1、 Y.P.M数学竞赛讲座 1 不等式的基本问题 高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式. 1.同向可加例1:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax2c,满足4f(1)1,1f(2)5.那么,f(3)的取值范围是_.解析:类题:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1x+y4,且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是_(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax2+c,且当x1时,4y1,当x2时,1y5,则当x3时,y的取值范围是 .3.(200
2、1全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y1,5x+y2,则log8(2x+2y)的最小值是_.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y满足3xy28,49,则的最大值是_.6.(2008年四川高考试题)设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为 .7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z为非负实数,且满足方
3、程-68+256=0,那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 . 2.函数单调性例2:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log23)x-(log53)x(log23)-(log53),则( )(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y0解析:类题:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+)上的减函数,若f(2a2+a+1)O,x2+x3O,x3+x1O,则( )(A)f(x1)+f(x2)+f(x3)0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x3+log2(x+),则对任意实数a,b
4、,a+b0是f(a)+f(b)0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x3-log2(-x).则对于任意实数a、b(a+b0),的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定 2 Y.P.M数学竞赛讲座 5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=+lg,则不等式fx(x-)b,则下列不等式一定成立的是( )(A)a2b2 (B)0 (D)()a()b7. (1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛
5、试题)设0a1,若x1=a,x2=,x3=,xn=,则数列xn(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 (1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=aa,c=,若0.9a1,则( )(A)acb (B)abc (C)bac (D)ca1,a=-,b=-那么( )(A)ab (B)ayx (B)xy=yx (C)xya1,t0,若ax=a+t,则bx与b+t的大小关系是( )(A)bxb+t (B)bxbc (B)bca (C)bac (D)acb7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0a(+)2 (B
6、)(a+)(b+)(+)2 (C) (D) 4.解不等式 Y.P.M数学竞赛讲座 3 例4:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|+2|的解集为 .解析:类题:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x的不等式a1x2+b1x+c10与a2x2+b2x+c20的解集相同;命题Q:=.则命题Q( )(A)是命题P的充分必要条件 (B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件2.(1989年全国高中数学联赛试题)若loga1,则a的取值范围是_. (1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如
7、果loga1,那么a的取值范围是 , (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若loga1,则a的取值范围是_. (1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若loga(2-a2)1,则实数a的取值范围是 .3.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x22|2x+1的解集为_. (2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|32x24|x|+3的解集是 . (1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a0,a1,且|loga2|loga+12,则a的取值范围是 .4.(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式1log2x的解是 . (2006年全
8、国高中数学联赛试题)设logx(2x2+x-1)logx2-1,则x的取值范围为 . (2004年全国高中数学联赛试题)不等式+20的解集为 .4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x的不等式x2ax20a2c.已知实数ab,则满足1的x构成的区间的长度之和为 .6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若1+log2(x4+1). Y.P.M数学竞赛讲座 1 基本不等式 高中联赛客观题中的不等式包括:二元均值不等式:基本不等式a2+b22|ab|及其推论a2+b2+c2ab+bc+cd;a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da;x12+x2+xn2x1x2+x2
9、x3+xn-1xn+xnx1,等号当且仅当x1=x2=xn时成立;当a0,b0时,等号当且仅当a=b时成立,其中,称为调和不等式;三元均值不等式:当a+b+c0时,a3+b3+c33abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c时成立;当a0,b0,c0时,等号当且仅当a=b=c时成立;当a0,b0,c0时,等号当且仅当a=b=c时成立;n元均值不等式:当ai0(i=1,2,n)时,(调和平均数)(几何平均数)(算朮平均数)(方幂平均数),等号当且仅当a1=a2=an时成立;柯西不等式:基本形式C0:当ai,biR(i=1,2,n)时,(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a
