1、1.2 1.2 金属的费米金属的费米-索末菲电子理论索末菲电子理论电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。对电子理论最初来自金属，然后才发展到其它材料。对固体电子能量结构和状态的认识，始于对金属电子状固体电子能量结构和状态的认识，始于对金属电子状态的认识。态的认识。金属的电子理论是为了解释金属的良好导电性建立起金属的电子理论是为了解释金属的良好导电性建立起来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。来的，是液态和固态等凝聚态的理论基础。l经典的自由电子学说经典的自由电子学说l量子自由电子学说量子自由电子学说l现代能带理论现代能带理论l经典的自由电子学说经典的自由电子学说u德鲁特首先预言在金属含有
2、带电粒子气体，其运动德鲁特首先预言在金属含有带电粒子气体，其运动使金属具有良好的导电性。使金属具有良好的导电性。u洛仑兹证实了这些粒子为电子。洛仑兹证实了这些粒子为电子。内容：内容：金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子金属原子聚集成晶体时，其价电子脱离相应原子的束缚，在金属晶体中自由运动，故称为自由电子，并的束缚，在金属晶体中自由运动，故称为自由电子，并且认为它们的行为如理想气体一样，服从经典的且认为它们的行为如理想气体一样，服从经典的Maxwell-Boltzmann统计规律。统计规律。l经典的自由电子学说经典的自由电子学说(续续)作用作用:成功地计算出金属电导率以及电导率和热导成功地
3、计算出金属电导率以及电导率和热导率的关系。率的关系。缺陷：缺陷：解释不了霍尔系数解释不了霍尔系数“反常反常”现象；现象；实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多；实际测量的电子平均自由程比经典理论估计的大许多；金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值的百分金属电子比热测量值只有经典自由电子理论估计值的百分之一；之一；金属导体，绝缘体，半导体导电性的巨大差异。金属导体，绝缘体，半导体导电性的巨大差异。1.2.1 金属中自由电子的能级金属中自由电子的能级一维势阱模型（索末菲假设）一维势阱模型（索末菲假设）假设在长度为假设在长度为L的金属丝中的金属丝中有一个自由电子在运动，且金属有一个自由
4、电子在运动，且金属晶体内的电子与离子没有相互作晶体内的电子与离子没有相互作用，其势能不是位置的函数，即用，其势能不是位置的函数，即电子势能在晶体内到处一样，取电子势能在晶体内到处一样，取U(x)0；由于电子不能逸出金；由于电子不能逸出金属丝外，则在边界处属丝外，则在边界处金属中自由电子的能量是量子化的，其各分立能级金属中自由电子的能量是量子化的，其各分立能级组成不连续的能谱，而且由于金属中自由电子数目组成不连续的能谱，而且由于金属中自由电子数目很大，相邻能级间波长差很小，所以能级间能量差很大，相邻能级间波长差很小，所以能级间能量差很小，又称为准连续的能谱。很小，又称为准连续的能谱。三个不同量子
5、数组成的不同波函数，可对应同一能三个不同量子数组成的不同波函数，可对应同一能级。如果几个状态对应于同一能级的情况，称为简级。如果几个状态对应于同一能级的情况，称为简并，而对应于同一能级的几个不同状态，称为几重并，而对应于同一能级的几个不同状态，称为几重简并态。简并态。比如三种状态对应同一能量数值时，称为三重简并比如三种状态对应同一能量数值时，称为三重简并态。由于存在自旋，金属中自由电子至少是二重简态。由于存在自旋，金属中自由电子至少是二重简并态。并态。1.2.2 1.2.2 自由电子的能级密度自由电子的能级密度目的：目的：u计算金属中自由电子的能量分布计算金属中自由电子的能量分布u计算某能量范
6、围内的自由电子数计算某能量范围内的自由电子数能级密度又称状态密度能级密度又称状态密度dN 为为E到到E+dE能量范围总的状态数能量范围总的状态数能量能量E附近单位能量范围内所能容纳的状态数。附近单位能量范围内所能容纳的状态数。状态密度很关键，如何求出呢状态密度很关键，如何求出呢?测不准原理测不准原理：（1.38）xxph 能级（状态）密度随能量的变化能级（状态）密度随能量的变化 三维：三维：二维：二维：一维：一维：12()Z EE()CZ E 常数12Z(E)E1.2.3 自由电子按能级分布自由电子按能级分布l金属中大量的自由电子是怎样占金属中大量的自由电子是怎样占据这些能级的呢？据这些能级的
