1、第六章第六章 数理统计的基本概念与抽样分布数理统计的基本概念与抽样分布一、主要内容：一、主要内容：1.总体和样本总体和样本2.样本的分布样本的分布3.统计量和样本矩（样本均值，样本方差，样本统计量和样本矩（样本均值，样本方差，样本 的的K阶原点矩和中心矩）阶原点矩和中心矩）4.经验分布函数经验分布函数5.三大分布的定义及其性质（三大分布的定义及其性质（分布）分布）Ft,2二、典型例题二、典型例题例例1设总体设总体X的数学期望为的数学期望为EX8，方差为，方差为 DX2，为来自为来自X的样的样本本,)(,2,1nXXX 为样本均值。为样本均值。X则则E()=8 8 ;D()=2/nXX 例例2
2、2 为来自两点分布为来自两点分布B（1，p）的样本，的样本，（0p 1），），为样本均值为样本均值则则 XD()=p(1-p)/n E()=(n-1)p/n ,X2nS E()=p .X)(,2,1nXXX例例3.设 1.5,2,2.5,3,3.5,1.5为来自正态总体X 的样本，求样本均值，样本方差的观察值。解解:样本均值：6/14)5.15.335.225.1(616161iixx 样本方差：)3/75.1()3/75.3()3/73()3/75.2()3/75.2()3/75.1(61)(612222222612iixxs 例4盒中有三件产品，其中一件次品，二件正品，每次从中任取一件，记
3、正品的件数是随机变量 ，有放回地抽取10次，得到容量为10的样本 ，求（1）样本均值的数学期望；（2）样本均值的方差；（3）的概率函数。X1021,XXX101iiXP31320 1 X分析 由题意可知总体表示从盒中任取一件产品的正品数，它服从01分布。设 表示第 次抽取的产品的正品数，它与 总体同分布。解 总体 服从参数为 的01分布（1）（2）iXiX)10,2,1(iX32p923132)(,32)(XDXE32)()(XEXE45192101)(,101)(XDXD（3）因为 服从参数为 的01分布 又 相互独立，所以 服从 二项分布 ，即例5设总体 在 上服从均匀分布，是来自该总体的
4、样本，求样本的联合概率密度。iX32p)10,2,1(i1021,XXX101iiX)32,10(B10,2,1,31321010101kCkXPkkkiiX,banXXX,21解 由已知条件，总体 的概率密度为 与 同分布，即 的联合概率密度X其他,0;,1)(bxaabxfiXX其他,0;,2,1,1)(nibxaabxfiiiXnXXX,21其他,0;,2,1,)(1),(21nibxaabxxxfinn 例6设总体 服从正态分布 ，是该总体的样本，且知 求样本容量 的最小值（）。解解 查标准正态分布表 所以样本容量 的最小值为35。X)3,(2NnXXX,2195.011XXPnnii
5、XnX1195.0/1/111nnXPXPXXP3596.133/1nnnn三、练习与答案三、练习与答案一、选择题一、选择题1设 是取自标准正态分布 总体的一个样本，是样本均值，是修正样本方差，则（）成立。(a)(b)(c)(d)2设总体服从自由度为 的 分布，是取自该总体的一个样本，则 服从 分 布，且自由度为（）nXXX,21)1,0(NX2*nS)1,0(NXn)1,0(NX)(212nXnii)(*ntSXnk2nXXX,21niiXXn12 (a)(b)(c)(d)3设 是取自正态总体 的一个样本，则随机变量 服从的分布为（）。(a)(b)(c)(d)4设随机变量 服从自由度为 的
6、分布，若知 满足条件 ，则 为（）。(a)(b)(c)(d)kn nk)1)(1(kn2 nknXXX,21),(2NniiXXnnX12)()1()()(nt)1(nt),1(nnF)1,(nnFX),(nnF05.0)(XP1XP95.005.0975.0025.0二、填空题二、填空题1设 是来自正态总体 的样本，令 ，且 ，则当 ()，（）时，统计量 服从 分布，其自由度为().2设由4个个体，数2，3，5，6构成一个总体，有回放地抽取容量为3 的样本，求得 （），（）。3设总体 服从正态分布 ，是取自该总体的一个样本，样本均值 ，要使 ，则样本容量 至少应取值=（）。nXXX,2143
7、21,XXXX)3,0(2N243221)3()2(XXbXXaX0baabX2)(XE)(2*4SEX)2.0,(2NniiXnX1195.01.0XPn三、计算题三、计算题1总体 服从正态分布 ，是取自该总体的一个样本，试求：（1）（2）2设总体 服从正态分布 ，是取自该总体的一个样本，样本均值为 ，修正样本方差为 。欲使得 ，则 应为多少？3设 与 是分别来自正态总体 的两个相互独立的样本。试问统计量 服从什么分布？参数是多 少？请证明。X)2,60(2N4021,XXX5.060 XP40126.88)60(iiXP),(2NX1621,XXXX2*nS95.0*nkSXPk921,XXX921,YYY)3,0(2N292221921YYYXXXU4设 是取自标准正态总体 的一个样本，求 ，使得 参考答案参考答案选择题 1.c；2.b；3.b；4.a；填空题 1.；2.,；3.；计算题 1.(1)0.114;（2）0.01;2.;3.服从 分布，参数是9;4.521,XXX)1,0(Nk90.025242321kXXXXXP2,901,45145.216n0124.7kt3664.1k
