1、椭圆的几何性质及综合问题汇总椭圆的几何性质一、概念及性质1. 椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a,b,c 的关系”；2. 椭圆的通经：3. 椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4. 椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求41解： a - c PF1 a + c .5. 直线与椭圆的位置关系：6. 椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程；(3)求离心率的值或范围题
2、型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P(-3,0), Q(0,-2) ；（2）长轴长等于 20，离心率等于3 .5+=【典例 2】求椭圆的长轴和短轴长、16x 225 y 2400离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例 3】已知 A，P，Q 为椭圆 C：x 2a 2+ y 2b 2= 1(a b 0)上三点，若直线 PQ 过原点，且直线 AP，AQ的斜率之积为- 1 ，则椭圆 C 的离心率为（）2A. 22B. 1C.224D. 14【练习】(1)已知椭圆x2y21(ab0)的一个焦a2b2点是圆 x2y26x8
3、0 的圆心，且短轴长为 8， 则椭圆的左顶点为()A(3，0)B(4，0)C(10， 0)D(5，0)（2x2y249）椭圆4k1 的离心率为5，则 k 的值为()25A 21B 21C 19 或 2119D25或 21(3)设椭圆 C：x2y21(ab0)的左，右焦点a2为 F ，F ，过 Fb2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，122B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于 x2y2【典例 4】已知 F ，F 为椭圆1(ab12a2b20) 的左，右焦点， P为椭圆上任意一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围是PF = 5 PF12练习：如图，把椭
4、圆x 2 + y 22516= 1的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分与 P1,P2,P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则=PF + PF +L + PF127【典例 5】若 “过椭圆x2y21(ab0)的左，a2b2FFll右焦点，的两条互相垂直的直线， 的交1212点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围【典例 6x2y21，点 M 与 C】已知椭圆 C： 9 4 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN| 【方法归纳】：1. 在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”
5、.2. 求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”， 一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数 a,b,c 之间的关系，以减少运算量3. 在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式(或不等式)， 利用 a2b2c2 消去 b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围5. 在探寻 a,b,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性
6、质，则可使问题简化，如典例 5.【本节练习】1已知椭圆的长轴长是 83，离心率是4，则此椭圆的标准方程是()x2y2x2y2x2y2x2A16 7 1B16 7 1 或7 161C16y2x2y2x2y2251D16251 或251612.x2y21设 e 是椭圆 4 k 1 的离心率，且 e(2，1)，则实数 k 的取值范围是()A(0，3)B(316)C(0，3) 16， 3)D(0，2)( 3 ，3. 已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B ，B ，焦12点为 F ，F ，若四边形 B F B F是正方形，则121122这个椭圆的离心率 e 等于()A 2B1C 3D 322234. x2y
7、2如图，焦点在 x 轴上的椭圆4b211的离心率 e2，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P是椭圆上任意一点，则PFPA的最大值为 5. 已知椭圆 C：x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 的左、右焦点为F , F ，12离心率为3 ，过 F32的直线 l 交 C 于 A,B 两点，14 3若AF B 的周长为，则 C 的方程为（）A. x 2 + y 2 = 1 32B. x 23+ y 2 = 1C. x 2 + y 2 = 1 128D. x 2 + y 2 = 1 1246. 已知 F 、F 是椭圆 x2 y2 1 的两个焦点，P1210064是椭圆上一点，且 PF1
8、PF2，则F1PF2 的面积为 E7. 设是椭圆： x 2F , F+ y 2= 1(a b 0) 的左、右焦点，12a 2b 2P 为直线x = 3a 上一点， DF PF 是底角为 300 的等腰221三角形，则 E 的离心率为（）A. 1B. 2C. 3D. 423458. 过椭圆 x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 的左焦点 F作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点，若1F PF12= 600，则椭圆的离心率为（）A. 5B. 3C. 1D. 123239. 已知椭圆 x 2+ y 2= 1(a b 0) 的左焦点为 F，右顶点a 2b 2为 A，上顶点为 B，若
9、BF BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10. 已知F 为椭圆的左焦点，A，B 分别为椭圆的1右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF1 F A ，1POAB（O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11. 已知方程x2y21 表示焦点在 y 轴上2k2k1的椭圆，则实数 k 的取值范围是()A11(2，2)B(1，)C(1，2)D(2，1)12. 矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|3，则以A， B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的短轴的长为 ()A23B26C42D4313. 一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|
