1、1第四节一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容本节内容:第四四章 2一、一、有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,(2qpkN若干部分分式之和3例例1 将下列真分式分解为部分分式:;)1(1)1(2xx;653)2(2xxx.)1)(21(1)3(2xx解解(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1
2、(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx4(2)用待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB3(3)(2)xA xB x2x 令令5A 得得3x 令令6B 得得故235562xxxx 36x23d 56xxxx 如如何何求求？5例：)1)(21(12xx xA2121xCBx21)+(B+C)(1+2)Axxx 去去分分母母：1 1=（21(2)(2)AB xBC xCA 20AB20BC421,555ABC 原式原式=14512x 2112xx1CA比较系数比较系数：4512x 221551xx 6例例2 求.)1)(21(d2xxx解
3、解 由例1知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan5114512x 2112xx7说明：说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三种情况：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三种情况：多项式；kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,(2qpkNCaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:8结论结论:有理函数的原函数都是初等函数，但不一有理函数的原函数都是初等函数，但不一 定是有理函数定是有理
4、函数.xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42)1,04(2nqp变分子为)2(2pxM2pMN 再分项积分 pxqpxx2)(29例例3 求.d3222xxxx解解 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx22)2()1()1d(3xx 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法.10例例4 求求解解 原式xxd14)1(2x)1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx
5、21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0(xCaxa arctan1221dxax Caxaxa ln21221dxxa 11二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxRxxxRd)cos,(sin
6、令2tanxt t 的有理函数的积分12222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211tt（万能置换公式）（万能置换公式）tan,2xt 令令22sin,1txt 221cos,1txt 2arctanxt 22dd1xtt (sin,cos)dRxxx 2222212,d.111ttRtttt 13例例5 求求.d)cos1(sinsin1xxxx解解 令令,2tanxt 则则sin x212ttcos x2211ttxdttd122xxxxd)cos1(s
7、insin1 2121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21222122d2121tttttt 212d2tttt 14例例6 6 求积分求积分.sin14 dxx解解,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 15说明说明:三角函数有理式的积分方法三角函数有理式的积分方法化为有理函数化为有理函数(sin,cos)dRxxx 2222212,d
8、.111ttRtttt 1.1.万能代换万能代换,2tanxt 2.2.万能代换对三角函数的有理式都可应用，但有时万能代换对三角函数的有理式都可应用，但有时万能置换不一定是最佳方法万能置换不一定是最佳方法16例例7 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解 可令可令,sin xt 原式原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 )1(sin4221d)1(ttttttttd11221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312d(sin)x17内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型可积函数的
9、特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法,简便计算简便计算.简便简便,18第四章小结第四章小结一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念)()(xfxF ()d()f xxF xC dxxfd)(xxfd)(Cd)(xF)(xF二、二、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形通
10、过简单变形,利用基本积分公式和运算法则利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法.192.换元积分法换元积分法xxfd)(第一类换元法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法第二类换元法(代换代换:)(tx3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则使用原则:1)由由v易求出易求出 v;2)xvud比比xvud好求好求.一般经验一般经验:按按“指指,三三,幂幂,反反,对对”的顺的顺序序,排前者凑微分排前者凑微分.xvudddu vuvv u 20例例1 1 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx x
11、uln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 21例例 2.求不定积分求不定积分解解.d)1(126xxx令,1xt 则,1tx ttxd1d2,故xxxd)1(126161t)11(2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224分母次数较高分母次数较高,宜使用倒代换宜使用倒代换.22例例3 3 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 23例例4 4 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sinco
12、s1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 24例例5 5 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 25例例6 6 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.26例例7 7 求求.12321dxxx 原式原式 dxxx
13、xxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 27例例8 8 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 28解解例例9 9 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf
