1、概率论与数理统计同步练习册 学号姓名专业班 级广东省电子技术学校继续教育部二O一O年四月练习一一、选择题1设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示（A）A，B，C中至少有一个发生； （B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生； （D）A，B，C都不发生。2 已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）(A) 0.65 ;(B) 1.3; (C)0.9;(D)0.3。3设XB（n，p），则有（A）E（2X1）2np；（B）E（2X1）4np1；（C）D（2X1）4np（1p）1；（D）D（2X1）4np（1p）。4X的概率函数表（分布律）是
2、xi 10 1pi 1/ 4a 5/12则a（ ）（A）1/3； （B）0； （C）5/12；（D）1/4。5常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是（A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。二、填空题6已知:A=x|x3 ,B=x|2x0=PT 0； （B）PT 1=PT1； （C）PT=0=0.5； （D）PTt =PT0，则P(A|B)=()ABCD3设随机变量X在-1，2上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f (x)为()ABCD 4设随机变量X B，则PX1=()ABCD5设二维随机变量(X，Y)的分布律为 YX12312则PXY=2=()AB
3、CD二、填空题6设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=则PX1=_.7设随机变量X B(100，0.2)，应用中心极限定理计算P16X24=_. (附：(1)=0.8413)三、证明题8. 设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。9.设A，B是相互独立的随机事件，则“A与1-P(B)必相互独立”。四、计算题 10. 设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。11. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1
4、）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。 12. 设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。13. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。练习五一、选择题1设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则当0y1时，(X，Y)关于Y的边缘概率密度为fY ( y )= ()AB2xCD2y2设二维随机变量(X，Y)的分布律为YX01010 则E(XY)=()AB0CD3设总体X N()，其中未知，x1，x2，x3，x4为来自总体X的一个样
5、本，则以下关于的四个估计：，中，哪一个是无偏估计？()ABCD4设x1, x2, , x100为来自总体X N(0，42)的一个样本，以表示样本均值，则()AN(0，16)BN(0，0.16)CN(0，0.04)DN(0，1.6)5要检验变量y和x之间的线性关系是否显著，即考察由一组观测数据(xi，yi)，i=1，2，n，得到的回归方程是否有实际意义，需要检验假设()ABCD二、填空题6设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P0X1,0Y1=_.7设二维随机变量(X，Y)的分布律为 YX12312则PY=2=_.8设随机变量X B，则D(X)=_.三、证明题9.证明随机变量序列依概率收敛于随机
6、变量的充要条件为：四、计算题10. 设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?11. 已知随机变数的分布函数为（1） 求相应的分布函数；（2） 求。12. 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01。13.有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲4.3
7、 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？14. 设相互独立同服从于。（1） 写出矩阵（2） 求的最小二乘估计（3） 证明当时，的最小二乘估计不变 答案习题一1、（A） 2、（C） 3、（D） 4 、（A）5、（D）（），A B=x|x , A-B=x|x 2 。（），P（断）1-P（通）=10.7680.232（），证：（1） = = ； （2），由（1）知 故上式右端=2； （3）。（），证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再
8、令，则有 （1）这时存在，使得当时有 （2）成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，结论得证。（），解 （1）,是；（2）,，所以它不是随机变量的分布列；（3）,所以它不是随机变量的分布列；（4）,为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。（），解 (1) ；(2) ；(3) （），解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为。（），解：样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数
9、为既约分数”包含个样本点。于是。（），解：样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。习题二1、（B）2 、（C）3、（C）4、（C）（）应满足的条件是 ab1/3.若X，Y相互独立，则 a2/9， b=1/9.（）随机变量服从自由度为n的分布。（）证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。（）证：不妨设对任意的，当时有，因而。于是有 。结论成立。（）解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以（）解 根据题意知，其中
10、常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。（）解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：（）解 （）解 设，表示第二名队员的投篮次数，则+；。习题三1、（D）2、（B）3、（C）4、（C）5、（D）（）0.18（）1/3（）3（）证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，的分布函数分别记作，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有成立，结论为真。，再由4.6(1)知， 按分布收敛于，结论得证。（）解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一
11、位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。（）解 用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以-（）解：（1）在（-）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）在（-内单调上升、连续且，若定义则可以是某一随机变量的分布函数。（）解：（1）当时，且=1，所以可以是某个随机变量的分布密度； （2）因为=2，所以不是随机变量的分布密度； （3）当时，所以 不是随机变量的分布密度。（）解：，所以相应的密度函数为。习题四（）C（）D（）A（）C（）C（）0.4（）0.6826（）证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，即。（2）易见，即
12、，由分布的定义，即。（）证明：因为A，B是相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)再由全概率公式P(A)=P(AB)+P(A ) P(A )= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A)P(B)= P(A)1-P(B) 所以，A与1-P(B) 相互独立。（）解（1） 0 其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差样本标准差（）解：（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即 即，自由度为3。（）解 （1），故的矩估计量有。另，X的分布律为，故似然函数为对数似然函数为：令
13、解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2），令，故的矩估计量。另，X的密度函数为 故似然函数为 对数似然函数为解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（）解： ，令，故的矩估计量。14. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中未知，求的矩估计。习题五（）D（2）B（3）A（4）B（5）B（）0.25 （）0.25（）4（）证：充分性，令，则，故是的单调上升函数，因而，于是有 对任意的成立，充分性得证。必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有 ，由的任意性知，结论为真。（）解：总体，对假设，采用U检验法，在为真时，检验统计量临界值，故接受。（）解：（）解：设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则未知，假设为 ，统计量 由于，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。（）解：此问题可以归结为判断是否服从正态分布，其中未知，即要检验假设。由t检验的统计量 取=0.10，又由于，故接受（）解 （1）（2），则，的最小二乘估计是（3）若，此时模型成为： ，则对应的，的最小二乘估计是35 / 35
