1、随机过程随机过程第一章第一章 概率论基础概率论基础 1.1 概率空间概率空间 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1.4 特征函数、母函数特征函数、母函数 1.5 n维正态分布维正态分布 1.6 条件期望条件期望31.1 概率空间概率空间随机试验随机试验事件事件A事件事件B事件事件AB)(AP)(BP概率概率样本空间样本空间（可能结果的集合）（可能结果的集合）随机试验随机试验：可重复、可预见、不确定：可重复、可预见、不确定样本点样本点：基本事件：基本事件 e ;样本空间样本空间：随机试验所有可能结果的集合：随机试验所有可能结果的集合 ;事件事
2、件：A ;必然事件必然事件：;不可能事件不可能事件：;事件运算事件运算：并、交、差、：并、交、差、(上、下上、下)极限极限4 实例实例1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。面向上。=正面，反面正面，反面 实例实例2：连续抛掷两次硬币的实验。连续抛掷两次硬币的实验。=(正面正面,正面正面)，(正面正面,反面反面)，(反面反面,正面正面)，(反面反面,反面反面)注意注意:两次抛掷硬币的实验只能作为一次试验。两次抛掷硬币的实验只能作为一次试验。若事件若事件A表示表示“第一次出现正面第一次出现正面”，则，则 A=(正面正面,正面正面),(正面正面,反面反面)事件
3、事件B表示表示“两次出现同一面两次出现同一面”，B=(正面正面,正面正面),(反面反面,反面反面)5 实例实例3：抛掷一枚硬币，若出现反面，可以抛掷一枚硬币，若出现反面，可以再抛掷一次。再抛掷一次。实验过程可以用树状图表示：实验过程可以用树状图表示：于是样本空间为：于是样本空间为：=正面，正面，(反面反面,反面反面)，(反面反面,正面正面)正面反面正面反面6 实验实验4：连续投掷一枚硬币，直到出现正面连续投掷一枚硬币，直到出现正面为止。为止。若用若用“0”表示出现反面，表示出现反面，“1”表示出现正表示出现正面来记录每次投掷的结果，则这个试验的面来记录每次投掷的结果，则这个试验的可能结果有：可
4、能结果有：(第一次出现正面第一次出现正面)(第一次出现反面第一次出现反面,第二次正面第二次正面)(前前n-1次出现反面次出现反面,第第n次正面次正面)这个试验有无穷多个可能结果这个试验有无穷多个可能结果,样本空间样本空间:”“11 ”“012 ”“010 n,21n 7 实验实验5：若检查灯泡的使用寿命若检查灯泡的使用寿命(小时小时),那那么么0,+)中的每一个实数都有可能是某中的每一个实数都有可能是某一个灯泡的寿命，因而一个灯泡的寿命，因而 如果事件如果事件A=1500,+),则事件则事件A表示：表示：“使用寿命超过使用寿命超过1500小时小时”。),0 1.1 概率空间概率空间定义定义1.
