1、For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB的值是（ ）A.2 B.4 C.6 D.82.如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10 cm，D=120，则该零件另一腰AB的长是_ cm（结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_4.
2、一根旗杆于离地面12处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16，旗杆在断裂之前高多少？第2题图5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米. 第5题图6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?第7题图7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，在外侧距下底1的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 一个零件
3、的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12。求CD的长.第8题图第9题图9. 如图，在四边形ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求AB的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 5m13m第11题图11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对
4、话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案：1.A，提示：根据勾股定理得，所以AB=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5，而3+4-5=2，所以他们少走了4步.3. ，提示：设斜边的高为，根据勾股定理求斜边为 ，再利用面积法得，；4. 解：依题意，AB=16，AC=12，在直角三角形ABC中,由勾股定理,所以BC=20,20+12=32(),故旗杆在断裂之前有32高.5.8 6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,C
5、=90,AB=5000米,由勾股定理得BC=(米),所以飞机飞行的速度为(千米/小时)7. 解：将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CEAB于E.在R，EF=18-1-1=16（），CE=，由勾股定理，得CF=8. 解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC、AD交于点E.（如图所示）B=90，A=60，E=30又CD=3，CE=6，BE=8，设AB=，则AE=2，由勾股定理。得ABDPNAM第10题图10. 如图，作出A点关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P，则AB就是最
6、短路线. 在RtADB中，由勾股定理求得AB=17km11.解：根据勾股定理求得水平长为，地毯的总长 为12+5=17（m），地毯的面积为172=34（，铺完这个楼道至少需要花为：3418=612（元）12. OAB解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5在RtOAB中，AB2=122十52169，AB=13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米1513， 甲、乙两人还能保持联系勾股定理的逆定理（2）一、 选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A.
7、9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，92.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三个内角比为121 B.三边之比为12 C.三边之比为2 D. 三个内角比为1233.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A. B. C. D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）A B C D二、填空题5. ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC的三边长为满足，则此
8、三角形为 三角形.8.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD= .三、解答题9. 如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.第9题图10. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由. FEACBD第10题图11. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，
9、再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.BACD.第11题图12.如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出A=40B50，AB5公里，BC4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？18.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=当6为斜边时，第三边为直角边=；4. C；二、5.90提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为90.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为7.直角，提示：；8.，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得；三、9
10、. 解：连接AC，在RtABC中，AC2=AB2BC2=3242=25， AC=5.在ACD中， AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169， AC2CD2=AB2， ACD=90故S四边形ABCD=SABCSACD=ABBCACCD=34512=630=36.10. 解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF是直角三角形11. 设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，10+x=12（米）12. 解：第七组，第组，勾股定理的逆定理 （3）一、基础巩
11、固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123C.三边长之比为345 D.三内角之比为3452.如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10 cm，D=120，则该零件另一腰AB的长是_ cm（结果不取近似值）. 图18 图1825 图18263.如图1825，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_.4.如图1826，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断EFC的形状.5.一个零件的形状如图
12、1827，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18276.已知ABC的三边分别为k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC是直角三角形.二、综合应用7.已知a、b、c是RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图1828，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD.求证：ABC是直角三角形. 图1828 9.如图1829所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），OAB是直角
13、三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图1829 10.已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.12.已知：如图18210，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 图18210参考答案一、基础巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123C.三边长之比为345 D.三内角之比为345思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一
14、边的中线等于这条边的一半.由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10 cm，D=120，则该零件另一腰AB的长是_ cm（结果不取近似值）.图1824解：过D点作DEAB交BC于E,则DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，AB=DE.D=120，CDE=30.又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.AB= cm.3.如图1825，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8
15、，则AB的长为_. 图1825 图1826思路分析：因为ABC是Rt，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以AB=.答案：4.如图1826，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E为AB中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2,EFC是以CEF为直角的直角三角形.5.一个零件的形状
16、如图1827，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图1827思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ADB和DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD为直角三角形，A =90.在BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC是直角三角形，CDB =90.因此这个零件符合要求.6.已知ABC的三边分别为k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC
17、是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：k2+1k21,k2+12k=(k1)20,即k2+12k，k2+1是最长边.(k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC是直角三角形.二、综合应用7.已知a、b、c是RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.解：略8.已知：如图1828，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD.求证：ABC
18、是直角三角形. 图1828思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC是直角三角形.9.如图1829所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图1829思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB是否是直角三角形即可.解： OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2
19、=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+AB2=OB2.OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(
20、B) 没有考虑a=b这种可能，当a=b时ABC是等腰三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.(a5)20,(b12)20,(c13)20.a5=0,b12=0,c13=0.解得a=5,b
21、=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC是直角三角形.12.已知：如图18210，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18210思路分析：（1）作DEAB，连结BD，则可以证明ABDEDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在DEC中，3、4、5为勾股数，DEC为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DEAB，连结BD，则可以证明ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,
22、DEC为直角三角形.又EC=EB=3,DBC为等腰三角形，DB=DC=5. 在BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA是直角三角形.它们的面积分别为SBDA=34=6;SDBC=64=12.S四边形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定是直角三角形吗？说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入
23、多少资金买草皮？3.（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？AB小河东北牧童小屋5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25 92=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132= + （2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。6.如图，在RtABC中，ACB
24、=90，CDAB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长7.在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）8.已知如图，四边形ABCD中，B=90，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积_A_B_C_D9.如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD的面积。勾股定理复习题（5）一、填空、选择题题：3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（ ）米。4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是 （ ）米。6、 在ABC中，C=90,AB=10。 (1)若A=30,则BC= ，AC= 。(2
25、)若A=45,则BC= ，AC= 。8、在ABC中，C=90，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD= m11、三角形的三边a b c，满足，则此三角形是 三角形。12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明向东走80米后又向 方向走的。13、中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线AD=12cm则 AC的长为 cm14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行，5秒钟后他们相距 米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等。 （ ）如果两个实数相
26、等，那么它们的平方相等。 （ ）若 ，则a=b （ ）全等三角形的对应角相等。 （ ）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 （ ）16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: : 2(C) a=2 b= c= (D) a=13 b=14 c=1517、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是( ). A.8 B.10 C. D.10或18、下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等C.对顶角相等 D.如果a=b或a+b=0,那
27、么二、解答题：19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少? (其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？23、一根
28、70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中,能放进去吗?(提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)22、请在数轴上标出表示的点勾股定理复习题（6）1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?2、如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9。CABD(1)求DC的长。(2)求AB的长。3、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警
29、船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？CAB8km6km10402040出发点70终止点4、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？6.如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？7、如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶
30、端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8分）ABCD8、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边形ABCD的面积. （8分）9.如图，在ABC中，AB=AC（12分）（1）P为BC上的中点，求证：AB2AP2=PBPC；（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercia
31、l use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文
