 3， 所以 xy2. 题型三题型三平面向量坐标运算平面向量坐标运算 例例 6（2015全国）设平面向量( 1,2)a ，(3, 2)
9、b ，则2(ab ) A(1,0)B(1,2)C(2,4)D(2,2) 【答案】B 【解析】平面向量( 1,2)a ，(3, 2)b ， 2( 2ab ，4)(3，2)(1，2)故选：B 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 例例 7（2015新课标）已知点(0,1)A，(3,2)B，向量( 4, 3)AC ，则向量(BC ) A( 7, 4)B(7,4)C( 1,4)D(1,4) 【答案】A 【解析】由已知点(0,1)A，(3,2)B，得到(3,1)AB ，向量( 4,
10、 3)AC ， 则向量( 7, 4)BCACAB ；故选：A 例例 8（2015江苏）已知向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9manb ，8)(m，)nR，则mn的值为 【答案】3 【解析】向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9, 8)manb 可得 29 28 mn mn ，解得2m ，5n ，3mn 故答案为：3 题型题型四四平面向量共线定理平面向量共线定理 例例 9 (新课标 II 理)设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 答案 1 2 【解析】向量 a，b 不平行，a2b0，又向量ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数，使ab (a2b)成立，
11、即aba2b，则得 ， 12， 解得1 2. 例例 10（2020上饶一模）已知, a b 是不共线的向量，OAab ，2OBab ，2OCab ，若A、B、 C三点共线，则、满足() A3B3C2D2 【解答】解：由OAab ，2OBab ，2OCab ， 所以(2)(1)ABOBOAab ，BCOCOBab 若A、B、C三点共线，则/ /ABBC ， 即(2)(1) ，化简得3故选：B 例例 11（2016全国）平面向量( ,3)ax 与(2, )by 平行的充分必要条件是() A0x ，0y B3x ，2y C6xy D6xy 【答案】C 【解析】由向量( ,3)ax 与(2, )by
12、平行，得6xy 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 平面向量( ,3)ax 与(2, )by 平行的充分必要条件是6xy 故选：C 例例 12(2018全国)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c 则() A. 1 4 B. 1 2 C1D2 答案B 解析可得 ab(1，2)，由(ab)c 得(1)4320，1 2. 玩转练习 1对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不
13、必要条件 答案A 解析若 a2b0，则 a2b，所以 ab.若 ab，则 a2b0 不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件 2已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则() AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线 答案B 解析BD BC CD 2a6b2AB ，BD 与AB 共线，由于BD 与AB 有公共点 B， 因此 A，B，D 三点共线，故选 B. 3.如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 那么EF 等于( ) A.1 2AB 1 3AD B.1
14、4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 答案D 解析在CEF 中，有EF EC CF .因为点 E 为 DC 的中点，所以EC 1 2DC . 因为点 F 为 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点，所以CF 2 3CB . 所以EF 1 2DC 2 3CB 1 2AB 2 3DA 1 2AB 2 3AD ，故选 D. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 4.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB
15、a，ACb，则AD 等于() Aa1 2b B.1 2ab Ca1 2b D.1 2ab 答案D 解析连接 OC， OD， CD， 由点 C， D 是半圆弧的三等分点， 可得AOCCODBOD60， 且OAC 和OCD 均为边长等于圆 O 半径的等边三角形，所以四边形 OACD 为菱形，所以AD AO AC 1 2AB AC 1 2ab，故选 D. 5已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2MN ，则 P 点的坐标为() A(8,1)B. 1，3 2 C. 1，3 2D(8，1) 答案B 解析设 P(x，y)，则MP (x3，y2)而1 2MN 1 2(8,1) 4，1 2 ， x34
16、， y21 2， 解得 x1， y3 2， P 1，3 2 .故选 B. 6(2020山西榆社中学诊断)若向量AB DC (2,0)，AD (1,1)，则AC BC等于( ) A(3,1)B(4,2)C(5,3)D(4,3) 答案B 解析AC AD DC (3,1)，又BD AD AB (1,1)，则BC BD DC (1,1)， 所以AC BC (4,2)故选 B. 7(2020海南联考)设向量 a(x，4)，b(1，x)，若向量 a 与 b 同向，则 x 等于() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，
17、更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A2B2C2D0 答案B 解析由向量 a 与 b 共线得x24，所以 x2.又向量 a 与 b 同向，所以 x2.故选 B. 8已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示 成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是() A(，2)B(2，) C(，)D(，2)(2，) 答案D 解析由题意知向量 a，b 不共线，故 2m3m2，即 m2. 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，AOC 4，且|OC| 2，若OC OA OB ，则等于(