5、1 -代数代数(事件域事件域)集合集合 的某些子集组成集合族的某些子集组成集合族F（1 1）F（必然事件）（必然事件）（2）若）若A F,则则 A F（对立事件）（对立事件）（3 3）若）若Ai F,i=1,2,i=1,2，则，则 F （可（可列并事件）列并事件）称称F为为-代数代数，（，（，F ）为）为可测空间可测空间1iiA 投掷一次骰子试验，投掷一次骰子试验，ei表示出现表示出现i点，点，=e1,e2,e3,e4,e5,e6F=，e1,e2,e3，e4,e5,e6，F为为-代数，（代数，（，F）为可测空间）为可测空间1.1 概率空间概率空间 ：连续投掷两次硬币试验：连续投掷两次硬币试验=
6、正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反1.1 概率空间概率空间F1=，正正正正，正反，反正，反反正反，反正，反反，F2=，正正正正，正反正反，正正，正反正正，正反，反反正，反反正，反反，正反，反正，反反正反，反正，反反，正正，反正正，反正，反反正，反反，正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反F3=，反正反正，反反反反，反正，反反反正，反反，正正正，正反正，正反，正正，正反，反反正正，正反，反反，正正，正正正，正反，反正反，反正，正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反F4=，正反正反，正正，反正，反反正正，反正，反反，Fi为为-代数，（代数，（，Fi）为可测空间）为可测空间F=
7、，正正正正，正反正反，反正反正，反反反反，正正，正反正正，正反，正正，反正正正，反正，正正，正正，反反反反，正反，反正正反，反正，正反，反反正反，反反，反正，反反反正，反反，正正，正反，反正正正，正反，反正，正正，正反，反反正正，正反，反反，正正，反正，反正正，反正，反反反，正反，反正，反反正反，反正，反反，正正，正正正，正反，反正，反反反，反正，反反 为可测空间为可测空间，（，（，F）为为-代数代数1.1 概率空间概率空间 可测空间的可测空间的性质性质设设（，F）为可测空间）为可测空间,则则（4）F（不可能事件）（不可能事件）（5）若）若A,B F,则则AB F（差事件）（差事件）（6 6）
8、若）若Ai F,则则 F （有限并，有限交，可列交事件）（有限并，有限交，可列交事件）111,iiniiniiAAA 定义定义1.2概率空间：概率空间：设设(,F)为可测空间为可测空间,映映射射P：F R，A|P(A)满足满足(1)任意任意A F，0 P(A)1(2)P()=1(3)称称P是是(,F)上的上的概率概率,(,F,P)为为概率空间概率空间，P(A)为事件为事件A的概率。的概率。),(,)(11jiAAAPPjiiiiiA 概率空间的概率空间的性质性质设设(,F,P)为概率空间，则为概率空间，则(4)P()=0(5)P(BA)=P(B)-P(A),(A B)(6)nnnnnnnnAA
9、AAPAAAAPAP211211,)(lim16 例例1 给掷一枚硬币的试验建立概率模型。给掷一枚硬币的试验建立概率模型。解：掷一枚硬币，有两个可能的结果：正解：掷一枚硬币，有两个可能的结果：正面和反面。若用面和反面。若用 表示正面，表示正面，表示反面，表示反面，则样本空间为：则样本空间为：事件为：事件为：根据定义和性质，得到根据定义和性质，得到概率实例：概率实例：1 2,21 ,2121 0)(,1),(21 PP 17 如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机会相同，于是会相同，于是 由可加性和归一性知由可加性和归一性知 由此可得：由此可得：于是概率为于是概
10、率为 显然，这样建立的概率满足三条公理。显然，这样建立的概率满足三条公理。1)()(),(2121 PPP,5.0)(,5.0)(21 PP)()(21 PP 0)(,5.0)(,5.0)(,1),(2121 PPPP 18 例例2 为依次抛掷三枚硬币的试验建立概率模型。为依次抛掷三枚硬币的试验建立概率模型。解解 用用“1”表示正面向上，表示正面向上，“0”表示反面向上，表示反面向上，样本空间为：样本空间为：(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1
11、),(0,0,0)(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)如果上述如果上述8种结果出现的可能性相同，根据可种结果出现的可能性相同，根据可加性和归一性，每个结果的概率为加性和归一性，每个结果的概率为 1/8.现利用三条公理建立概率：现利用三条公理建立概率：例如事件例如事件A表示表示“只有一次正面向上只有一次正面向上”，则，则 A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，19 于是于是 P(A)=P(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)=P(1,0,0)+P(0,1,0)+P(0,0,1)相似的，任何事件的概率等于相似的，任何事件的概率等于1/8乘上该事乘上该事件中包含的结果
