1、1 第第 三三 章章 多维随多维随 机机 变变 量量 及及 其其 分分 布布2一一 主要内容主要内容二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义二维随机变量的定义2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数3.二维离散型随机变量及其分布律二维离散型随机变量及其分布律4.二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度5.边缘分布边缘分布 6.6.随机变量的独立性随机变量的独立性7.随机变量简单函数的分布随机变量简单函数的分布3三三 例题分析例题分析例例1 从一批产品包括从一批产品包括10件正品件正品,3件次品中重复抽取件次品中重复抽取,每次取每次取1件直到取得正品
2、为止，若每件产品被抽到件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同的机会相同,求抽取次数求抽取次数X的分布律的分布律解解 P(X=1)=10/13,P(X=2)=(3/13)*(10/12)=5/26 P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143 P(X=4)=(3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286 故故 X 的分布律为的分布律为 X1234P10/135/265/1431/2864例例2 设随机变量设随机变量X的分布密度为的分布密度为试求试求 X的分布函数的分布函数F(x).解：解：当当x0时，时，当当 时，时，当当 时时，其他0212
3、10)(xxxxxfxdxxfxF0)()(10 x2)(20 xxdxxFx21x122)2()()(2101xxdxxxdxdxxfxFxx5 当当 时，时，故故X的分布函数为的分布函数为例例3 设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为 2x21101)2()(dxxxdxxF2,121,12210,20,0)(22xxxxxxxxFX-2-1013P1/51/61/51/1511/306 求求 的分布律。的分布律。解：解：由由X的分布律有的分布律有Y取值为取值为4,1,0,9 PY=0=PX=0=1/5 PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15=7/30 PY=4=PX=2+
4、PX=-2=0+1/5=1/5 PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30 故故Y的分布律为的分布律为2XYY0149P157301511307 例例4 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:（1）A的值；的值；（2）X落在（落在（0.2,0.6）内的概率；）内的概率；(3）X的密度函数的密度函数 f（x）。解解:（1）由）由 F(x)连续性有连续性有 F(1)=,而而 而而F(1)1 故故A=11,110,0,0)(2xxAxxxF)(lim1xFxAAxxFxx211lim)(lim8(2)P0.2X0.6=F(0.6)-F(0.2)=(3)当当 当当 故故
5、例例5 已知随机变量已知随机变量X P|X-10|c=0.95,PXd=0.023,确定确定c和和d的值。的值。解：解：已知已知 P|x-10|c=P|X-10|/2c/2 =32.02.06.022)()(xFxf0)(,10 xFxx时或xxFx2)(10时，其它,010,2)(xxxf)2,10(2N95.01)2/(2 c9 所以所以 查表得查表得 c/2=1.96 故故 c=3.92 又已知又已知 PXd=查表得查表得 既既 d=6 例例6 设随机变量设随机变量 ，且已知，且已知 试求试求X落在区间（落在区间（9.95,10.05）内的概率）内的概率.975.0)2/(c023.0)
6、210(d2210d)02.0,10(2NX,9938.0)5.2(,21)(22xtdtex10 解：解：例例7 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 求求X的分布函数的分布函数 F(x).解：解：当当x1时时，F（x）0当当 ，F(x)=P(X=-1)=1/605.1095.9 XP9876.01)5.2(2)5.2()5.2(02.01095.902.01005.10X-123P1/61/21/3时21x11当当 ，F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=1/6+1/2=2/3当当 时时,F(x)=PX=-1+PX=2+PX=3=1故故时32 x3x3,132,3/221,6/
7、11,0)(xxxxxF12例例8（X，Y）的联合分布律）的联合分布律为为Y X01200.10.250.1510.150.200.15求（1）X的边缘密度；（2）Y的边缘密度。13 解解:(1)X的分布律为的分布律为 (2)Y的分布律为的分布律为 X 0 1 2 P 0.250.450.30 Y 0 1 P 0.5 0.514 例9 设二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为 问X与Y是否相互独立，并说明理由。其它,010,10,8),(yxxyyxp解：关于X的边缘密度为其它,010,48)(10 xxxydyxpX关于Y的边缘分布密度为其它，,01048)(10yyxydxypY15 在在
8、 中，均有中，均有 故故X与与Y不独立。不独立。10,10yx).()(),(ypxpyxpYX)1)(1(1),(222yxyxp例10 设二维随机变量（X，Y）的分布密度求分布函数 F(x,y).16解解 xydxdyyxpyxF),(),()2)(arctan2(arctan1arctanarctan11111122222yxyyxxdyydxxxy例例11随机变量X的分布密度为 求Y=X2的分布密度。其它002)(2xexpx170001)(212|)(|)()(00)()()(0);/1()(;)(,2222yyeyypyeyhyhpypyPyXPyFyyyhyxyhxyyYyXYY
9、所以时，当时，当知解：解：由由18第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 练习与答案练习与答案1一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。2重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ,出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。3对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。)10(pppq119 4已知某元件使用寿命服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种
10、元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数的分布律 5某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？100001)8,40(2NX)4,50(2NX20 6设某批零件的长度服从 ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。7设分别为服从 的随机变量，求 的概率密度函数.8设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7，超过7的水要溢出，求水库存水量的分布函数.9在箱中装有12只球，其中2只黑球，现从箱中随机地抽取两次，每
11、次抽取一球，用 分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回抽取与无放回抽取两种情况：（1）写出 的联合分布列；（2）判断 是否独立。U,22轾 pp犏-犏臌U 0,p2,0UXYsin),(2NXYX,),(YXYX,21 10设 的联合密度函数为 求（1）常数 ；（2）；（3）；（4）是否独立。11设相互独立，且密度函数分别为 求 .12设 相互独立，均服从标准正态分布 求 的密度函数。),(YX22Cf x yx y1x1y=-+(,),()()CP 0X1 0Y1 (,)XYff,YX,其他,0)2.0,0(,5 xfX其他,00,55yefyY）（YXPYX,)1,0(NXZY
12、=22 13设随机变量（）的概率密度为 求 的概率密度。X,Y其他,0;10),1)(120),(xyxyxyyxfXYZ/23参考答案参考答案1分布列 P 234（1）；（2）5（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6 X0123 75.0204.0041.005.0)4,3,2(11nqppqnn956.0)1()0(1)2(XPXPXP61.010,3,2,1,0,)1()(10212110keeCkXPkk3125.02121)2(3225CYP247（1）；（2）；（3）；8 9（1）有回放：0 1 0 1 此时，相互独立1,11)(21xxxf10,12)(22xxxf1,11)(23xxxf.7,1;74,44;4,0)(yyyyyFy3625365365361YX,25（2）无回放：0 1 0 1 此时，不独立10（1）；（2）；（3）（4）相互独立1112 664566106610661YX,21C161)1(1,)1(122yfxfYXYX,1e)1(1)(2zzfZ26 13 其他其他,010,830879610)(972xxxxxxfZ