18、) A2 2B. 2C2D4 2 答案A 解析因为|OC|2，AOC 4，所以 C( 2， 2)，又OC OA OB ， 所以( 2， 2)(1,0)(0,1)(，)，所以 2，2 2. 10(2020蚌埠期中)已知向量 m sin A，1 2 与向量 n(3，sin A 3cos A)共线，其中 A 是ABC 的内角， 则角 A 的大小为() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案C 解析mn，sin A(sin A 3cos A)3 20， 2sin2A2 3sin Acos A3，1cos 2A 3sin 2A3，sin 2A 6 1， A(0，)，2A 6 6， 11 6.因此
19、2A 6 2，解得 A 3，故选 C. 11若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 答案5 4 解析AB (a1,3)，AC(3,4)，根据题意知ABAC， 4(a1)3(3)，即 4a5，a5 4. 12设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案(4，2) 解析b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反， 设 a(2，)(0)|a|2 5，4
20、2220，24，2.a(4，2) 考点考点 1111平面向量数量积平面向量数量积 玩前必备 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，AOB(0180)叫作向量 a 与 b 的夹角，记作当0时，a 与 b 同向；当180时，a 与 b 反向；当90时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 ab. 2平面向量的数量积 已知两个向量a和b， 它们的夹角为， 我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)， 记作ab， 即ab|a|b|cos . 3平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b 的长
21、度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos 的乘积 注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos ab |a| ，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ab |b| ，投影是一个数量，它可 以为正，可以为负，也可以为 0. 4平面向量数量积的重要性质 (1) abab0； (2)当 a 和 b 同向时，ab|a|b|；当 a 和 b 反向时，ab|a|b|；特别地，aa |a|2，|a| aa； (3)cos ab |a|b|； 5平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1) abx1x2y1y2，(2) |a|2x12y12或|a
22、| x12y12.(3) abx1x2y1y20. (4) cos x1x2y1y2 x12y12 x22y22 玩转典例 题型题型一一平面向量数量积的计算平面向量数量积的计算 例例 1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4B2C2D4 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解答】解：直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点，且2BP
23、PA 如图所示： 121 333 CPCAABCACB ， 22 22 212121 () ()2204 333333 CP CACP CBCACBCACBCACBCA CB ， 故选：D 例例 2（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 【答案】 19 4 【解析】在ABC中，2AB ，3BC ，4AC ， 由余弦定理得， 222 416911 cos 222416 ABACBC BAC AB AC ， 1111 24 162 AB AC ，且D是BC的中点， 1 () 2 AD ABABACAB 21 () 2 ABAB AC 111 (4)
24、 22 19 4 例例 3（2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt ，| 1BC ，则(AB BC ) A3B2C2D3 【答案】C 【解析】(2,3)AB ，(3, )ACt ，(1,3)BCACABt ， | 1BC ，30t 即(1,0)BC ，则2AB BC 故选：C 例例 4（2018新课标）已知向量a ，b 满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4B3C2D0 【答案】B 【解析】向量a ，b 满足| 1a ，1a b ，则 2 (2)2213aabaa b ， 故选：B 题型二题型二利用数量积求模长利用数量积求模长 例例 5（2020香坊区模拟）已知
25、单位向量, a b 的夹角为，且 1 tan 2 ，若向量53mab ，则| (m ) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A2B3C26D2或26 【解答】解： 1 tan 2 ，0，为锐角， 2 5 cos 5 ，且| | 1ab ， 22 2 5 ( 53 )596 5146 5 1 12 5 maba b ， |2m 故选：A 例例 6（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac
26、 ，/ /bc ，则ab _. 【答案】 10 【解析】a c 220x 1x(1,1)a ， / /bc 420y2y (2, 2)b (3, 1)ab |ab 22 3110 。 题型题型三三利用数量积求夹角利用数量积求夹角 例例 7（2020临汾模拟）已知夹角为的向量a ，b 满足()2a ab ，且| 2| 2ab ，则向量a ，b 的关 系是() A互相垂直B方向相同C方向相反D成120角 【解答】解：由()2a ab ，可得 2 2aa b ，即 2 | cos2aab ， 即 2 22 1 cos2 ，所以cos1 ，即，所以a 、b 方向相反故选：C 例例 8 （2020江西省
27、南昌市新建二中高三二模 （理） ） 已知向量a ，b 满足1a ，1, 3b ， 若2aab ， 则a 与b 的夹角为_. 【答案】120 【解析】由2aab 知， 2 2aa b ，又1a ，即 2 1a 则 1a b ，所以 11 cos, 1 22 a b a b ab ，故夹角为120， 故答案为：120. 题型题型四四利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问题 例例 9（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量a ，b 满足|ab |=|，则“ 22abab ”是 “ab ”的（） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导
