1、巧用圆锥曲线定义解题(教学设计)南浔中学 沈爱华一、教材分析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。圆锥曲线的定义是根本，是相应标准方程和几何性质的“源”，不能正确的理解定义，对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。而且圆锥曲线的定义反映着它特有的几何特征，这些定义在解题中起着不可忽视的作用。对圆锥曲线的定义的教学我们往往注重它的理解而忽略它的运用，恰当地运用定义解题，有助于使问题得到更清晰、简洁的解决。同时理解圆锥曲线的定义，是学生掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质的基础；熟
2、练运用定义解题，可以培养学生运用方程研究曲线几何性质的能力。二、学生情况分析：作为普通中学的高三学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，但在运用圆锥曲线定义解题的方法、题型没有掌握好，圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁。因此,在高三数学复习课的教学过程中，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“巧用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。三、设计思想：由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我首先复习圆锥曲线的定义，使学生进一步理解定义；然后有意识地引导学生运用定义解题来分类
3、研究学习，利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,以使学生提高运用知识解决问题的能力。四、教学目标：1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、渐近线等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解， 培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.3借助导学案辅助教学,激
4、发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中,努力培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.五、教学重点：圆锥曲线定义的理解，运用该定义解题的方法与题型的掌握。六、教学方法：讲授法、讲练结合七、教学过程：（一）、复习圆锥曲线的定义椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。双曲线定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。设计意图：通过让学生复习圆锥曲线的定义，熟悉定义，尤其注意定义中三类曲线
5、的相同点和不同之处，为接下来进一步利用定义解题打下基础。（二）、例题讲解类型一、利用定义求轨迹例1动点满足下列方程，请说出其表示的轨迹；。设计意图：通过直接给出式子，了解学生对定义的掌握程度。分析：对于第（1）、（2）小题，大部分学生是利用两点间的距离公式结合定义直接看出其轨迹方程，但是对于第（2）题，要引导学生注意双曲线定义的绝对值，从而考虑到是双曲线的一支，第（3）小题可能大部分学生是利用化简得到的，最后让学生反过来再看通过两点间距离和绝对值的几何意义，结合抛物线的性质，可直接得到。解析： 可看作点 与两定点、的距离之和为，又，所以点的轨迹是以、为焦点、长轴长为的椭圆。可看作点 与两定点、
6、的距离之差为，又，所以点的轨迹是以、为焦点、实轴长为的双曲线的下支。可看作点 与定点距离等于到直线的距离。所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。变式1、已知定点，以为一个焦点作过，的椭圆，则另一焦点的轨迹方程是 。设计意图：本题通过定义求轨迹的一个提升，进一步加强学生对椭圆定义与双曲线定义的理解、掌握。分析：此题首先要根据椭圆的定义，再转化为双曲线的定义，最后对比双曲线的定义，得到是双曲线的一支。解析：由题意，,，又， ，从而可知点是以为为焦点、实轴长为的双曲线的下支，即，另一焦点F的轨迹方程是。类型二、利用定义求最值例2. 分别是椭圆的左、右两焦点，点在椭圆上运动，定点，求的最大值。设计
7、意图：本题结合数形结合思想，考查椭圆的定义的活学活用。分析：此题是利用椭圆定义求最值的典型例题，是左焦点，通过椭圆定义，转化为到右焦点的距离，再利用三角形两边之差小于第三边得到。解析：， ，当且仅当三点共线时取等号。变式1、为上一点，记到准线的距离为，到的距离为，求的最小值；设计意图：本题主要考查了抛物线的简单应用考查了学生对抛物线定义的理解和应用分析：此题是利用抛物线定义求最值，区别于椭圆与双曲线，对于P到准线的距离为，通过定义转化为到焦点的距离，过向直线引垂线，此时最小，进而利用点到直线的距离公式，即得最小值。解析：， 为抛物线的焦点，为点到直线的距离，即为所求最小值。又，。变式2、 定长
