函数定义域与值域经典类型总结练习题含答案(DOC 12页).doc

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1、求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义:设集合A和B是非空数集,按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是确定的对应关系(f),集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围y|y=f(x),xA。3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是:(1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。(2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”

2、来表示。4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。(1)明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合:y|y=f(x),xA。(2)明白定义中集合B是包括值域,但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常见情况简总:表达式中出现分式时:分母一定满足不为0;表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0.根号与分式结合,根

3、号开偶次方在分母上时:根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0底数1)表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.()注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形如:)练习1、求下列函数的定义域: 1、(1) (2) (3) 2.抽象函数(没有解析式的函数)解题的方法精髓是“换元法”,根

4、据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为:(1)给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围;(2)在同一个题中x不是同一个x;(3)只要对应关系f不变,括号的取值范围不变。(4)求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围,及括号的取值范围。例1:已知f(x+1)的定义域为-1,1,求f(2x-1)的定义域。解:f(x+1)的定义域为-1,1;(及其中x的取值范围是-1,1) ; (x+1的取值范围就是括号的取值范围)f(x)的定义域为0,2;(f不变,括号的取值范围不变)f(2x-1)中f(2x-1)的定义域为练习2、 设函数的定义域为

5、,则函数的定义域为_、; _;函数的定义域为_; 3、若函数的定义域为,则函数的定义域是 ;函数的定义域为 。3.复合函数定义域 复合函数形如:,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数,或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2:分析:由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算,所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解:由f(x)的定义域为(-2,3),则 f(x+1)的定义域为(-3,2),f(x-2)的定义域为

6、(0,4);,解得0x2所以,g(x)的定义域为(0,2).(一)求函数值域方法和情形总结1.直接观察法(利用函数图象)一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出y值的取值范围。练习(1) 求值域。 2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在定义域范围内(以a0为例),此时对称轴的地方为最大值,定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值;对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点:(1)含参数的二次型函数,首先判断是否为二次型,即讨论a;(2)a不为0时,讨论开口方向;(3)注意区间,即讨论对称轴。例1:求解:配方: f(x)的对

7、称轴为x=2在1,5中间(端点5离x=2距离较远,此时为最大值)所以,f(x)的值域为2,11.练习(2) 求值域。3.分式型(1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量x的次数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为。例2:解:由于分母不可能为0,则意思就是函数值不可能取到,即:函数f(x)的值域为.练习 求值域 (3)(2)利用来求函数值域:适用于函数表达式为分式形式,并且只出现形式,此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数,显然用分离常量法是行不通,只有另想它法(有界变量法)。例3:求函数的值域.解:由于

8、不等于0,可将原式化为 即 (由于) 只需,则有 所以,函数值域.练习(4) 求值域 (3)方程根的判别式法:适用于分式形式,其中既出现变量x又出现混合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形,可以使用根的判别式法。 例4:求函数的值域 解:由于函数的定义域为R,即 原式可化为 (由于x可以取到任意的实数,那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根,即方程有根那么判别式大于或等于0,注:这里只考虑有无根,并不考虑根为多少) 所以, 所以,函数值域为练习:求值域 (5) 4.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域,一般函数特征是函数解析式中含有根号形式

9、,以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路,注重换元思维的培养,并不是专一的去解答某类问题,应该多加平时练习。注:换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5:求函数的值域 解:令,带入原函数解析式中得 因为, 所以,函数的值域为.练习:求值域(6)一选择题(共10小题)1(2007河东区一模)若函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=的定义域为B,则使AB=的实数a的取值范围是()A(1,3)B1,3C(2,4)D2,42若函数f(x)的定义域是1,1,则函数f(x+1)的定义域是()A1,1B0,2C2,0D0,13(2010

10、重庆)函数的值域是()A0,+)B0,4C0,4)D(0,4)4(2009河东区二模)函数的值域是()A(0,+)BC(0,2)D(0,)5已知函数y=x2+4x+5,x3,3)时的值域为()A(2,26)B1,26)C(1,26)D(1,266函数y=在区间3,4上的值域是()A1,2B3,4C2,3D1,67函数f(x)=2+3x2x3在区间2,2上的值域为()A2,22B6,22C0,20D6,248函数的值域是()Ay|yR且y1By|4y1Cy|y4且y1DR9函数y=x22x(1x2)的值域是()A0,3B1,3C1,0D1,3)10函数的值域为()A2,+)BCD(0,2二填空题11(2013安徽)函数y=ln(1+)+的定义域为_12(2012四川)函数的定义域是_(用区间表示)13求定义域:14函数y=x2+2x1,x3,2的值域是_15函数y=10的值域是_

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