1、1概率论与数理统计辅导2第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率一、主要内容：一、主要内容：1、随机事件的定义、关系及其运算、随机事件的定义、关系及其运算2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义）、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义）3、随机事件概率的计算、随机事件概率的计算 注意利用：注意利用：(1)、概率的加法公式、概率的加法公式 (2)、概率的性质、概率的性质(3)、条件概率公式、条件概率公式 (4)、乘法概率公式、乘法概率公式(5)、全概率公式、全概率公式 (6)、贝叶斯公式、贝叶斯公式(7)、相互独立事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式3二二.应记忆的公
2、式应记忆的公式1.德莫根律德莫根律 2.加法公式加法公式3.当当A与与B互斥时互斥时4.条件概率公式条件概率公式5.乘法概率公式乘法概率公式6.全概率公式全概率公式7.贝叶斯公式贝叶斯公式 8.相互独立事件的概率计算公式相互独立事件的概率计算公式)()()()(ABPBPAPAUBPin1in1iin1in1i ,AAAAii)()()(BPAPAUBP4三三.例题分析例题分析例例1 若若 求求解解)()(1)(1)(1)(12111nnnnAPAPAAAPUAUAPUAUAP)(),(),|(,4/1)(,3/1)(,2/1)(UBAPBAPABPABPBPAP 12/54/13/12/11
3、)()()(1)(1)()(2/1)2/1/()4/1()(/)()|(ABPBPAPAUBPAUBPBAPAPABPABP54/312/13/12/11)(12/14/13/1)()()()()()(）（故其中UBAPABBPBAPBAPBPAPUBAP例例2 将将3个球随机地放入个球随机地放入4个盒子中，求下列事件的个盒子中，求下列事件的概率（概率（1）任意）任意3个盒子各有一个球个盒子各有一个球 （2）任意一个盒子有）任意一个盒子有3个球个球解解：设：设A表示表示“任意任意3个盒子各有一个球个盒子各有一个球”的事件的事件 B表示表示“任意任意1个盒子有个盒子有3个球个球”的事件，则的事件
4、，则例例3 有有3只盒子，甲只盒子，甲 盒中装有盒中装有2支红钢笔，支红钢笔，4支蓝钢支蓝钢笔，乙盒中装有笔，乙盒中装有4支红钢笔，支红钢笔，2支蓝钢笔，丙盒中装支蓝钢笔，丙盒中装,16/14)(,8/34)(314334CBPPAP6有有3支红钢笔，支红钢笔，3支蓝钢笔，今从中任取一支，设支蓝钢笔，今从中任取一支，设到到3只盒中取物的机会相同，求该支钢笔是红钢只盒中取物的机会相同，求该支钢笔是红钢笔的概率。笔的概率。解解 设设A表示取到的一支钢笔为红色笔，表示取到的一支钢笔为红色笔，Bi 分别表示在分别表示在甲、乙、丙盒中取钢笔，甲、乙、丙盒中取钢笔，i=1，2，3,则则P(Bi）=1/3，
5、2/12/13/13/23/13/13/1)|()()(,2/16/3)|(3/26/4)|(,3/16/2)|(31321iiiBAPBPAPBAPBAPBAP则由全则由全概率公概率公式式7例例4.甲乙两炮各同时向一敌机射击，已知甲击中的概甲乙两炮各同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为率为0.6,乙击中的概率为乙击中的概率为0.5，试求敌机被击中的概率，试求敌机被击中的概率解解：设设A 表示甲击中敌机，表示甲击中敌机，B表示乙击中敌机的事件，表示乙击中敌机的事件，则则 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.5-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6*0.5=0.8例例5
6、 设设A,B分别表示甲乙二城市出现雨天的事件，分别表示甲乙二城市出现雨天的事件，P(A)=P(B)=0.4,P(AB)=0.28 求求（1）P(A|B);(2)P(B|A);(3)P(AUB)解：解：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.28/0.4=0.7;P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.28/0.4=0.7;P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.4-0.28=0.52例例6 已知某种反坦克炮命中率为已知某种反坦克炮命中率为0.7,现在连续独立的现在连续独立的向坦克靶射击三发炮弹，求能命中坦克靶的概率向坦克靶射击三发炮弹，求能命中坦克靶的概率 8解解：设设B表示
7、命中坦克靶的事件表示命中坦克靶的事件Ai表示第表示第 次命中的事件，次命中的事件，=1,2,3,则则P(B)=ii973.0)3.0(1)()()(1)(1)(13321321APAPAPAAAPBP例例7一批零件共有一批零件共有100个，次品率为个，次品率为0.1，每次从，每次从中任取一个零件，取后不放回，求第三次才取中任取一个零件，取后不放回，求第三次才取得正品的概率。得正品的概率。解：解：设设0084.098/9099/9100/10)|()|()()(321123121321AAAPAAPAPAAAPiiAi 则，次取得正品的事件表示第9例例8 三战士射击敌机三战士射击敌机,一射驾驶员