12、的个数。件中包含的结果的个数。818181 83 20 例例3 有一枚骰子，偶数点出现的概率比奇数点有一枚骰子，偶数点出现的概率比奇数点出现的概率大一倍，而不同偶数点出现的概率出现的概率大一倍，而不同偶数点出现的概率相同，不同奇数点出现的的概率也相同。将这相同，不同奇数点出现的的概率也相同。将这枚骰子投掷一次，为这个试验建立概率模型，枚骰子投掷一次，为这个试验建立概率模型，并求点数小于并求点数小于4的概率。的概率。解解 设设Ai表示表示“出现出现i点点”,i=1,2，.，6，则样本空间为则样本空间为 根据可加性和归一性，有根据可加性和归一性，有 又根据题意，又根据题意，,.,621AAA 1)
13、(.)()(621 APAPAP)()()(531APAPAP )()()(642APAPAP 21 得出得出 点数小于点数小于4的概率为：的概率为：)()()(642APAPAP)()()(2531APAPAP ,91)()()(531 APAPAP92)()()(642 APAPAP94)()()(321 APAPAP22 例例4 若若A发生的概率为发生的概率为0.6,A与与B都发生的概率都发生的概率为为0.1,A与与B都不发生的概率为都不发生的概率为0.15，求，求(1)A发发生但生但B不发生的概率不发生的概率;(2)B发生但发生但A不发生的概不发生的概率率;(3)A与与B至至少有一个发
14、生的概率。少有一个发生的概率。解：样本空间可以用下面四个结果表示解：样本空间可以用下面四个结果表示AABBABBABABA,BABABAAB 23 由由A发生的概率为发生的概率为0.6，得：，得：A与与B都发生的概率为都发生的概率为0.1，得：，得：A与与B都不发生的概率为都不发生的概率为0.15，得：，得：结合归一化公式：结合归一化公式：得到：得到：,6.0)()(BAPABP,1.0)(ABP,15.0)(BAP1)()()()(BAPBAPBAPBAP1.0)(ABP5.0)(BAP25.0)(BAP15.0)(BAP24 于是：于是：（1）A发生发生B不发生的概率为：不发生的概率为：（
15、2）B发生发生A不发生的概率为：不发生的概率为：（3）A与与B至少有一个发生的概率为：至少有一个发生的概率为：5.0)(BAP25.0)(BAP85.0)(BAP)(BAP)(BAP条件概率、乘法公式、全概率公式条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式和贝叶斯公式 条件概率：条件概率：条件概率满足概率三条公理，所以概率的条件概率满足概率三条公理，所以概率的一切性质条件概率都适用。一切性质条件概率都适用。乘法公式乘法公式:全概率公式：全概率公式：其中其中 是完备事件族是完备事件族 贝叶斯公式：贝叶斯公式：)()()|(BPBAPBAP)|()()(BAPBPBAP)|()(ABPAP)()()
16、()(21BAPBAPBAPBPn )|()()|()()|()(2211nnABPAPABPAPABPAP nAAA,.,21)|()(.)|()()|()()|(11nniiiABPAPABPAPABPAPBAP26 例例1 十个人中有十个人中有4个女生，从中任挑两名，个女生，从中任挑两名，若已知两人中有一人是女生，求另一人也若已知两人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。是女生的概率。解：所求概率为：解：所求概率为：两两人人中中有有一一人人是是女女生生）另另一一人人也也是是女女生生|(P)(),(两两人人中中有有一一人人是是女女生生另另一一人人也也是是女女生生两两人人中中有有一一人人是
17、是女女生生PP)()(两两人人中中有有一一人人是是女女生生两两人人都都是是女女生生PP 21024)(CCP 两两人人都都是是女女生生210241614)(CCCCP 两两人人中中有有一一人人是是女女生生51|(24161424 CCCCP两两人人中中有有一一人人是是女女生生）另另一一人人也也是是女女生生故：故：27 例例2 有两个设计团队，一个比较稳重，记做有两个设计团队，一个比较稳重，记做C,另一个具有创新性另一个具有创新性,记做记做N。要求他们在。要求他们在一个月内做一个新设计，从过去经验知一个月内做一个新设计，从过去经验知:a)C成功的概率为成功的概率为2/3;b)N成功的概率为成功的
18、概率为1/2;c)两个团队中至少有一个成功的概率为两个团队中至少有一个成功的概率为3/4.已知两个团队中只有一个团队完成了任务。已知两个团队中只有一个团队完成了任务。问这个任务是问这个任务是N完成的概率有多大？完成的概率有多大？解：共有四种可能的结果解：共有四种可能的结果:SS：双方成功：双方成功 FF：双方失败：双方失败 SF：C成功，成功，N失败失败 FS：N成功，成功，C失败失败28 将将a),b),c)写成概率等式写成概率等式:P(SS)+P(SF)=2/3,P(SS)+P(FS)=1/2,P(SS)+P(SF)+P(FS)=3/4 结合归一化公理：结合归一化公理：P(SS)+P(SF