10、1b1+a2b2+anbn)2,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时成立;变形式C1:当ai,biR+(i=1,2,n)时,(a1+a2+an)(b1+b2+bn)(+)n,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时成立;变形式C2:当ai,biR+(i=1,2,n)时,(a1b1+a2b2+anbn)(+) (a1+a2+an)2,等号当且仅当b1=b2=bn时成立;变形式C3:当aiR+,biR(i=1,2,n)时,(a1+a2+an)(+)(b1+b2+bn)2,等号当且仅当a1:|b1|=a2:|b2|=an:|bn|时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、等号成立条
11、件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行. 1.等号成立的条件例1:(2011年全国高中数学联赛试题)设a,b为正实数,2,(a-b)2=4(ab)3,则logab= .解析:类题:1.(2007年北京高考试题)如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )(A)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值惟 (B)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值惟(C)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不惟 (D)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不惟2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=的最小值是0,则非零实数k
12、的值是 .3.(2010年全国I高考试题)(理)已知函数f(x)=|lgx|.若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 . 2 Y.P.M数学竞赛讲座 (2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=|x2-2|,若f(a)=f(b),且0ab,则ab的取值范围是 . (2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=.若a,b,c是互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 .4.(1996年全国高中数学联赛试题)如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的
13、最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是 . (2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=2x2+3px+2q和(x)=x+是定义在集合M=x|1x上的函数,对任意的xM,存在常数x0M,使得f(x)f(x0),(x)(x0),且f(x0)=(x0),则函数f(x)在M上的最大值为 .5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=4cosC,则+的最小值是 .6.(1990年全国高中数学联赛试题)点集(x,y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2 (201
14、0年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a1,a2,an均为正实数,且满足a1+a2+an=1,+=4,则a1a2an值是 . 2.二元均值不等式例2:(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y都在区间(2,2)内,且xy1,则函数u=+的最小值是 .解析:类题:1.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若a、bR+,且a-b=1,则a2+b2( ) (A)既有最大值,也有最小值 (B)有最大值,无最小值 (C)有最小值,无最大值 (D)既无最大值,也无最小值 (1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a,bb,ab=1,则的最小值是 . (2010年全国高中数学联赛河北初赛试
15、题)已知二次函数y=ax2+bx+c0(a0,b0)和函数y=logc(x+2)+2(c0且c)的图象恒过同一个定点,则的最小值为 . (2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)设0xb0,那么a2+的最小值是 .3.(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的值域为 . (1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知实数x、y、z、t满足x+y+z+t=0,x2+y2+z2+t2=10,则xy+yz+zt+tx的最大值与最小值的和为_.4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数a,b,c,d满足a2+b2+c2+d2=5,则(ab)2+(a
16、c)2+(ad)2+(bc)2+(bd)2+(cd)2的最大值是_.5.(2001年第十二届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当0时,函数y=(-1)(-1)的最大值是 . 4 Y.P.M数学竞赛讲座 6.(2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知n(nN,n2)是常数,且x1,x2,xn是区间0,内任意实数,则函数f(x1,x2,xn)=sinx1cosx2+sinx2cosx3+sinxncosx1的最大值等于_. 4.n元均值不等式例4:(1994年全国高中数学联赛试题)设0b0.则a4+的最小值是 .3.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)从半径为1分米的圆形铁片
17、中剪去圆心角为x弧度的一个扇形,将余下部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x的值是 .4.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于x1,当(1+x)5(1-x)(1-2x)2取得最大值时,x .5.(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x,y,z0,且x+y+z=1,则f(x,y,z)=xy2z3的最大值是 .6.(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设x(0,),则函数y=+的最小值为_. 5.柯西不等式例5:(1983年全国高中数学联赛试题)设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,那么( )(A)PQ (B)PQ (C)PQ (D)P、Q的
