1、求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系（f）,集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围y|y=f(x),xA。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”
2、来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),xA。（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.根号与分式结合，根
3、号开偶次方在分母上时：根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0底数1）表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：)练习1、求下列函数的定义域： 1、（1） （2） （3） 2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根
4、据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；（2）在同一个题中x不是同一个x；（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例1：已知f(x+1)的定义域为-1,1，求f（2x-1）的定义域。解：f(x+1)的定义域为-1,1；（及其中x的取值范围是-1,1） ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围）f(x)的定义域为0,2；（f不变，括号的取值范围不变）f(2x-1)中f(2x-1)的定义域为练习2、 设函数的定义域为
5、，则函数的定义域为_、； _；函数的定义域为_； 3、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。3.复合函数定义域 复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2：分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为（-2,3），则 f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为
6、（0,4）；，解得0x2所以，g(x)的定义域为（0,2）.（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。练习（1） 求值域。 2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例1：求解：配方： f(x)的对
7、称轴为x=2在1,5中间（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）所以，f(x)的值域为2,11.练习（2） 求值域。3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为。例2：解：由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到，即：函数f(x)的值域为.练习 求值域 （3）（2）利用来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。例3：求函数的值域.解：由于
8、不等于0，可将原式化为 即 （由于） 只需,则有 所以，函数值域.练习（4） 求值域 （3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。 例4：求函数的值域 解：由于函数的定义域为R，即 原式可化为 （由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少） 所以， 所以，函数值域为练习：求值域 （5） 4.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式
9、，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5：求函数的值域 解：令，带入原函数解析式中得 因为， 所以，函数的值域为.练习：求值域（6）一选择题（共10小题）1（2007河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使AB=的实数a的取值范围是（）A（1，3）B1，3C（2，4）D2，42若函数f（x）的定义域是1，1，则函数f（x+1）的定义域是（）A1，1B0，2C2，0D0，13（2010
10、重庆）函数的值域是（）A0，+）B0，4C0，4）D（0，4）4（2009河东区二模）函数的值域是（）A（0，+）BC（0，2）D（0，）5已知函数y=x2+4x+5，x3，3）时的值域为（）A（2，26）B1，26）C（1，26）D（1，266函数y=在区间3，4上的值域是（）A1，2B3，4C2，3D1，67函数f（x）=2+3x2x3在区间2，2上的值域为（）A2，22B6，22C0，20D6，248函数的值域是（）Ay|yR且y1By|4y1Cy|y4且y1DR9函数y=x22x（1x2）的值域是（）A0，3B1，3C1，0D1，3）10函数的值域为（）A2，+）BCD（0，2二填空题11（2013安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为_12（2012四川）函数的定义域是_（用区间表示）13求定义域：14函数y=x2+2x1，x3，2的值域是_15函数y=10的值域是_