10、，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )x2y2x2y2x2A 8 6 1B16 6 1C 8 y2x2y24 1D16 4 114.如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆x2y21(ab0)的右焦a2b2点 F，且这两条曲线交点的连线过点 F，则该椭圆的离心率为 =15. 已知抛物线x 2y4与椭圆 x 2 + y 2 = 1(a 0)a 218在第一象限相交于 A 点，F 为抛物线的焦点，ABy 轴于B 点，当BAF=300 时，a=16. 设 F ，F 分别是椭圆x2 y2 1 的左、右焦122516点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6，4)， 则|
11、PM|PF1|的最大值为 17椭圆x2y236 9 1 上有两个动点 P、Q，E(3，0)，EPEQ，则EPQP的最小值为() A6B3 3C9D126318. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，则这个椭圆方程为 19. 若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列， 则该椭圆的离心率是 20. 已知圆锥曲线 mx24y24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A4B3C2D114. 椭圆G : x2 + y2 = 1(a b 0)的左右焦点分别为 F , F ,焦=a2b212
12、距为，若直线2cy3(x + c)与椭圆的一个交点满足MF F= 2MF F ,则该椭圆的离心率等于 1 22 1设 F (c, 0), F (c, 0)是椭圆 x 2+ y 2= 1 (ab0)12a 2b 2的两个焦点，P 是以|F F |为直径的圆与椭圆12的一个交点，且PF F =5PF F ，则该椭圆的离心率为1221（A） 1（B）3（C）2（D）23223 6若椭圆 x2 + y2 = 1 的焦点在 x 轴上，过点（ 1， 1 ）作a2b22圆x2 +y2 =1的切线，切点分别为 A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x2y21(ab0)的右焦点
13、为 F1，a2b2左焦点为 F2，若椭圆上存在一点 P，满足线段PF1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 PF1 的中点，则该椭圆的离心率为( )A 5B2C 2D522. 已知3A, P,Q329为椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0) 上三点，若直线过原点，且直线PQa2AP, AQb2的斜率之积为1 ，则椭-2圆 的离心率等于()CA 2B 1C 2224D 14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例 1】当 m 为何值时，直线l : y = x + m 与椭圆9x 2 + 16 y 2 = 144 相切、相交、相离？【典例 2】已知椭圆 x 2 + y 2259=
14、 1，直线l : 4x - 5 y + 40 = 0 ，椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？ 最小距离是多少？反馈：（2012 福建）如图，椭圆 E：x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0)e =的左右焦点分别为 F1、F2，离心率1 ，过 F12的直线交椭圆于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 8.（1） 求椭圆 E 的方程；y = kx + m（2） 设动直线 l： 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 交于 Q，试探究：在坐标平面内，是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】
15、：直线与椭圆位置关系判断的步骤：联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程；当0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当0 时，直线与椭圆相离注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例 1】已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 x 24+ y 2 = 1的1右焦点，交椭圆于 A,B 两点，求弦 AB 的长及DABF的周长、面积.【典例 2】已知椭圆x2y21(aa2b2b0)经过点(0， 3)，离心率1
16、为2，左，右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(1) 求椭圆的方程；(2)1若直线 l：y2xm 与椭圆交于 A，B两点，与以 F F为直径的圆交于 C，D 两点，12|AB|53且满足|CD| 4，求直线 l 的方程+=【典例 3】已知一直线与椭圆相交于4x 29 y 236A,B 两点，弦 AB 的中点坐标为 M(1,1)，求直线 AB 的方程.变式：过点 M (1,1)作斜率为 - 1 的直线与椭圆 C ：2x2 + y2 = 1(a b 0) 相交于 A, B ，若M 是线段 AB 的中点，a2b2则椭圆 的离心率为C【 典例 4 】（ 2015新课 标文） 已 知椭圆C :
17、x2 + y2 = 1(a b 0)的离心率为 2 ,点在 C 上.()2, 2a2b22（I） 求 C 的方程；（II） 直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点为M，证明：直线 OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例 5】已知点（0，-2），椭圆E ：x2 + y2 = 1(a b 0)Aa2b2的离心率为 3 ，F2是椭圆的焦点，直线的AF斜率为2 3 ，O3为坐标原点.（）求 的方程；E（）设过点 的直线 与 相交于两点，AlEP, QD当的面积最大时，求 的方程.OPQl【典例 6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在
18、x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若直线 l：y = kx + m与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1） 解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系” .利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2） 如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：若已知直线过 y 轴上的定点 P(0,b