18、大小关系不确定,而与m,n的大小有关解析:类题:1.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为 .2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a,b为正整数,ab,实数x,y满足x+y=4(+),若x+y的最大值为40,则满足条件的数对(a,b)的数目为( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)73.(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a+b的最大值是 . (1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a、b、c为正常数,x、y、z为实数,且满足|x|a,|y|b,|z|c,则(
19、x+y+z)(+)的最大值是_.4.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知x、y、zR+,且+=1,则x+的最小值是 .5.(2009年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若+=4,则2x+3y的取值范围是 . Y.P.M数学竞赛讲座 5 6.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0a、b、c1满足条件ab+bc+ca1,则+的最小值是 . 6.对称不等式例6:(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0a、b、c0对于|m|1恒成立,则x的取值范围是 .解析:类题:1.(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式x2+px4x+p-3对于一切0x4恒成立
20、,则x的取值范围是 . (2008年安徽高考试题)若不等式ax2-3x+a+1x2-x-a+1对任意a(0,+)都成立,则实数x的取值范围是 .2.(2009年天津高考试题)(文)若对任意的a-2,2,不等式x4+ax3+2x2+b1在-1,1上恒成立,则实数b的取值范围是 .3.(2009年天津高考试题)(理)若对任意的a,2,不等式x+b10在,1上恒成立,则实数b的取值范围是 . 2.函数分析法例2:(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)当a1时,若不等式+(loga+1x-logax+1)对于不小于2的正整数n恒成立,则x的取值范围是 .解析:类题:1.(2006年全国高中数学联赛
21、福建初赛试题)对于x0,1的一切值,a+2b0是使ax+b0恒成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分条件,也非必要条件 (2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对|x|1的一切x,t+1(t24)x恒成立,则t的取值范围是_. 2 Y.P.M数学竞赛讲座 2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时,f(x)a恒成立,则a的取值范围是 .3.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对于一切x-2,不等式ax3-x2+x+10恒成立,则实数a的取值范围为 . 3.分离参数法例3:(2011
22、年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式sin2-(2+a)sin(+)-3-2a对0,恒成立,则实数a的取值范围是 .解析:类题:1.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数f(x)=x2-2x+3,若|f(x)-a|0恒成立.则实数a的取值范围是. (2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x、y,恒有,则k的最大值为_.3.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x+2a(x+y)对一切正数x,y恒成立,则实数的最小值为_. Y.P.M数学竞赛讲座 3 (2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当ab0时,使不等式-k(-)恒成立的常数k
23、的最大值是 . (2002年第十三届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式+m对所有正实数a、b都成立,则m的最小值是 . 5.柯西不等式法例5:(1993年全国高中数学联赛试题)设任意实数x0x1x2x30,要使1993+1993+1993k1993恒成立,则k的最大值是_.解析:类题:1.(2005年第十六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设a,b,cR+,若(a+b+c)(+)k恒成立,则k的最大值是 .2.(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式+k对任意正实数x,y成立,则k的取值范围是 . 6.综合分析法例6:(2010年全
24、国高中数学联赛福建初赛试题)若正整数m使得对任意一组满足a1a2a3a4=1的正数a1,a2,a3,a4都有a1m+a2m+a3m+a4m成立,则正整数m的最小值为 .解析:类题:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=ax2+x,已知f(3)f(n+1)恒成立,则实数a的取值范围是 .2.(1990年全国高中数学联赛试题)设n是自然数,对任意实数x,y,z恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立,则n的最小值是_.3.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知a2+b2=1,且恒ca+b成立,则c的取值范围是 . (2003年第十四届希望杯全国数学邀请
25、赛(高二)试题)设x,y,z都是正数,且x+y+z=1,则使x2+y2+z2+1恒成立的实数的最大值是 . Y.P.M数学竞赛讲座 1 不等式的基本问题 高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式. 1.同向可加例1:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax2c,满足4f(1)1,1f(2)5.那么,f(3)应满足( )(A)7f(3)26 (B)4f(3)15 (C)1f(3)20 (D)f(3)解析:类题:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1x+y4,且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是_(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学
