1、初三数学 反比例函数的专项 培优练习题附答案一、反比例函数1如图，直线y=x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使SPAC= SAOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=x+b和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x4或0x1（3）解：过A作ANx轴，过B作BMx轴， 由（1）知，b=5，k=4，直
2、线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或x=1，B（4，1）， ， ， ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），SPAC= OPCD+ OPAE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=3，P（0，3）或P（0，3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AMx轴，过B作BNx轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），根据三角形的面积公
3、式列方程即可得到结论2如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上 （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象回答：当x为何范围时，y1y2； （3）求PAB的面积 【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y1= ，得k=4反比例函数的表达式为y1= （2）解：点A与点B关于原点对称， A的坐标为（4，1），观察图象得，当x4或0x4时，y1y2（3）解：过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，点A与点B关于原点
4、对称，OA=OB，SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP y1= 中，当x=1时，y=4，P（1，4）设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（4，1）、P（1，4）代入y=mx+n，则 ，解得 故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，SAOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= 34+ 31= ，SPAB=2SAOP=15【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1= ，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y
5、1y2的解集；（3）过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么SAOP=SBOP ， SPAB=2SAOP 求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据SAOP=SAOC+SPOC求出SAOP= ，则SPAB=2SAOP=153已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形（1）若某函数是一次函数y=x
6、+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数y= （k0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式； （3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_，写出符合题意的其中一条抛物线解析式_，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数_ 【答案】（1）解：如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，OC=0D=1，正方形ABCD的边长CD= ；OCD=ODC=45，当点A在x轴负半轴、点B在
7、y轴正半轴上时，设小正方形的边长为a，易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= 解得a= ，所以小正方形边长为 ，一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 （2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，易知ADEBAOCBF此时，m2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2m，OF=BF+OB=2，C点坐标为（2m，2），2m=2（2m），解得m=1反比例函数的解析式为y= （3）（3，4）；y= x2+ ；偶数 【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
8、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y= x2+ ；当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C的坐标是（7，3）时，对应的函数解析式是y= ；当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标
9、为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C
10、的坐标，从而可以求解；（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧 ，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长， 即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。4如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA1的面积将_（减小、不变、增
11、大） （2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形，求反比例函数的解析式；求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值 【答案】（1）减小（2）解：如图所示，作P1BOA1于点B，A1的坐标为（2，0），OA1=2，P1OA1是等边三角形，P1OA1=60，又P1BOA1 ， OB=BA1=1，P1B= ，P1的坐标为（1， ），代入反比例函数解析式可得k= ，反比例函数的解析式为y= ；如图所示，过P2作P2CA1A2于点C，P2A1A2为等边三角形，P2A1A2=60，设A1C=x，则P2C= x，点P
