1、不定积分一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念()()Fxf xF(x)为为 f(x)的一个原函数的一个原函数.CxFxxf)(d)(。二、二、基本积分公式基本积分公式(1)dx xCxx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln)1(4)e dxx Cex(5)dxax Caaxln。Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tanxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxdcos)6(xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxdtanln cos xCxxdcotln sinxC。22dx
2、ax22dxxaxxdsecCxxtanseclncsc dx xln csccotxxC1ln2axCaax2d1xxCx arctan2d1xxCxarcsin22dxax1arctanxCaa22dxaxarcsinxCa22ln xxaC。)(d1)(d1dbxaaxaaxxxd1)(lndxxxd)(d2x21a21)(d2bax)1()(d11d1xxxxxade)e(d1xaa三、三、常见凑微分常见凑微分。xaxdcos)(sind1axaxaxdsin)(cosd1axasec tan dxx x d(sec)xxxd112)(arctandxxxd112)(arcsindx一
3、般地：一般地：xxfd)()(dxfxxdsec2)tan(dx。四、第二类换元法四、第二类换元法令令1.被积函数含被积函数含令令axbtnaxbndaxbcxndaxbtcxn。2.被积函数含被积函数含22xa 令令taxsin22xa 令令令令taxtantaxsec22ax cbxax2先配方，再作适当变换先配方，再作适当变换(有时用倒代换有时用倒代换1xt简单）。简单）。)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110五、有理函数真分式的积分五、有理函数真分式的积分:nnnaxaxa110()nm分母在实数范围内因式分解若分母含因式()kxa若分母含既约因式2()
4、kxpxq，则对应的部分因式为122()()kkAAAxaxaxa，则对应的部分因式为11222222()()kkkB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq。ddu vuvvu六.分部积分公式分部积分公式duvu v xxxxande.dsinxxaxn.dcosxxaxnxxxndlnxxxdarctanxxxdarcsinxbxexadsinxbxexadcos注：下列题型用分部积分法；。例1221(sin)cos2()tanfxxx，求221(sin)cos2()tanfxxx22cos12sin()sinxxx 2221 sin12sinsinxxx 2212sinsinxx1
5、()2fxxx1(2)dxxx2ln|xxC()f x()f x解：一、由 求()f x()fx例2在()f x0,)上定义，在(0,)内可导，()g x在(,)内定义且可导，(0)(0)1fg0 x 时，()f x()32g xx()fx()1g x(2)fx2(2)121gxx 求()f x，()g x的表达式。答案：()21,(0)f xxx31,0()1,0 xxg xxxx例32min,6dxxx分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同 C1，C2 等表示；(2)根据原函数应该在分段点连续确定 C1、C2 的关系，用同一个常数 C 表示。二、分段函数求不定积分：答案：2
6、321226,2231,2331276,322xxCxxCxxxCx 2min,6dxxx例4()f x定义在 R 上，(0)1f1,(0,1(ln),(1,)xfxx x求()f x。答案：1,0()e,0 xxxf xx三、有理函数的积分：例5222d(1)(1)xaxbxxx的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不含对数函数；仅含有理函数。答案：a=0 b=1a=0，b=1例6241d1xxx求解1241d1xxx2221d(21)(21)xxxxxx22d2121xxxxxAxBCxD222323()()2424AxBCxDxxdx22dxax1arctanxCaa答案：11
7、arctan22xxC四、倒代换：例782d(1)xxx 例82d221xxxx1xt22dxxa22ln xxaC例8答案：2d0,221xxxxx211ln11(1)Cxx 2d0,221xxxxx211ln11(1)Cxx 注：223d(2)xxx 应该使用三角代换。例921 lnd(ln)xxxx例9答案：lnxCxx五、sincosdmnxx x型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少应该奇数：(sin)d(sin)Rxxm，n均为偶数：降次(cos)d(cos)Rxxm，n均为负偶数（负奇数）：化为(tan)d(tan)Rxx(cot)d(cot)Rxx或或例104sindcosx
8、xx例1124sincosdxx x例1224dsin 2 cos 2xxx答案：3111 sinsinsinln321 sinxxxCx1311(sin2sin4sin6)164412xxxxC3111(2tan2tan 2)2tan23xxCx六、sincosdsincospxqxxaxbx型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使sincossincospxqxaxbxsincosaxbx()A分母()B分母例134sin7cosd2sin3cosxxxxx答案：2ln|2sin3cos|xxxC 例14sin2d3sin2cos2xxxx七、分部积分法分部积分法（被积函数
9、是两类不同函数的乘积）例15ed1 exxxx例16222(1)arcsind1xxxxx答案：21 e2(1 earctan 1 e)xxxxC答案：221arcsin1ln|(arcsin)2xxxxCx2ln1dlnxxx例18答案：例17arcsinarccos dxx x2arcsinarccos(arccosarcsin)12xxxxxxxC答案：lnxCx例19lnd,()nx xnZ例2022e(tan1)dxxx答案：12lnln(1)lnnnnxxnxxn nxx1(1)(1)2 lnnn nxx(1)!nn xC2etanxxC答案：例22()df xxln(1)(ln)xfxx，求例21221e()d1xxxx答案：答案：2e1xCxeln(1e)ln(1e)xxxxC八、含抽象函数的积分含抽象函数的积分例233()dx fxx()f x设的一个原函数是sinxx求例2423()()()d()()f xfx fxxfxfx求答案：答案：2cos4 sin6cosxxxxxC221()2()fxCfx九、其它其它例25()()dmaxbpxqx求(0)a 例26sin222esindexxxx例271 lnd(ln)lnxxxxx例28d3xxy，其中2()xy xy解题思路：将积分变量换为参变量 t例292dxy，其中22()yxyx