19、)+P(FS)+P(FF)=1 得：得：P(SS)=5/12;P(SF)=1/4;P(FS)=1/12;故所求条件概率为故所求条件概率为4112141121),|(FSSFFSP29 例例3 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为则击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲；若甲机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机的概率为的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。甲、乙被击落的概率。解：
20、样本空间用树状图表示：解：样本空间用树状图表示：击落乙击落乙0.2未击落乙未击落乙0.8击落甲击落甲0.3未击落甲未击落甲0.7未击落乙未击落乙0.6击落乙击落乙0.430 设设 则则 设设A=甲击落乙甲击落乙，B=乙击落甲乙击落甲，显然，显然击落乙击落乙0.2未击落乙未击落乙0.8击落甲击落甲0.3未击落甲未击落甲0.7未击落乙未击落乙0.6击落乙击落乙0.41第第一一回回合合击击甲甲落落乙乙 A2第第二二回回合合乙乙击击落落甲甲 A3第第三三回回合合甲甲击击落落乙乙 A,2.0)(1 AP3.0)|(12 ABP4.0)|(213 BAAP424.04.07.08.02.0)(AP24.0
21、3.08.0)(BP 练习：袋中有练习：袋中有2个红球，个红球，3个白球，从中不放个白球，从中不放回的接连取出两个球。求第二次取出红球的回的接连取出两个球。求第二次取出红球的概率。概率。解：设解：设A1表示第一次取出红球，表示第一次取出红球，A2表示第一表示第一次取出白球，次取出白球，B表示第二次取出红球。那么表示第二次取出红球。那么 P（B）=P（BA1）+P（BA2）=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)=1/4*2/5+2/4*3/5 =2/52/51/42/43/532 例例一个袋内装有一个袋内装有10个球，其中有个球，其中有4个白球，个白球，6个黑球，采取不放回抽样，每
22、次任取一个，个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，若已知第二次取到白球，求第一次取到白若已知第二次取到白球，求第一次取到白球的概率。球的概率。解：设解：设A=“第一次取到白球第一次取到白球”，B=“第二次第二次取到白球取到白球”，求，求P(A|B)则则A与与 构成完备事件组构成完备事件组A4.09410693104)|()()|()()(ABPAPABPAPBP)()|()()()()|(BPABPAPBPABPBAP314.093104 独立事件独立事件 设设(,F,P)为概率空间，为概率空间，F1 F，若对任意，若对任意A1,A2,An F1，n=2,3,，有，有 则称则称F1为为独立事件
23、族独立事件族,或称或称F1中的事件相互中的事件相互独立独立。事件事件A,B独立，有独立，有 P(AB)=P(A)P(B)niiniiAPAP11)(事件事件A,B,C相互独立，有相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)35 例：某班例：某班50名学生，女生名学生，女生20名。第一组名。第一组10名，其中名，其中4名女生。从中任选一名，名女生。从中任选一名，A=“学学生是第一组生是第一组”，B=“女学生女学生”，问事件，问事件A、B是否独立？是否独立？分析：分析：显然显然 故故A，B独立。独立。注：若第
24、一组的女生数量发生改变，比如有注：若第一组的女生数量发生改变，比如有5名女生，则名女生，则 A，B不独立。不独立。,515010)(AP,51204)|(BAP)|()(BAPAP),|()(BAPAP 361.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 定义定义1.4 设设(,F,P)为概率空间，为概率空间，映射映射X：R，e X(e)满足满足 任意任意x R，e:X(e)x F，则称则称X(e)是是F上的上的随机变量随机变量，简记，简记X。对对x R，称称F(x)=Pe:X(e)x为随机变量为随机变量X的的分布函数分布函数。37 投掷两枚硬币试验，投掷两枚硬币试验，=正正，正反，正正，正反，反正
