1、椭圆双曲线定义与几何性质的应用圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的根本,是曲线方程的本源.定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式,巧用定义,可以既快又准的解决某些数学问题.从而引起学生对定义、概念的高度重视,激发学生对定义、概念的学习兴趣.在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的点到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路.定义法是解决解析几何中较常用的一种基本方法.同学们平时在解决圆锥曲线问题时,要有意识的去运用定义,这
2、样既可以加深对定义、概念的理解,还可以简化解题过程,发现其中的内在规律.一.例题精讲 破解规律例1.设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为_分析:题目中给的三角形是椭圆问题常见的三角形:其中一个顶点为焦点,其对边为椭圆的一条焦点弦.常见的处理方法是把它看出两个焦点三角形,再根据椭圆定义,结合正弦定理或余弦定理进行求解.本题中给出很多长度关系,结合椭圆定义,我可以将图形中的长度用a,b,c表示,再利用余弦定理得到一个a,b,c的齐次式,从而求出离心率e.解析:画出图形如下图所示.由椭圆的定义可知： 。，.，。在中，由余弦定理可得： ,在中，由余弦定理可得： 。，,整
3、理得，. 答案： .点评: 本题考查椭圆的离心率的求解，解决问题的关键是画出图形，由题意和椭圆的定义和已知关系并结合余弦定理，分别在和中得到关于a和c的等式；然后由可得，综合两式可得，进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大，需要学生有较高的处理数据的能力.另由于本题中没有出现确定的长度,我们可以采用赋值法,比如由,设简化计算过程.规律总结:与焦点三角形有关问题,常根据椭圆定义找出长度关系,再结合正弦定理或余弦定理进行求解.现学现用1:点是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点,，则的值是（ ）A. 3 B. -3 C. D. 解析:由余弦定理可得，又由和分别可得和，即，也即，故
4、，应选答案D.例2. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=，且6，4，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. 22，3-1 B. 22，1 C. 22，32 D. 33，63分析:题目中给出一个直角三角形,其中两边为椭圆上点与一个焦点的连线段,联想椭圆定义,我们分别连接这两个点与另外一个焦点,构造焦点三角形.再结合椭圆的对称性解决问题. 解析:设椭圆的另一个焦点为,分别连接,根据椭圆对称性可知四边形是矩形,且.利用椭圆定义可得离心率整理为因为6,4 ，所以+4512,2 ，计算sin(6+4)=24+64 ，所以22ca3
5、-1 ，故选A.点评:根据椭圆的对称性和椭圆的定义,构造焦点三角形,最后用角表示离心率，利用三角函数求范围.规律总结:牵涉椭圆或双曲线上一点到一个焦点距离问题,常连接该点与另一焦点构造焦点三角形.现学现用2: 已知为双曲线的左、右焦点， 是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中， 为等腰三角形则双曲线的离心率为_解析:连接并延长交右支于点，设，则，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形是平行四边形因是等腰三角形， ，所以，故，且，根据双曲线的定义，有，所以，解得，所以，所以， 例3: 从双曲线（0，b0）的左焦点F引圆x2+y2=的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P
6、点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|（ ）A. B. C. D. 分析:题目中给出M为线段FP的中点,由于点O为线段的中点.连接可知线段MO为对应边的中位线,利用中位线性质,结合双曲线定义解答即可.解析:设双曲线的右焦点为，连接，则，因为点分别是线段的中点，所以，则，在中， ，所以；故选B.点评：在处理与椭圆或双曲线的焦点有关的线段问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行合理转化，如本题中，将双曲线上的点到左焦点的距离利用双曲线的定义转化为到右焦点的距离，再利用中位线进行求解.规律总结:圆锥曲线很多线段关于原点对称,换句话说点O就是它们的天然中点,利用这个天然中点构造中位线,
7、解决问题.现学现用3:已知圆，点，若过两点的动抛物线的准线始终与圆相切，则该抛物线的焦点的轨迹是（ ）的一部分.A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线解析:画出抛物线的大致图象如下：过A,O,B分别作抛物线准线的垂线，根据抛物线的定义知A，B两点到焦点P的距离和等于A，B两点到准线距离的和，而A，B两点到准线的距离和等于O到准线距离的2倍，.点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆。选B。三.课堂练习 强化技巧1. 在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点,若，则 （ ）A. B. C. D. 答案:C解析:由得，所以函数图象为双曲线的上支，又点分别为双曲线的上、下焦点。由双曲线的定义得，
8、又，所以。在中，由余弦定理得。选C.2. 如图，圆(x+2)2+y2=4的圆心为点B，A(2,0)，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线BP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为_答案: x2-y23=1.解析：由题设可知|QP|=|QA|，又因为|QP|=|QB|+|BP|=|QB|+2，故|QA|-|QB|=2，由双曲线定义可知点Q在以B(-2,0),A(2,0)为焦点的双曲线上，由于2a=2a=1,c=2，所以b2=c2-a2=4-1=3，故点Q的轨迹方程是x2-y23=1，应填答案x2-y23=1.3. 已知双曲线的左、右焦点分别为， 为双曲线上的一点，若， ，则双
9、曲线的离心率是_答案:解析:设双曲线的半焦距为，因为， ,设 ，则根据双曲线的定义，得四.课后作业 巩固内化1. 椭圆： 的焦点为， ，若点在上且满足，则中最大角为（ ）A. B. C. D. 答案:A解析:椭圆焦点点在上， ,又易知.故选A2.已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为， ，点在双曲线的右支上，若， ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 答案:C解析:由题意，得，则，由正弦定理，得，解得，即该双曲线的离心率为；故选C.3.设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 5答案:B解析:若
10、，则可设，因为是的一个四等分点；若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以 是直角三角形，且 ,所以由勾股定理，得，得,故选B.4. 以椭圆x29+y25=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为(2,1)，双曲线C上点P在第一象限，满足PF1MF1|PF1|=F2F1MF1|F2F1|，则SPMF1-SPMF2=（ ）A. 2 B. 4 C. 1 D. -1答案:A解析:由题意可得双曲线方程为x24-y25=1，已知中的PF1MF1|PF1|，表示MF1在PF1方向上的投影，F2F1MF1|F2
11、F1|表示MF1在F2F1方向上的投影，即表示投影相等，根据平面几何可知MF1是PF1F2的角平分线，设N为PF1F2的内心，NNx轴，由角平分线定理可知|NF1|-|NF2|=2a ，即N是双曲线的右顶点，即N所在的直线方程为x=2，所以点M,N重合，点M就是PF1F2的内心，SPMF1-SPMF2=12(|PF1|-|PF2|)r=122a1=1241=2 ，故选A.5. 设、是双曲线的两个焦点， 是上一点，若，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 答案:A解析:不妨设P为右支上一点，则，又，可得又，由于最小，即有,由余弦定理得， ,则有 即 ，则双曲线的渐近线方程，故选A.6. 有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: （ ）A. B. C. D. 答案:A解析:由题得：设周长为 当且仅当M、A、B共线时，周长的最小
