1、2014航班讲义 机械能（一）1.足球运动员在L = 11m远处罚球，淮确地从横梁下踢进一球.横梁下沿的高度为A =2.5m,足球的质量为m =0.5kg，不计空气阻力，必须传给这个足球的最小能量Emin是多少？2.一辆汽乍的质摄是105kg，该车从静止开始出发，以恆定的功率行驶，经过 40s.前进400m，速度达到最大值。如果车受的阻力始终是车重的0.05倍，问车的最大速度是多少？3.如图所示的装置中，重物质量为m，开始时车静止在A点，且绳已绷直，然后车加速向左运动，过B时速度为vB，已知求车从A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.4.如图所示,长2l的线系住两个相同的小钢球，放在光滑
2、的地板上，在线中央有一水平恒力F作用于线，问：（1)钢球第一次相碰时，在与F垂直的方向上钢球对地面的速度多大？（2)经若干次碰撞后，最后 两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞而失去的总能量是多少？5.质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶上，初始时，它们间相对静 止，如图所示，现使半球面以加速度匀加速向右运动，求物体离开球面时，离半球底面的距离h。6.在竖直平面内的光滑轨道如图所示，其中b点左边为直轨道，b点右边为半径为R的圆形轨道，c为轨道的最低点.一个可看作质点的小球原来静止在离轨道最低点的高度为2R处，从静止开始释放，它将沿轨道运动，并在图中e点处脱离轨道. 求e点与最高d点间的弧
3、度值，7.如图所示，质量为m的小球被两个倔强系数为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒子中.盒子从h高处开始下落，在盒子下落的瞬间，两弹簧均未发生形变，小球静止.问h为多少时盒子与地面发生完全非弹性碰撞后还能弹起？8.劲度系数为A的轻质弹簧水平放置，左端固 定，右端连接一个质量为m的木块，如图4-4-2所示.开 始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动 摩擦因数为然后加一个水平向右的恒力于木块上，则 用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可 能的伸长量是多少？2014航班讲义 机械能（二）9.某行星质量为M，半径为R，若在距该行星中心10R处有一物体，正沿着与它和行星连线夹角=
4、30的方向运动，如图所示，此物体的速度v至少要多大，才能避免该物体落在行星上与行星发生碰撞？10.将一摆长为l的单摆拉至水平位置，放手让其自由摆下，当摆到竖直位置时，在悬点O的正下方距0为d的D处，有一细钉挡着摆线，如图所示.试证：时，摆球正好击中钉子.（不计空气阻力，不计线的质量和伸长）11.两个质量均为m的小球用长度为l的不可伸长的轻线相连，从高h处自由下落，使线中点碰到水平放置的钌子上，如图所示，如果该线所能承受的最大张力为 T0，要将线拉断，线应从高h为多大处落下？12.跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下.假设运动员的质量m=60kg， 其体形可等效为一长度L = 1.0m、
5、直径d = 0.30m的圆柱体，略去空气阻力.运动员入水后，水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面，F的量值随入水深度y的变化函数曲 线如图所示.该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴和OF重合.椭圆与y轴相交于y=h处，与F轴相交于处，为了确保运动员的安全，试计算水池中水的深度h至少应等于多少？（水的密度1.0 x 103kg/m3)13. 如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块，木块体积为V、高为h，其密度为水密度的一半，横截面积也为容器横截面积的一半，水面高为2h.用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功.14.如图所示，质量为M、表面
6、光滑的半球体静止放在水平光滑地面上，半球顶端有一个质量为m的小滑块由静止开始下滑，至圆心角为处时飞离半球体，已 知cos= 0.70,试求M/m的值.2014航班讲义 动量 能量（一）1.质量为4kg的平板车静止在光滑的水平面上，一质量为1kg的玩具汽车在1s内由静止从A点加速运动到B点，AB间距0.2m,在这段时间内汽车对平板车的冲量大小为多少？2.绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及M的物体，如图所示，M m，M静止在地面上，当m自由下落h后，绳子才被拉紧，求M从离开地面到落回地面花时多少？设整个运动过程中m都不着地.3. 长为l、质量为m的柔软绳子放在水平桌面上，用手将绳子的一端以恒定