8、一射驾驶员,一射油箱一射油箱,一射一射发动机主要部件发动机主要部件,命中率分别为命中率分别为1/3,1/2,1/2,设设各人射击是独立的各人射击是独立的,任一人射中敌机被击落任一人射中敌机被击落,求敌求敌机被击落的概率机被击落的概率.解解:令令A,B,C 分别表示第分别表示第i人击中敌机的事件人击中敌机的事件i=1,2,3,则则（解法（解法1）P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/3+1/2+1/2-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=1+1/3-1/6-1/6-1/4+1/12=5/6
9、（解法（解法2）P(AUBUC)=652121321)()()(1)(1)(1CPBPAPCBAPAUBUCP10例例9 填空题填空题1.设设A,B 是两事件是两事件,P(A)=0.4,P(AUB)=0.7 当当A,B互斥时互斥时,P(B)=0.3;P(AB)=0 当当A,B独立时独立时,P(B)=0.5;P(AB)=0.2 2.将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷3次次,其中其中2点出现两次的点出现两次的 概率是概率是5/72 2.（补）将一颗骰子连掷（补）将一颗骰子连掷2次次,则两次出现的点数之则两次出现的点数之和等于和等于8的概率是的概率是 5/363.某地有某地有5个供水龙头个供水龙头,调查研
10、究表明每一龙头被打调查研究表明每一龙头被打开的概率为开的概率为1/10,则有三个龙头打开的概率为则有三个龙头打开的概率为()Ans:2335)109()101(C114.若若A,B 为二事件为二事件,P(A)0,P(B|A)=P(B)则则 A与与 B是是 相互独立的事件相互独立的事件 5某家庭有两个孩子某家庭有两个孩子,则至少有一个女孩的则至少有一个女孩的 概率为概率为 3/4 （注：利用对立事件的概率计算）（注：利用对立事件的概率计算）6.A,B 为二事件为二事件,P(A)=0.4,则则 P(AB)=0.16 7.设一次试验中事件设一次试验中事件A 发生的概率为发生的概率为p,现重复进现重复
11、进行行n 次独立试验次独立试验,则事件则事件A至至 少发生一次的概率少发生一次的概率为为()（注：利用对立事件的概率计算）（注：利用对立事件的概率计算）Ans:0.6,)|(ABPnp)1(112 例例10设设A,B,C为三个随机事件，则三个事件中有为三个随机事件，则三个事件中有 两个发生可表示为两个发生可表示为 例例11社会调查把居民按收入分为高、中、低三类社会调查把居民按收入分为高、中、低三类调查结果是这三类居民分别占总户数的调查结果是这三类居民分别占总户数的10%，60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数在这三类居，而银行存款在一万元以上的户数在这三类居民中分别为民中分别为100%，
12、60%，5%1.求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比率。率。2.若已知某户的存款在一万元以上，求该户属中若已知某户的存款在一万元以上，求该户属中等收入家庭的概率等收入家庭的概率.解：解：设设 分别表示分别表示“高、中、低收入家庭高、中、低收入家庭”的事件的事件i=1，2，3;B表示表示“存款在一万元以上的户数存款在一万元以上的户数”ABCABCBACCABiA131.由全概率公式知由全概率公式知2.由贝叶斯公式知由贝叶斯公式知475.005.03.06.06.01.01.0)|()()(31iiiABPAPBP76.0475.06.06.0)()|(
13、)()|(222BPBAPAPBAP14练习与答案练习与答案 1设为三个事件，且满足设为三个事件，且满足 ,试试用用 及其运算表示及其运算表示 。2指出下列各式成立的条件：（指出下列各式成立的条件：（1）（2）3设 为 个事件 试把 表示为 个互不相容的事件之和。4.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这10个数字中随机地取出2个数字，求其和大于10的概率。5.将3个编号的球随机地放入4个标号的盒中，假设每个盒容纳球的个数不限，试求下列事件的概率：(1)每个盒最多有1 个球；（2）每个盒最多有2个球。BACAC)()(BA,BABA)(ABACnAAA,21nnAAA21n1566个小孩
14、将他们的左手两两拉在一起，然后再将右手两两拉在一起，求他们恰好拉成一个圈的概率。7.一小城镇有机动车2万辆，牌号号码从00001至20000。在此城镇随机地遇到一辆车，求该车牌号码有数字8的概率。8.一小区居民订阅报纸的统计数字如下：定甲种报纸的占40%，订乙种报纸的占25%，同时订上述两种报纸的占15%。求下列事件的概率:（1）只订甲报的；（2）只订一种报的;（3）至少订一种报的；（4）两种报都不订的。16 9.在一均匀对称的四面体上，分别图上红、兰、黄、白四种颜色，现将四面体抛掷3次，试求“在3次抛掷中都是红色面或黄色面不着地”这一事件的概率。10.甲、乙两人进行乒乓球单打比赛。甲发球成功
15、后，乙回球失误的概率为0.3。若乙发球成功，甲回球失误的概率为0.4，若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5。求在这个回合中乙输掉1分的概率。11.某店有4位售货员，假设每位售货员是否用秤是相互独立的，且每位售货员平均在1小时只有15分钟用秤。如果要求售货员用秤时，因秤不够而影响售货的概率不小于10%，那么该店应配置几台秤。12.袋里有个白球、个黑球和个红球，今每次从袋里随机地不放回取出1球。这样取下去。求白球取出在黑球之前的概率。17参考答案12（1）BC AB（2）SBA,nnAAAAAAAAAA1213212113 4 45165.（1）83（2）16156 15870.343980.25，0.35，0.50，0.509 3223100.51112台12 nmn