28、专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解: 【答案】C 【解析】 22 2222 |22224444ababababaa bbaa bb =， | | 0ab ，等价于0a bab ，故选 C。 例例 10（2020吉林省高三二模（理）已知(1,3),(2,2),( , 1)abcn ，若()acb ，则n等于（） A3B4C5D6 【答案】C 【解析】由题可知(1,4)acn ，因为()acb ，所以有122 40n ，得5n 。 题型题型五五利用数量积求射影利用数量积求射影 例例 1111(湖
29、北，7)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为() A. 3 2 2 B. 3 15 2 C3 2 2 D3 15 2 答案A 解析由已知得AB (2，1)，CD (5，5)，因此AB 在CD 方向上的投影为 AB CD |CD | 15 5 2 3 2 2 . 玩转练习 1.（2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD ，则AC AD 的值为() A3B8C12D16 【解答】解：在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD ， ()AC ADABBCAD (4)ABBD AD 4()ABAD
30、ABAD ( 34)ABAD AD 2 34AB ADAD 2 04216；故选：D 2.（2020内蒙古模拟）已知向量(1,2)ab ，( 3,0)ab ，则(a b ) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A1B1C3D3 【解答】解：因为(1,2)ab ，( 3,0)ab ， 2( 2a ，2)( 1,1)a ；2(4b ，2)(2,1)b ； ( 1)21 11a b ；故选：B 3（2020随州模拟）已知向量a ，b 满足| | 2aab ，向量b 在向量a
31、方向上的投影为 3，则向量a 与 向量b 的夹角为() A30B45C60D90 【解答】解：向量a ，b 满足| | 2aab ，向量b 在向量a 方向上的投影为 3， 设向量a 与向量b 的夹角为，则 222 24aaa bb ，| cos3b ， | 2 3b ，2 3cos3， 3 cos 2 ，30，故选：A 4（2020湘潭一模） 在平行四边形ABCD中，60BAD，3ABAD，E为线段CD的中点， 若6AE AB ， 则(AC BD ) A4B6C8D9 【解答】解：如图，设ADa； 由题得： 2 2 111 ()3cos60(3 )6 222 AE ABADAB ABAD AB
32、ABaaa ， 1a（负值舍）； 22 22 () ()138AC BDABADADABADAB ；故选：C 5 （2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120，(1)ctatb 若1a c 则实数t的 值为() A1B1C2D2 【解答】解：两个单位向量a ，b 的夹角为120， 1 2 a b ， 2 1a ，又(1)ctatb ，1a c ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2 1 (1) (1)(1)1 2 a tatbtata btt ，
33、解得1t 故选：A 6.（2020福州一模）已知两个单位向量 12 ,e e ，若 121 (2)eee ，则 12 ,e e 的夹角为() A 2 3 B 3 C 4 D 6 【解答】解：由题意得，两个单位向量 12 ,e e ， 因为 121 (2)eee ，所以 121 (2)0eee ，所以 2 112 21ee e ，所以 1 cose ， 12 2 12 1 2| e e e ee ， 又因为 1 e ， 2 0e ，所以 1 e ， 2 3 e ，故选：B 7.（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量a 和b 的夹角为 3 ，且2,3ab ，则 (2)(2 )ab a
34、b （） A10B7 C4D1 【答案】D 【解析】 22abab 22 23 2aa bb 8+3cos 3 a b 188+323 1 2 181， 故选 D。 8（2020江西省名高三第二次大联考（理）若1a ，2b ，则ab 的取值范围是（） A1,9B 1,9C1,3D1,3 【答案】C 【解析】设向量a ，b 的夹角为，因为1a ，2b ， 2 22 254cos1,9abaa bb ，则 2 1,3abab 。 9（2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理）已知在边长为 3 的等边ABC中， 1 2 BDDC ，则 AD AC （） A6B9C12D6 【答案】A 【解析】 玩转
35、数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1 ()() 3 AD ACABACBDABABCC 1 3 AB ACBACC 1 | |cos| |cos 3 ABACAACCBC 111 3 33 36 232 。 10（2020河南省实验中学高三二测（理）若| 3a ，| 2b ，237ab ，则a 与 b 的夹角为 _. 【答案】 3 【解析】设a 与b 的夹角为，则 222 |2 |4494 3 2 cos4 437abaa bb ，得 1 cos 2 ，所以 3 。 11
36、（2020北京市西城区高三一模）若向量 2 21axbx ， ，满足 3a b ，则实数x的取值范围是 _. 【答案】3,1 【解析】 2 21axbx ， ，故 2 23a bxx ，解得31x ，故答案为3,1。 12 （2020四川省成都市树德中学高三二诊 （理） ） 已知向量AB = （1， 2） ，AC = （-3， 1） ， 则AB BC =_ 【答案】-6 【解析】AB =（1，2），AC =（-3，1），BC ACAB =（-4，-1）， 则AB BC =1（-4）+2（-1）=-6。 13（2020广西师大附属外国语学校高三一模（理）已知, a b 为两个单位向量，且向量a
37、b 与b 垂直， 则23ab =_ 【答案】5 【解析】由题：向量a b 与b 垂直，0abb ，解得 1a b ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便你我，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以 2 22 232341295ababaa bb 。 14 （2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac ，/ /bc ，则ab _. 【答案】 10 【解析】a c 220x 1x(1,1)a ， / /bc 420y2y (2, 2)b (3, 1)ab |ab 22 3110 。 15.（2020福建省泉州市高三质检（理）已知向量,2ax