25、，反反反正，反反F=，正正正正，正反正反，反正反正，反反反反，正正，正反正正，正反，正正，反正正正，反正，正正，反正正，反反反，正反，反正正反，反正，正反，反反正反，反反，反正，反正，反反反反，正正，正反，反正正正，正反，反正，正正，正反，正正，正反，反反反反，正正，反正，反反正正，反正，反反，正反，反正，正反，反正，反反反反，正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反 为可为可测空间测空间，(，F)为为-代数代数P=0，P正正正正=P正正反反=P反反正正=P反反反反=1/4，P=1，(,F,P)为概率空间为概率空间38 映射映射X：R，X(正正正正)=2，X(正反正反)=X(反正反正)=1
26、，X(反反反反)=0(1)x0，e:X(e)x=F(2)0 x1，e:X(e)x=反反反反 F(3)1 x2，e:X(e)x=正反正反,反正反正,反反反反 F(4)x 2，e:X(e)x=正正，正反正正，正反,反正反正,反反反反 FX为随机变量为随机变量分布函数为分布函数为即即 212110,0,0)()(:)(4341xPxPxPxPxeXePxF，反反正正，正反，反正，反正正，正反，反正，反，正反，反正，反反正反，反正，反反反反反反 2121,10,0,0)(4341xxxxxXPxF，分布函数的分布函数的性质性质：(1)单调性：若单调性：若x1x2，则，则F(x1)F(x2)(2)，(3
27、)F(x)右连续，右连续，F(x+0)=F(x)这三个性质完全刻划了分布函数这三个性质完全刻划了分布函数0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx414)当当X为离散型随机变量时，为离散型随机变量时，F(x)是阶梯函数是阶梯函数 当当X为连续型随机变量是，为连续型随机变量是，F(x)为连续函数为连续函数5)当当X是离散型随机变量且取整数时，分布函是离散型随机变量且取整数时，分布函数和分布列可以利数和分布列可以利 用求和或差分互求用求和或差分互求6)当当X为连续型随机变量时为连续型随机变量时，分布函数和概率，分布函数和概率密度函数可以通过积分或微分互求。密度函数可以通过积分或微分互求。密度
28、函数表示密度函数表示“概率的变化率概率的变化率”：xxxXxPxxFxxFxFxfxx )(lim)()(lim)()(00 随机变量：离散型，连续型随机变量：离散型，连续型 离散型随机变量离散型随机变量X的概率分布用分布律的概率分布用分布律(列列)描述：描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函数分布函数 常见离散型随机变量常见离散型随机变量X及其分布律及其分布律(1)0-1分布分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0p1，p+q=1xxkkpxF)(2)二项分布二项分布 P(X=k)=，0 p0，k=0,1,2,(4)几何分布几何分布 P(X=k)=，0 p1,p+q=1,k=1,2
29、,knkknqpC ekk!1kpq 连续型随机变量连续型随机变量X的概率分布用概率密度函的概率分布用概率密度函数数f(x)描述描述 分布函数分布函数 常见连续型随机变量常见连续型随机变量X及其概率密度及其概率密度(1)均匀分布均匀分布xttfxFd)()(其它其它,0,1)(bxaabxf(2)正态分布正态分布(3)指数分布指数分布222)(21)(xexf00,00,)(xxexfx46 例例1 设设X是是a,b上的几何概型，则上的几何概型，则X的分布的分布函数为：函数为：如果如果xb,F(x)=P(Xx)=1.于是，分布函数为：于是，分布函数为：密度函数为：密度函数为：bxbxaabax
30、axxF,1,0)(其他,0,1)()(bxaabxFxf47例 假设X和Y都服从区间0,1上的均匀分布，并且彼此相互独立，问随机变量Z=Y/X的概率密度函数是什么？10 z2)()(zzXYPzFZ 1 zzzXYPzFZ211)()(解解 根据下图，根据下图，时，时，当当时，时，当当 其其他他,01,21110,2)()(zzzzzXYPzFZ 其其他他,01,2110,21)(2zzzzfZ48,1,0,1,31)(iiXP 其他其他,010,1)(yyfY)0|21(XZP例例 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，相互独立，Y的概率密度为的概率密度为记记Z=X+Y,（1）求）求（2）
31、求）求Z的概率密度。的概率密度。X X的分布列为的分布列为)0|21(XZP)0|21(XYXP)21(YP21 解解（1）49)()(zZPzFZ )(zYXP )0|()0()1|()1(XzYXPXPXzYXPXP)1|()1(XzYXPXP)1(31)(31)1(31 zYPzYPzYP)1(31)(31)1(31 zFzFzFYYY（2）先求）先求Z的分布函数：的分布函数：故故Y的密度函数为的密度函数为)()(zFzfZZ )1(31)(31)1(31 zfzfzfYYY 其他其他,021,31z50n维随机变量及其概率分布维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义维随机