7、的速度v向上提起，求当提起高度为x(xl)时手的提力？4.如图所示，自动称米装置准备称米M kg,米出口处离容器装满M kg米时的高度为h，设出口处米的初速为0,米的流量为M kg/s,当台秤称重达M kg加容器重量时，装置能及时在米出口处切断米流，问这种装置是否正确？说明依据.5.如图所示，绳子一端固定于M点，另一端系一质量为m.的质点以匀角速度绕竖直轴做匀速圆周运动，振子与竖直轴之间的夹角为,已知a，b为直径上的两点，求质点a点运动到b点绳子张力的冲量.6.如图所示，质量为m的小木块，从高为h,质量为M的光滑斜面顶端滑下，斜面倾角为,放在光滑桌面上，问：（l)m滑到底面时，M后退的距离；（
8、2)m对M做功多少？7.颗陨石在飞向质量为M的行星途中（沿着通过行星中心的直线），碰到绕此行星沿半径为R的圆周轨道运行的 自动宇宙站.站的质量为陨石质量的10倍，碰撞的结果陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为R/2的新轨道上.求碰撞前陨石的速度u.8.质量为m的青蛙蹲在木板AB靠右端的E点，木板质量为M，自由地浮在水面上，现青蛙跳起落在木板靠左端的F点，已知EF=L，水对木板的运动阻力可忽略， 求在这种情况下，青蛙的最小初始速度v0. 9.如图所示，在光滑水平面上，有一静止的劈形木块A,质量为M，一质量为m的小球，沿水平方向以速度v碰撞木块A，碰后小球被竖直向上弹起.若碰撞中没有机械能的
9、损失，求小球被弹起的高度.2014航班讲义 动量 能量（二）10.如图，有四个大小可以不计的小木块1、2、3、4等距地依次排列在倾角 = 30的斜面上，他们的质量分别为？m1=m，m2=2m，m3=3m，m4=4m，斜面在木块2以上部分是光滑的，以下部分是粗糙的，四个木块与斜面粗糙部分之间的静摩擦因数和动摩擦因数均是,开始时用手扶住1，其余木块都静止在斜面上，放开手后，使1块自然下落并与2块相碰，接着与3块相碰，设各木块间的碰撞都是完全非弹性的，当1，2,3木块联合体下滑时，恰好停在第4块前面，并不发生碰撞，求动摩擦因数的值.11.如图中两个圆代表内、外半径几乎同为R的环形光滑轨道，它与长方体
10、的底座连在一起放置于光滑的水平面上，环与底座连体的质量为M，轨道内有一质量为m的光滑小球，开始时静止于最高处，后因受微小扰动而朝右滑下，在以后的运动过程中， 底座始终全部与地面接触，试在地面参照系中确定小球的运动轨迹。12.如图所示，一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1，m2，m3，其中m2=m3=2m1.小球与槽壁刚好接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计，开始时三球处在槽中I，II，III的位置，彼此之间距离相等，m2和m3静止，m1以初速度v0=R/2沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动
11、周期T.13.有三个质量均为m的A，B，C球，可在一无摩擦水平表面自由滑行.球A和B 连结于一长度为l且不可伸长的无弹性绳两端.当球C以速度v(向右）正中球B时，两球静止于图所示位置，巳知当球C碰撞到球B时绳子处于松弛状态(见图），并假定球B和球C之间为完全弹性碰撞.试求：(1)在绳子变成拉紧状态后瞬间每球的速度；(2)当绳子变成拉紧状态时此系统初动能丧失的百分率.14.如图所示，在光滑斜槽底部有处于静止状态的小球1，质量为2m，在斜槽上部离地面高为h处有质量为2m的小球2,和质量为m的小球3紧挨着放置，放手让两小球开始下滑，问三球发生碰撞后各自升高的最大高度？若2,3两球是粘结在一起， 则情
12、况又如何？（设碰撞是弹性的，球的大小可以忽略）15.长为2l的轻绳，两端各系有一质量为m的小球，中点系有质量为M的小球，三 球成一直线静止于光滑水平桌面上，绳处于伸直状态，如图所示，现对小球M施以冲力，使其获得与绳垂直的初速度v,求：（1)两小球m相碰时绳中张力。（2)若从小球M开始运动到两小球相碰时的时间为t,求在此期间小球M经过的距离s.2014航班讲义 动量 能量（三）16.如图所示，A，B，C三个质量相同的小球沿一直线排列在光滑水平桌面上，A球受冲击后以速度v向着B运动发生对心碰撞，设小球碰撞的恢复系数为e=，求所有碰撞结束后三个球的速度。17.放在光滑水平面上的匀质木块A，质量为M.