19、)，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即 y=kx+b，但要讨论斜率是否存在；若已知直线过 x 轴上的定点 P(a,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即 x=my+a，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的 k 用 1 替换.m（3） 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|线斜率)（1k2）（x1x2）24x1x21（1k2）（y1y2）24y1y2(k为直【本节练习】1.(2014高考安徽卷)设 F ，F分别是椭圆 E：x212y21(0bb0)的离心率为，a2b23右焦点为(2 2，0)斜率为 1 的直线 l
20、 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形， 顶点为 P(3，2)(1) 求椭圆 G 的方程；(2) 求PAB 的面积5. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为 21，离心率为2(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 l 经过点 M(0，1)，且与椭圆C 交于 A，B 两点，若AM2MB，求直线 l 的方程5.已知椭圆x 2 + y 2= 1(a b 0) 的离心率为3 ，右焦点到直线a 2b 22x + y +6 = 0 的距离为 2 3 . (1)求椭圆的方程；（2）过点 M (0,-1) 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交 x 轴于 N 点，满足
21、 NA = - 7 NB ，5求直线 l 的方程.6. 已知椭圆 x 2+ y 2= 1(a b 0) 的离心率为3 ，且长轴长为 12，过点a 2b 22P(4,2)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点. (1)求椭圆方程；（2）当直线 l 的斜率为 12段 AB 的中点时，求直线 l 的方程.时，求 AB 的值；(3)当点 P 恰好为线7. 平面直角坐标系 xoy 中,过椭圆 M： x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 的右焦点 F 作直线 x + y -3 = 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1 .2()求 M 的方程;()C,D 为
22、 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设F , F分别是椭圆E : x2 + y2= 1(a b 0)的左、右焦12a2b2点，过且斜率为 1 的直线与lF1成等差数列.相交于EA, B两点，AF , AB , BF22（1） 求的离心率；E-=（2） 设点满足，求 的方程.p(0, 1)PAPBE9. 设 F1，F 分别是椭圆 C：x2 + y2 =（ab0）的2a2b21左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直， 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.（I） 若直线 MN 的斜率为3 ，求 C 的离心率；4（II）
23、 若直线MN在 y轴上的截距为2 且|MN|=5|F N|，求 a，b.110 如图，点 F1(c，0)，F2(c，0)x2y2分别是椭圆 C：a2b21(ab0)的左，右焦点，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P，过点a2F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x c 于点 Q(1) 如果点 Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆 C的方程；(2) 证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点11.已知椭圆 C：x22y24(1) 求椭圆 C 的离心率；(2) 设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点B 在椭圆 C 上，且 OAOB，（文）求线段 AB 长度的最小值（理）试
24、判断直线 AB 与圆系.x 2 + y 2 = 2的位置关圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”.一、最值问题【规律方法】：（1） 最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2） 两种常见方法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常
25、用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法； 若是更复杂的函数，还可用导数法.（3） 圆锥曲线的综合问题要四重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的作用；重视根与系数的关系在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方 程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014 江西文科考题，范围中的题 6、7.1. 已知椭圆 C： x 2a 2（a0）的焦点在 x 轴上，+=y 21右顶点与上顶点分别为 A、B.顶点在原点，分别以 A、B 为焦点的抛物线 C 、C12交于点 P（不同于 O 点），且以 BP 为直径的圆经过点 A.（）求椭圆 C 的标准方程；（）
26、若与 OP 垂直的动直线 l 交椭圆 C 于 M、N 不同两点，求OMN 面积的最大值和此时直线 l 的方程.2. 已知椭圆 C：x 2+ y 2= 1(a b 0) 的上顶点为（0，1），且离心率为 3 .2a 2b 2（）求椭圆 C 的方程；（）证明：过椭圆 x 2m 2+ y 2 n 2= 1(m n 0) 上一点Q(x , y ) 的00切线方程为 x xy y；0+0= 1m2n 2MNx 2 +2y = 16（）从圆上一点 P 向椭圆 C 引两条切线，切点分别为 A、B，当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点时，求的最小值.3. 已知动点 P 到定点 F（1，0）和
27、到定直线 x=2的距离之比为 2 ，设动点 P 的轨迹为曲线 E，过2y = mx + n点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l：与曲线 E 交于 C、D 两点， 与线段 AB 相交于一点（与 A、B 不重合）.（）求曲线 E 的方程；x 2 +2y = 1（）当直线 l 与圆 相切时，四边形 ACBD的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由.A4. 已知点 （0，-2），椭圆 ：x2y2的离E+= 1(a b 0)心率为 3 ，F2a2b2是椭圆的右焦点，直线的斜AF率为2 3 ，O3为坐标原点.（）求E 的方程；（