12、2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= 1，x2= 1（舍去），OC=2+ 1= +1，P2C= （ 1）= ，点P2的坐标为（ +1， ），当1x +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值 【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故P1OA1的面积将减小；（2）由A1的坐标为（2，0），P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例
13、函数解析式即可；由P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.5如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x0）的图象于A（4，-8）、B（m，-2）两点，交x轴于点C （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标 【答案】 （1）解：反比例函数y= （x0）的图象于A（4，-8）， k=4（-8）=-32双曲线y= 过点B（m，-2），m=16由直线y=kx+b过点A，B得： ，解得， ，反比例函数关系式为 ，一次函数关系式为 （2）解：观察图象可
14、知，当0x4或x16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2）， 分三种情况：若OBAP，OABP，O（0，0），A（4，-8），由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；若OPAB，OABP，A（4，-8），B（16，-2），由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；若OBAP，OPAB，B（16，-2），A（4，-8），由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；以O，A，B，P为顶点作平行四
15、边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出6如图，已知直线y x与双曲线y 交于A、B两点，且点A的横坐标为 . （1）求k的值； （2）若双曲线y 上点C的纵坐标为3，求AOC的面积； （3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y 上有一点N，若以
16、O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标. 【答案】 （1）解：把x= 代入 ，得y= ， A（ ，1），把点 代入 ，解得： ；（2）解：把y=3代入函数 ，得x= ， C ，设过 ， 两点的直线方程为： ，把点 ， ，代入得： ，解得： ， ，设 与 轴交点为 ，则 点坐标为 ， ；（3）解：设 点坐标 ，由直线 解析式可知，直线 与 轴正半轴夹角为 ， 以 、 、 、 为顶点的四边形是有一组对角为 的菱形， 在直线 上，点 只能在 轴上， 点的横坐标为 ，代入 ，解得纵坐标为： ，根据 ，即得： ，解得： .故 点坐标为： 或 .【解析】【分析
17、】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据 求解即可；（3）设 点坐标 ，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得 ，求出a的值即可.7已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 ，sinAOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D （1）求这个反比例函数的解析式； （2）四边形OABC的面积 【答案】（1）解：过C作CMx轴于M，则CMO=90， OC=2 ，sinAOC= = ，
18、MC=4，由勾股定理得：OM= =2，C的坐标为（2，4），代入y= 得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y= （2）解： 过B作BEx轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DNx轴于N，D为AB的中点，DN= =2，AN= =1，把y=2代入y= 得：x=4，即ON=4，OA=41=3，四边形OABC的面积为OACM=34=12【解析】【分析】（1）过C作CMx轴于M，则CMO=90，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可8如果三角形的两个内
19、角与满足2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. （1）若ABC是“准互余三角形”，C90，A=60，则B=_； （2）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=5.若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由. （3）如图，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长. 【答案】 （1）15（2）解：如图中， 在RtABC中，B+BAC=90，BAC=2BAD，B+2BA
20、D=90，ABD是“准互余三角形”，ABE也是“准互余三角形”，只有2B+BAE=90，B+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C=90，CAECBA，可得CA2=CECB，CE= ，BE=5 = .（3）解：如图中，将BCD沿BC翻折得到BCF. CF=CD=12，BCF=BCD，CBF=CBD，ABD=2BCD，BCD+CBD=90，ABD+DBC+CBF=180，A、B、F共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122 ， x=9或16（舍去），AF=7+9=16，在
21、RtACF中，AC= 【解析】【解答】（1）ABC是“准互余三角形”，C90，A=60， 2B+A=90，解得，B=15；【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA，可得CA2=CECB，由此即可解决问题；（3）如图中，将BCD沿BC翻折得到BCF.只要证明FCBFAC，可得CF2=FBFA，设FB=x，则有：x（x+7）=122 ， 推出x=9或16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；9已知如图，二次函数 的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，ABC的外接圆恰好经过原点O. （1）求B点的坐标及二次函数的解析式； （2）