8、为的线段在上移动，求中点到轴的最小距离。设计意图：本题是对求最值问题的一个提升，考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，通过这道题可以深入观察学生对求抛物线定义的掌握程度，加强学生分析问题和解决问题的能力。分析: 此题首先要考虑中点到轴的最小距离，等于点到准线的距离小，再利用梯形的中位线，点到准线的距离等于到准线的距离和的一半，再利用抛物线的定义转为到焦点的距离和，最后利用三角形两边之和大于第三边而解决。解析：，其中为到准线的距离又，所以，当且仅当三点共线时取等号。类型三、利用定义求值例3、 已知椭圆，为左右焦点，点在椭圆上，且，求的面积。设计意图：本题主要考查利用椭圆的定义求焦点三角形面积，是
9、一道的常规题。主要是加强学生对椭圆的定义结合余弦定理的应用。 分析：先根据椭圆的定义，结合余弦定理，可求得的值，最后利用三角形面积公式求解解析：设，则由椭圆定义，得，又由余弦定理得，从而由，得，即所以的面积为 变式1、设的重心为，且，若，则的取值范围是 。 设计意图：本题来源于2015高三文科一模的一道填空题。此题学生当时根本就没想到与椭圆的关系，但放在这节课中，学生都想到重心的轨迹为椭圆。主要考查了椭圆的定义标准方程及其性质结合三角形的重心，加强学生的推理能力与计算能力。分析：由条件，又要，从而根据椭圆的定义，可知点的轨迹方程，又为三角形的重心，所以求的取值范围，又可转化为求的取值范围的倍即
10、可。解析：因为，所以以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，则可知 ，又，则点在椭圆方程上，又为的重心，则=，而， 可知变式2、从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，且交双曲线的右支交于点，是线段的中点，为坐标原点，则的值为 。设计意图：此题学生在做练习时，普遍认为较难，错误率较高，因而放在这里，让学生再次感受一下双曲线定义的魅力。本题考查了圆的切线的性质、三角形的中位线定理、双曲线的定义、勾股定理，进一步加强学生的推理能力。分析：要求，先引导学生分析图象， 利用三角形的中位线定理可得，再，利用勾股定理算出，而，最后由双曲线的定义即可算出。解析：利用三角形的中位线定理可得，再利用圆的切线的性
11、质可得，而，结合双曲线的定义，可知（三）、小结主要以提问、补充的形式对本节课知识做一个简单的回顾和总结，让学生对整节课的内容有一个整体的理解和把握。八、教学反思本节课是安排在高三的一节专题复习课，从开始复习到现在，已经两个多月了。通过复习，同学们能够根据问题的特点，适当选用合适的公式、定理、法则进行解题。但是，通过练习和检测，我发现有的同学对数学定义往往没有给予足够的重视，以至出现在解答数学问题时，不能及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件，经常出现舍近求远、舍简求繁的情况。以往的教学经历告诉我，引导学生合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法。在求解有关圆锥曲线的有关问题时，灵活运用圆锥曲
12、线的定义常常会给解决这类问题题带来极大方便。用圆锥曲线的定义求解有关圆锥曲线的问题是解析几何中一个比较重要的内容。在实际教学，包括高考备考复习中，由于各个知识点往往会有很多的判定定理和性质等，所以会出现忽略定义的应用的情况。因此我安排了一节专题复习课，目的是加强学生对圆锥曲线定义的整体理解和把握。为了加深学生对圆锥曲线定义理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心归纳了三类利用定义解决的问题，通过层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维的深刻性、创造性、批判性,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法,领略数学的统一美.我期望在教学中能尝试使用“探究合作”式教学模式进行
13、教学。使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构.在这个建构过程中,学生应是教师主导下的主体,是知识的主动建构者。所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问,都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”。为了在有限的时间内突出重点,突破难点,给学生留有自主学习的空间和时间.我事先编写好学案，提前一天先给学生，让学生能带着自己的问题、思考在课堂上，来学习应用。我将题型归为三大类型，其中第一类型为求轨迹方程，例1是通过直接给出式子，看学生对定义的掌握程度，对于第（1）、（2）小题，大部分学生是利用两点间的距离公式结合定义直接看出其轨迹方
14、程，但是第（2）题，经过引导学生回答才想到是双曲线的一支，第（3）小题发现学生大部分是利用化简得到的，最后让学生反过来再看通过两点间距离和绝对值的几何意义，结合抛物线的性质，可直接得到。接下来的变式1就在例1的基础上再进行一个提升，升华为定义的应用求轨迹。首先要根据椭圆的定义，通过化简，再转化为双曲线的定义，而最后判断得到是双曲线的一支。如此层层推进，循序渐进的让学生把握这类问题的解法；而类型二、类型三也是按照由浅入深的设计例题变式，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，不断锻炼学生的思维能力。总之，通过这一节课，让学生在解决圆锥曲线的很多问题中，重视定义的灵活运用，返璞归真，回归到圆锥曲线最基本的定义，可简化运算，收到事半功倍的效果，这是我上本堂课的初衷，也是新课标高考所倡导的淡化特殊技巧，回归教材、回归基础、回归通性通法。因此，在高三数学复习中，我们要引导学生高度重视相关数学的定义及其应用。8