28、）设过点A 的动直线l 与E 相交于P, Q 两点，当DOPQ 的面积最大时，求l 的方程.5. 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 椭 圆C : x 2 + y 2= 1(a b 0)的离心率为3 ，且点(3, 1 )在椭圆C a 2b 222上，（）求椭圆 的方程；C（）设椭圆x 2y 2， 为椭圆上任意一E :4a 2+ = 1PC4b 2=+点，过点 的直线交椭圆 E 于两点，PykxmA, B射线交椭圆 E 于点 .POQ（）求 OQ 的值；OP（）求DABQ 面积的最大值。二、定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率、某些
29、代数表达式的值等）的大小与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路 是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变化的量所影响的一个值即为定值.求定值的基本方法：1. 直接推理计算，通过消参得到定值：直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量（如 2015 高考文科）2. 从特殊入手，求出定值，再证明，即从特殊到一般法：从动点或动直线的特殊位置入手， 计算
30、出定值或定点，然后验证一般情形，即证明这个值与变量无关.【注】：无论哪种方法，其求解过程仍始终贯穿一条主线.1. 已知椭圆 C：x2a2+ y2 b2= 1(a b 0)的离心率为2 ，点2(2, 2)在 C 上.（1） 求 C 的方程；（2） 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.证明： 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.+=2. 已知椭圆 C：9x 2y 2m 2 (m0)，直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B， 线段 AB 的中点为 M.（）证明：直线OM 的斜率与 l 的斜率的
31、乘积为定值；（）若 l 过点 m ，延长线段 OM 与 C 交于点, m 3P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，请说明理由.3. 已知动直线l 与椭圆C ：x2 + y2 = 1交于P (x , y ),Q (x , y )321122两不同点，且原点DOPQ的面积S=DOPQ6 ，其中2为坐标O（）证明：x 2 + x 2 和y 2 + y 2均为定值；1212（）设线段值；的中点为PQM，求 OM PQ的最大（ ） 椭圆上是否存在三点， 使得CD, E, GSDODE= SDODG= S=DOEG6 ？若存在，判断2DDEG的形状；若不存在，请说明理由
32、（安排此题的目的有两个：一是在处理(1)时，所建立的等式S=DOPQ6 中含有两个变量，且这2两个变量间再无直接关系，此时可通过观察等式的结构，通过换元，再借助此等式，探索原来两个变量间的关系，以达到消元的目的；二是在处理（2）时，可通过观察 和OM 2PQ 2的结构，通过变形，使之满足均值不等式求最值的三个条件）4. 如题（20）图，椭圆的中心为原点 ，离心率O2 ，一条准线的方程为e = 2x = 2 2 （）求该椭圆的标准方程；（）设动点P满足：=+OPOM2ON，其中是M , N椭圆上的点，直线与的斜率之OMON积为 - 1 ，问：是否2存在两个定点，F , F12使 得 PF + P
33、F为 定12值？若存在，求F , F12的坐标；若不存在，说明理由4.已知椭圆 E： x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 其焦点为 F ，1F ，离心率为 2 ，直线 l：x+2y-2=0 与 x 轴，22y 轴分别交于点 A，B.（1） 若点 A 是椭圆 E 的一个顶点，求椭圆的方程；PF（2） 若线段 AB 上存在点 P 满足1求 a 的取值范围.+ PF2= 2a ，5. 已知椭圆： x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 的长轴长为 4，且过点1 .( 3, )2（1）求椭圆的方程；（ 2 ） 设 A ， B ， M是椭圆上的三点. 若 OM = 3 OA
34、+ 4 OB55，点 N 为线段 AB 的中点，6-C(2，,0)D( 62,0)，求证：NC + ND = 2 2 .（2014 江西文）如图，已知抛物线C : x2 = 4 y ，过点M (0,2) 任作一直线与C 相交于A, B 两点，过点B 作 y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.（1） 证明：动点D 在定直线上；C（2） 作的任意一条切线（不含lx轴）与直线y = 2N相交于点，与（1）中的定直线相交于点1N ，证明：| MN22|2 - | MN1|2 为定值，并求此定值.三、定点问题（同定值问题）1. 已知椭圆 C 的中心在为坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆
35、 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l： y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A，B两点（A，B 均不在左、右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点， 并求出该定点的坐标.2.（2013 陕西）已知动圆过定点 A(4,0), 且在y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.() 求动圆圆心的轨迹 C 的方程;l() 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是的角平分线, 证明直线 过定点.PBQl2.（2014 课标 1）在直角坐标系xOy中，
36、曲线C : y = x24=+与直线交与两点，l : ykxa(a0)M , Nk = 0（）当时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；P（） 轴上是否存在点，使得当yk总有OPM=OPN？说明理由.变动时，3. 设动直线 l 与抛物线 E： x 2 = 4 y 相切于点 P，与直线y = -1 相交于点 Q，证明：以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.4. 已知结论：若点P(x ,y)为椭圆x 2 + y 2= 1 上一00a 2b 2+点，则直线l: x x0y0 y = 1与椭圆相切，现过椭圆a 2b 2C: x 2 + y 294= 1上一点 P 作椭圆的切线交直线x = 9 5 于5点 A，试判断以线段 AP 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.5. 已知椭圆 x 2a 2+ y 2 b 2= 1 的两个焦点为 F (-c,0), F (c,0) ，其12中 a,b,c 都是正数，长轴长为 4，原点到过点 A(0,-b)和 B(a,0)两点的直线的距离为2(1) 求椭圆的方程；21 .7(2) 若点 M,N是定直线 x=4上的两个动点，证明：以 MN 为直径的圆过定点，F M F N = 012并求定点坐标.5.(201
