1、基本不等式及其应用 1基本不等式若a0,，b0，则，当且仅当 时取“”这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值（三相等）2常用不等式(1)a2b2(a，bR)(2)注：不等式a2b22ab和它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab（）2.(3) ab (a，bR)(4)2(a，b同号且不为0)(5)(a，bR).（6）(7)abc;(8)；3利用基本不等式求最大、最小值问题(
2、1)求最小值：a0，b0，当ab为定值时，ab，a2b2有 ，即ab ，a2b2 .(2)求最大值：a0，b0，当ab为定值时，ab有最大值，即 ；或a2b2为定值时，ab有最大值(a0，b0)，即 . 设a，bR，且ab3，则2a2b的最小值是()A.6 B.4C.2 D.2解：因为2a0，2b0，由基本不等式得2a2b224，当且仅当ab时取等号，故选B. 若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为()A. B.1 C.2 D.4解：a0，b0，a2b2，a2b22，即ab.当且仅当a1，b时等号成立.故选A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()
3、A.av B.vC.v D.v解：设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v.又vaa0，va.故选A. ()若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_.解：由xy1得x22y2x22，当且仅当x时等号成立.故填2. 点(m，n)在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，则log2mlog2n的最大值是_.解：由条件知，m0，n0，mn1，所以mn，当且仅当mn时取等号，log2mlog2nlog2mnlog22，故填2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y(x1)的值域.解：x1，x10，令mx1，则m0，且ym5259，当且仅当m2时取等号，故ymin9.又当m或m0时，y，故原函数的值
4、域是9，).(2)下列不等式一定成立的是()A.lglgx(x0) B.sinx2(xk，kZ)C.x212(xR) D.1(xR)解：A中，x2x(x0)，当x时，x2x.B中，sinx2(sinx(0，1)；sinx2(sinx1，0).C中，x22|x|1(|x|1)20(xR).D中，(0，1(xR).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)的最值问题，只要分母xd0，都可以将f(x)转化为f(x)a(xd)h(这里ae0；若ae0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)
5、已知t0，则函数f(t)的最小值为 .解：t0，f(t)t42，当且仅当t1时，f(t)min2，故填2.(2)已知x0，y0，且2x8yxy0，求：()xy的最小值；()xy的最小值.解：()由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12，得xy64，当且仅当x4y，即x16，y4时等号成立.()解法一：由2x8yxy0，得x，x0，y2，则xyy(y2)1018，当且仅当y2，即y6，x12时等号成立.解法二：由2x8yxy0，得1，则xy(xy)1010218，当且仅当y6，x12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1k2)xk44的解集是M，则对任意实常数k，
6、总有()A.2M，0M B.2?M，0?MC.2M，0?M D.2?M，0M解法一：求出不等式的解集：(1k2)xk44?x(k21)2?x22(当且仅当k21时取等号).解法二(代入法)：将x2，x0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1) af(x)恒成立?af(x)max；(2)af(x)恒成立?af(x)min； (3)af(x)有解?af(x)min； (4)af(x)有解?a
7、f(x)max.已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立.令tex(x0)，则t1，且m 对任意t1成立.t11213，当且仅当t2，即xln2时等号成立.故实数m的取值范围是.类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元
8、)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x2).(2)x0，225x210800，y225x36010440，当且仅当225x，即x24时等号成立.答：当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度
9、为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y，其中k是比例系数且k0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b2ab2a60(a0，b0)，即a2b30ab(a0，b0).a2b2，2ab30，得03.当且仅当a2b时取“”号，ab最大值为18，此时得a6，b3.故当a6 m，b3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b，代入y求解.1.若a1，则a的最小值是()A.2 B.a C.3 D
10、.解：a1，aa1121213，当a2时等号成立.故选C.2.设a，bR，ab，且ab2，则下列各式正确的是()A.ab1 B.ab1 C.1ab D.ab1解：运用不等式ab2?ab1以及(ab)22(a2b2)?2a2b2(由于ab，所以不能取等号)得，ab1，故选A.3.函数f(x)在(，2)上的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.3解：当x2时，2x0，因此f(x)(2x)22，当且仅当2x时上式取等号.而此方程有解x1(，2)，因此f(x)在(，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价
11、是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m， m，由条件知该容器的最低总造价为y8020x160，当且仅当底面边长x2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是()A.若a，bR，则22B.若x，y都是正数，则lgxlgy2C.若x0，则x24D.若x0，则2x2x22解：对于A，a与b可能异号，A错；对于B，lgx与lgy可能是负数，B错；对于C，应是x24，C错；对于D，若x0，则2x2x22成立(x0时取等号).故选D.6.()若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A.6
12、2 B.72C.64 D.74解：因为log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且 即a0，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)77274，当且仅当时取等号.故选D.7.若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，所以有，即的最大值为，故填a.8.()设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P在
13、以AB为直径的圆上).所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5.当且仅当|PA|PB|时，等号成立.故填5.9.(1)已知0x，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值.解：(1)已知0x，03x4.x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时“”成立.当x时，x(43x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x2y3上移动，所以x2y3.2x4y2224.当且仅当 即x，y时“”成立.当x，y时，2x4y取最小值为4.10.已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值.解：a0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24ab
14、14ab.且12ab2，即，ab，S24a2b22(14ab)24ab1.当且仅当a，b时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼的面积为S，则Sxy.解法一：由于2x3y22，218，得xy，即S.当且仅当2x3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6.Sxyy(6y)y.0y6，6y0.S.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.解法一：2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy24，得x.l4x6y6y66248，当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.