7、呢？l金属中自由电子的能量是量子化金属中自由电子的能量是量子化的，构成准连续谱。的，构成准连续谱。恩利克恩利克费米费米（Enrico Fermi）美国物理学家。生于意大利罗马。美国物理学家。生于意大利罗马。1922年获比萨大学博士学位。年获比萨大学博士学位。1923年前往德国。在年前往德国。在玻恩玻恩的指导下从事研究的指导下从事研究工作。工作。1925年一月至年一月至1926年秋季在佛罗伦萨大学年秋季在佛罗伦萨大学工作，开始研究费米工作，开始研究费米-狄拉克统计问题。狄拉克统计问题。1929年任意大利皇家科学院院士。年任意大利皇家科学院院士。1934年用中子轰击原子核产生人工放射现象。年用中子
8、轰击原子核产生人工放射现象。开始中子物理学研究。被誉为开始中子物理学研究。被誉为“中子物理学中子物理学之父之父”。1936年出版的热力学讲义。成为后人教学用年出版的热力学讲义。成为后人教学用书的著名蓝本。书的著名蓝本。1938年由于年由于“通过中子照射展示新的放射性元素的存在，通过中子照射展示新的放射性元素的存在，以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。以及通过慢中子核反应获得的新发现获得诺贝尔物理奖。1941年底，费米在哥伦比亚大学主持建造了世界上第一座原年底，费米在哥伦比亚大学主持建造了世界上第一座原子反应堆子反应堆他于他于1954年去逝。年去逝。100号化学元素号化学元素镄镄就
9、是为纪念他而命名的就是为纪念他而命名的基态（基态（T0）当当T0时，系统的能量最低。但是，由于电子时，系统的能量最低。但是，由于电子的填充必须遵从的填充必须遵从Pauli原理，因此，即使在原理，因此，即使在T0时，时，电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能电子也不可能全部填充在能量最低的能态上。如能量低的能态已经填有电子，其他电子就必须填到能量低的能态已经填有电子，其他电子就必须填到能量较高的能态上。所以，在量较高的能态上。所以，在 k空间中，电子从能量最空间中，电子从能量最低的原点开始，由低能量到高能量逐层向外填充，低的原点开始，由低能量到高能量逐层向外填充，其等能面为球面，一直到所有
10、电子都填完为止。其等能面为球面，一直到所有电子都填完为止。由于等能面为球面，所以，在由于等能面为球面，所以，在k空间中，电子填充的空间中，电子填充的部分为球体，称为部分为球体，称为Fermi球（球（Fermi sphere）。）。Fermi球的表面称为球的表面称为Fermi面（面（Fermi surface）；）；Fermi面所面所对应的能量称为对应的能量称为Fermi能（能（Fermi energy，EF0）。）。2202FFkEm022FFmEk 费米半径费米半径Fermi wave vectorFFPk 费米动量费米动量Fermi momentumFFkVm 费米速度费米速度Fermi
11、velocity 费米能费米能Fermi energy基态时基态时(T=0)，电子在，电子在k空间的分布空间的分布Fermi球球Fermi面面温度高于温度高于0K0K时电子分布情况时电子分布情况,()1,()1FFFEEf EEEEEkT f E,()01,()2FFvEEf EEEEEkT f E只有在费米面附近厚度只有在费米面附近厚度kBT的一层电的一层电子能够吸收能量，因此只有这层电子子能够吸收能量，因此只有这层电子对比热有贡献。对比热有贡献。由于泡利不相容原理，处于费由于泡利不相容原理，处于费米海深处的电子在热激发下得米海深处的电子在热激发下得不到足够的能量跃迁到空态，不到足够的能量跃
12、迁到空态，因此不受热激发的影响。因此不受热激发的影响。温度升高时电子分布变化的物理图像温度升高时电子分布变化的物理图像金属在熔点以下，虽然自由电子都受到热激发，但只有金属在熔点以下，虽然自由电子都受到热激发，但只有能量在能量在EF附近附近kT范围内的电子，吸收能量，从范围内的电子，吸收能量，从EF以下能以下能级跳到级跳到EF以上能级。也就是说，温度变化时，只有一小部以上能级。也就是说，温度变化时，只有一小部分的电子受到温度的影响。分的电子受到温度的影响。量子自由电子学说正确解释了金属电子比热容较小的原量子自由电子学说正确解释了金属电子比热容较小的原因，其值只有德鲁特理论值的百分之一。因，其值只
13、有德鲁特理论值的百分之一。Fermi 冻结冻结 对于金属而言，由于对于金属而言，由于T TF总是成立的，因此，总是成立的，因此，只有费米面附近的一小部分可以电子被激发到高能只有费米面附近的一小部分可以电子被激发到高能态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T0）的状态，我们称这部分电子被的状态，我们称这部分电子被“冷冻冷冻”下来。因此，下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。正因为这样，对金属费米面面附近的那一小部分。正因为这样，对金属费米面的研究就显得尤为重要。的研究就显得尤为重要。