32、变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量维离散型随机变量和连续性随机变量-联合分布列和联合分布密度联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布边缘分布-边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度度(4)独立性独立性 n维随机变量及其概率分布维随机变量及其概率分布定义定义1.5 设设(,F,P)为概率空间，为概率空间，X=X(e)=(X1(e),X2(e),Xn(e)是定义在是定义在 上的上的n维空间维空间Rn中取值的向量函数中取值的向量函数,如果对如果对任意的任意的x=(x1,x2,xn)Rn，e:X1(e)x1,X2(e)x2,Xn(e)xn F，
33、则称则称X(e)是是F上的上的n维维随机变量随机变量，简记为，简记为X=(X1,X2,Xn)。投掷两枚硬币试验，投掷两枚硬币试验，=正正，正反，反正正，正反，反正，反反正，反反F=，正正正正，正反正反，反正反正，反反反反，正正，正反正正，正反，正正，反正正正，反正，正正，反反正正，反反，正反，反正正反，反正，正反，反反正反，反反，反正，反反反正，反反，正正，正反，反正正正，正反，反正，正正，正反，反反正正，正反，反反，正正，反正，反反正正，反正，反反，正反，反正，反反正反，反正，反反，正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反 为可测空间为可测空间，(，F)为为-代数代数P=0，P正正正正=
34、P正正反反=P反反正正=P反反反反=1/4，P=1，(,F,P)为概率空间为概率空间映射映射X1：R，X1(正正正正)=1,X1(正反正反)=1,X1(反正反正)=0,X1(反反反反)=0;映射映射X2：R，X2(正正正正)=0,X2(正反正反)=0,X2(反正反正)=1,X2(反反反反)=1;X1,X2为随机变量为随机变量,(X1,X2)为随机向量。为随机向量。对对x=(x1,x2,xn)Rn，称称F(x)=F(x1,x2,xn)=Pe:X1(e)x1,X2(e)x2,Xn(e)xn为为n维随机变量维随机变量X=(X1,X2,Xn)的的联合分布函数联合分布函数54 n维联合分布函数维联合分布
35、函数F(x1,x2,xn)的性质的性质(1)对于每个变元对于每个变元xi(i=1,2,n)，F(x1,x2,xn)是非降函数是非降函数(2)对于每个变元对于每个变元xi(i=1,2,n)，F(x1,x2,xn)是右连续的是右连续的(3)对于对于Rn的区域的区域(a1,b1;a2,b2;an,bn)，其中其中ai bi(i=1,2,n),F(b1,b2,bn)-+(-1)n F(a1,a2,an)0niniiibbabbbF11121),(njinjjjiiibbabbabbbF1,111121),(对于对于n=2F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)0 y b2
36、 a2 x a1 b1对于对于n=3F(b1,b2,b3)-F(a1,b2,b3)-F(b1,a2,b3)-F(b1,b2,a3)+F(a1,a2,b3)+F(a1,b2,a3)+F(b1,a2,a3)-F(a1,a2,a3)0(4)1),(lim,2,1,0),(lim212121nxxxnixxxxFnixxxxFni(1)n维随机变量及其分布的定义维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量维离散型随机变量和连续性随机变量-联合分布列和联合分布密度联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布边缘分布-边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度
37、度(4)独立性独立性n维随机变量及其概率分布维随机变量及其概率分布 n维离散型随机变量维离散型随机变量X=(X1,X2,Xn)Xi都是离散型随机变量都是离散型随机变量(i=1,2,n)X=(X1,X2,Xn)的联合分布律为的联合分布律为 P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=其中其中xi Ii是离散集，是离散集，i=1,2,nX=(X1,X2,Xn)的联合分布函数为的联合分布函数为 (y1,y2,yn)Rnnxxp,1niyxxxniinpyyyF,1,211),(.,),(,2,1,2,1,),(),(的的联联合合分分布布律律和和随随机机变变量量或或的的分分布布律律变变量量称称此此为为二