22、抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围； （3）将AOC绕平面内一点P旋转180至AOC（点O与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在 的图象上，求出旋转中心P的坐标. 【答案】 （1）解：如图，过点A作ADy轴于点D，AEx轴于点E， ADC=AEB=90二次函数 与y轴交于点C，点C坐标为（0，2）点A坐标（3，3）DA=AE=3DAC+CAE=90EAB+CAE=90DAC=EABACDABEEB=CD=3-2=1OB=3+1=4点B的坐标为（4，0）将A（3，3）B（4，0）代入二次函数 中得： 解得： 二次函数的解析式
23、为： （2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得： m1=1；m2= （舍）m=1点Q坐标为(1,4) 由勾股定理得：BC=2 设圆的圆心为N圆经过点O，且COB=90BC是圆N的直径，圆N的半径为 ，N的坐标为（2,1）由勾股定理得，QN= 半径r= ，则 QM （3）解：当点A的对称点 ，点O的对称点 在抛物线上时，如图 设点 的横坐标为m，则点 的横坐标为m-3 得： 解得： 的坐标为（ ）旋转中心P的坐标为 当点A的对称点 ，点C的对称点 在抛物线上时，如图设点 的横坐标为m，则点 的横坐标为m-3 得： 解得： 的坐标为（ ）旋转中心P的坐标为 综上所述，旋转中心P的坐标为
24、或 【解析】【分析】（1）过点A作ADy轴于点D，AEx轴于点E，求证ACDABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点 ，点O的对称点 在抛物线上时，利用旋转180可知， ，设点 的横坐标为m，则点 的横坐标为m-3，利用 列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点 ，点C的对称点
25、 在抛物线上时，设点 的横坐标为m，则点 的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P的坐标.10已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90，点A ， C的坐标分别为A（3，0），C（1，0），BC AC （1）在x轴上找一点D ， 连接DB ， 使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如P ， Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ ， 设APDQm ， 问是否存在这样的m ， 使得APQ与ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由 【答案】 （1）解：如图1，过点B作BDAB ， 交x轴于点D ， AA ， ACBA
26、BD90，ABCADB ， ABCADB ， 且ACBBCD90，ABCBDC ， A（3，0），C（1，0），AC4，BC AC BC3，AB 5， ， ，CD ，ADAC+CD4+ ，ODADAO ，点D的坐标为：（ ，0）；（2）解：如图2，当APCABD90时， APCABD90，BADPAQ ， APQABD ， ， m ，如图3，当AQPABD90时，AQPABD90，PAQBAD ， APQADB ， ， m ；综上所述：当m 或 时，APQ与ADB相似【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BDAB ， 交x轴于点D ， 可证ABCADB ， 可得ABCADB ， 可证ABCBD
27、C ， 可得 ，可求CD的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解11如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且 （1）求抛物线的解析式和顶点 的坐标； （2）判断 的形状，证明你的结论； （3）点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值 【答案】 （1）解： 点在抛物线上， ，解得 ， 抛物线解析式为 ， ， 点坐标为 ；（2）解： 为直角三角形，证明如下： 在 中，令 可得 ，解得 或 ， 为 ，且 为 ， ， ， ，由勾股定理可求得 ， ，又 ， ， 为直角三角形；（3）解： ， 点关于 轴的对称点为 ，如图，连接 ，交 轴于点 ，则 即为满
28、足条件的点，设直线 解析式为 ，把 、 坐标代入可得 ，解得 ， 直线 解析式为 ，令 ，可得 ， 【解析】【分析】（1）把A点坐标代入可求得b的值，可求得抛物线的解析式，再求D点坐标即可；（2）由解析式可求得A、B、C的坐标，可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可判定ABC为直角三角形；（3）先求得C点关于x轴的对称点E，连接DE，与 轴交于点M，则M即为所求，可求得DE的解析式，令其y=0，可求得M点的坐标，可求得m12阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=
29、x+2，y=x+4 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ， 点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线 经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线； （2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP ， 将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？ 【答案】 （1）解：点D（m ， n），点D（m ， n）的特征线是x=m ， y=n ， y=x+nm ， y=x+m+n；（2）解：
30、点D有一条特征线是y=x+1，nm=1，n=m+1抛物线解析式为 ， ，四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m ， n），B（2m ， 2m）， ，将n=m+1带入得到m=2，n=3； D（2，3），抛物线解析式为 （3）解：如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时： 根据题意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60，AOP=AOP=30，MN= = ，抛物线需要向下平移的距离= = 如图，当点A在平行于x轴的D点的特征线时，设A（p ， 3），则OA=OA=4，OE=3，EA= = ，AF=4 ，设P（4，c）（c0），在RtAFP中，（4 ）2+（3c）2=c2 ， c= ，P（4， ），直线OP解析式为y= x ， N（2， ），抛物线需要向下平移的距离=3 = 综上所述：抛物线向下平移 或 距离，其顶点落在OP上【解析】【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可