13、今有一质量为m的子弹以水平速度v0击中它后，恰好能从A中穿出.假如把A固定在水平面上，并在它右侧放上一块与A质地相同、质量相等的木块B，这颗子弹以同样的水平速度击穿A后又正好能穿过B，求A和B的厚度之比（子弹受到的阻力大小只与木块的质地有关）.18.质量为m的滑块可沿竖直轨道上下运动，轨道与滑块之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力都是。轨道下方置一劲度系数为k的弹簧，弹簧及其顶板的质量都可以忽略不计.现在让滑块从离弹簧顶板d处由静止落下，试求：（1)滑块能到达的最低位置；（2)滑块到达最低位置后第一次反弹的高度. 19.质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不
14、可伸长的柔软细绳AB和BC连接，角ABC为-，为一锐角，如图所示.今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作用于C质点，求质点A开始运动时的速度。20.水平桌面上叠放着三个圆柱体A，B， C,它们的半径均为r，质量mB=mC=mA/2.先让它们保持如图所示的位置，然后从静止开始释放，若不计所有接触面间的摩擦，求A触及桌面时的速度.21.在航天飞机上，如图所示，有一个长度l=20cm的圆筒，绕着与简的长度方向相垂直的轴OO以恒定的转速n=lOOr/min旋转，筒的近轴端离开轴线的距离为d =10cm，筒内装满非常粘稠，密度为1.2g/cm3的液体.有一颗质量为m=1mg，密度为= 1.5g/cm3的粒子
15、从圆筒的正中部释放（释放时粒子相对于圆筒静止），试求该粒子在到达筒端的过程中克服液体的粘滞阻力所做的功.2014航班讲义 动量 能量（四） 22.从地球向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周运动，火星轨道半径Rm为地球半径Ro的1.500倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星，第二步是在适当的时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在这段时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球及火星轨道分别在长轴两端相切的半
16、个椭圆轨道正好射到火星上，如图所示。问：（1)为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，使之在地球附近获得多大的速度（相对于地球）？(2)当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为600，如图所示.问在何年何月点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日）.已知地球半径为Re=6.4106m，重力加速度g可取9.8m/s2.23.如图四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连接成菱形ABCD，静止放在水平光滑桌面上，若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击， 当冲击结束的时刻，质点A的速度
17、为v，其他质点也获得一定的速度，BAD角为2，（小于45 )，求此质点系统受冲击后的总动量和总动能.24.如图所示，质量为m的物体沿光滑斜槽向下滑动，斜槽过渡是半径为r 的圆周，在最低点与质量为m的物体发生弹性碰撞，若碰后m脱离圆周轨道时的高度为H，m沿槽上升又下滑，隨m在同一地点脱轨，摩擦不计，问m从多高处开始运动？ 两物体质量比是多少？25.军训时，战士距离S0以速度v0起跳，再用脚蹬墙一次，如图所示,使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为，求能使人体重心有最大总升高的起跳角.26.如图所示，在倾角的光滑斜面上A点以v与斜面成角斜拋出一小球，小球与斜面做弹性碰撞，
18、问满足什么条件时小球将逐渐跳回A点？27.如图,质量为M的金属板置于光滑地面上，中央有一转动轴O，轴上联有一根轻杆，长l,上端有一质量小于M的小球质量为m，开始时小球位于最高点，系统静止，放开后m倒下，当杆转过900，m接近金属板时，求扞受到的拉力.2014航班讲义 动量 能量（五）28.如图,质量M= 0.4kg的靶盒位于光滑水平的导轨上，连接靶盒的弹簧一端与墙壁固定，弹簧的倔强系数k=200N/m，当弹簧处于自然长度时，靶盒位于O点， P是一固定的发射器，每次发射水平速度v= 50m/s，质量m=0.10kg的球形子弹，当子弹打入靶盒后，便留在盒内（假定为完全非弹性碰撞）.开始时靶盒静止，
19、现约定，每当靶盒到达或停止在O点时，都有一颗子弹射入靶盒.(1)若相继有6顆子弹射入靶盒，问每一颗子弹进入后靶盒离开O最大距离是多少？从离0点到回到0点经历时间是多少？(2)若P点到O点的距离为0.25m，问至少发几颗子弹后停止射击，方能使靶盒来回运动而不会碰到发射器？29. 人手持质量为m的小球，站在热气球下的吊篮里，如图，气球吊篮和人的总质量为M.气球以速度v匀速上升.人突然将小球向上抛出，经时间t后返回人手.若人拋接小球时相对吊篮的位置不变，求：（1)抛球过程人所做的功；（2)拋球者看到小球上升的最大高度.30.如图所示，四个质量相等的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，
20、三根绳子形成半个正六边形.现有一冲量作用于端点A并使这个质点速度为u，方向沿绳向外，求瞬时D质点的速度.31.如图,两根长度均为l的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别接质量为m，2m的小球，将此装置两杆并拢，铰链向上放在桌上，然后轻敲一下，使球往两边滑，两杆保持在竖直平面内，摩擦不计.问：（1)铰链碰到桌面时的速度；（2)两杆夹角为90时质量为2m 的小球的速度；（3)两杆夹角为90时质量为2m的小球的位移.32.ABC为三个完全相同的光滑小球.B,C各被一长为L=2m的不可伸长的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O为原点作一直角坐标系Oxyz，z轴竖直向上，Ox轴与两球连心线重合，如图所示，现让A球射向两球，使它们同时发生碰撞，碰前A速度方向沿y轴正方向，va=4. Om/s.碰后，A沿y轴负方向反弹，ua= 0,40m/s 。(1)求B，C碰后偏离0点的最大位移；（2 )讨论长时间内两球的运动状况（忽略空气阻力，g = 10m/s2).