38、二维维离离散散型型随随机机记记值值为为所所有有可可能能取取的的设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律,),(xxyyijijpyxF离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为.,求求和和的的其其中中和和式式是是对对一一切切满满足足jiyyxxji XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp n维连续型随机变量维连续型随机变量X=(X1,X2,Xn)联合概率密度联合概率密度f(x1
39、,x2,xn)X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数为的联合分布函数为 (y1,y2,yn)Rn1dd),(),(12121yynnnnxxxxxfyyyF.,),(),(,),(,dd),(),(,),(),(),(的联合概率密度的联合概率密度和和变量变量或称为随机或称为随机的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使对于任意使对于任意如果存在非负的函数如果存在非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 二维连续型随机变量的分布函数n维随机变
40、量及其概率分布维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量维离散型随机变量和连续性随机变量-联合分布列和联合分布密度联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布边缘分布-边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度度(4)独立性独立性二维随机变量的边缘分布函数,),(yYxXPyxF ,)(xXPxF xXP,YxXP),(xF)(xFX.),(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于XYX?,),(:的分布的分布如何确定如何确定的分布的分布已知已知YXYX问题问题,),()(yYPyYXPyFyFY
41、 为随机变量为随机变量(X,Y)关于关于Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.),(),(,.,),(,),(),(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于为为随随机机变变量量称称令令则则的的分分布布函函数数为为随随机机变变量量设设XYXxFYxXPxXPyyYxXPyxFYXyxF ).,()(xFxFX记为记为定义定义,x同理令同理令.),(),2,1(),2,1(,2,1,2,1,.,2,1,),(11的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于为为和和分分别别称称记记律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYX
42、jijiijjijijiijji 定义定义离散型随机变量的边缘分布律;,2,1,1 ipxXPjiji.,2,1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF因此得离散型随机变量关于因此得离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函的边缘分布函数分别为数分别为例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1042124261042124212XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布
43、边缘分布边缘分布解解 747317473.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定义定义连续型随机变量的边缘分布同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(),()(yYyxyxfyFyF(1)n维随机变量及其分布的定义维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量维离散型随机变量和连续
44、性随机变量-联合分布列和联合分布密度联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布边缘分布-边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度度(4)独立性独立性n维随机变量及其概率分布维随机变量及其概率分布随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义1.6 设设Xt,t T 是一族随机变量，若对任是一族随机变量，若对任意意n 2和和t1,t2,tn T，x1,x2,xn R，有有则称则称Xt,t T是是独立的独立的。niitntttxXPxXxXxXPin121)(),(21 若若Xt,t T是一族离散型随机变量，则是一族离散型随机变量，则独立性等价于独立性等价于其中其中xi是是
45、Xti的任意可能值的任意可能值(I=1,2,n)例如，二维随机变量独立性等价于例如，二维随机变量独立性等价于pij=pi.p.j其中其中pij=p(X=xi,Y=yj),pi.=p(X=xi),p.j=p(Y=yj),niitntttxXPxXxXxXPin121)(),(21 若若Xt,t T是一族连续型随机变量，则是一族连续型随机变量，则独立性等价于独立性等价于其中其中 是是n维随机变量维随机变量 的联合概率密度的联合概率密度,是随机变量是随机变量 的概率密度的概率密度(i=1,2,n)niitnttxfxxxfin121,)(),(1),(21,1nttxxxfn),(21ntttXXX
46、)(itxfiixitX,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX2.说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为.,2,1,jipjYiXPij.jiijppp 即即).()(),(yfxfyxfYX 则则相互独立相互独立和和,)3(YX相互独立相互独立和和YX则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立也相互独立和和YgXf79 例例1 1：X X和和Y Y 是否相互独立？是否相互独立？(X,Y)(
47、X,Y)具有概率密度具有概率密度(23)6,0,0(,)0,xyexyf x y其 他22,0()0,xXexf x其他(,)()(),XYf x yfxfyX Y故有因而是相互独立的。33,0()0,0yYeyfyy连续型随机变量连续型随机变量X,YX,Y相互独立，其密度函数有如下特征：相互独立，其密度函数有如下特征：()()(),f x yg x h yaxb cyda b c d结论：其中可为有限或无穷。X X和和Y Y的边缘概率密度分别为：的边缘概率密度分别为：1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望定义定义1.7 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F
48、(x)，若若则称则称为为X的的数学期望数学期望(均值均值)(dxFx)(dxFxEX 对离散型随机变量对离散型随机变量X，分布律，分布律 P(X=xk)=pk，k=1,2,数学期望数学期望 对连续型随机变量对连续型随机变量X，概率密度，概率密度f(x)的的数学期望数学期望1kkkpxEXxxxfEXd)(方差方差定义定义1.8 设设X是随机变量，若是随机变量，若EX2，则称，则称DX=E(X-EX)2为为X的的方差方差 协方差协方差定义定义1.9 设设X,Y是随机变量，若是随机变量，若EX2,EY2 ，则称则称BXY=E(X-EX)(Y-EY)为为X,Y的的协方差协方差22()DXEXEXBX
49、Y=EXY-EXEY1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 相关系数相关系数称称 为为X,Y的的相关系数相关系数 若若 XY=0，则称，则称X,Y不相关。不相关。相关系数表示相关系数表示X,Y之间的线性之间的线性相关程度相关程度的大小的大小DYDXBXYXY 随机变量的数学期望和方差的随机变量的数学期望和方差的性质性质(1)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(2)若若X,Y独立，则独立，则E(XY)=E(X)E(Y)(3)若若X,Y独立，则独立，则 D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)(4)(Schwarz不等式不等式)若若EX2,EY20的的y，定义，定义 Y=y时时X的
50、的条件概率条件概率 Y=y时时X的的条件分布条件分布 Y=y时时X的的条件期望条件期望,yYPyYxXPyYxXP)(yYxXPyxF()xE X YyxP Xx Yy例：例：袋中有袋中有2个红球，个红球，3个白球，从中不放回的个白球，从中不放回的接连取出两个球。设接连取出两个球。设X表示第一次取到的红表示第一次取到的红球数，球数，Y表示第二次取到的红球数。求表示第二次取到的红球数。求 E(Y|X=1)和和E(Y|X=0)1.6 条件期望条件期望条件期望的条件期望的性质性质：若随机变量若随机变量X,Y的期望存在，则的期望存在，则 如果如果Y是离散型随机变量，则是离散型随机变量，则 如果如果Y是
