1、 实际生活中充满了模糊概念，实际生活中充满了模糊概念，例如例如,要你某时到飞机场去迎接一个要你某时到飞机场去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人镜的中年男人”.精确概念：时间、地点、男人精确概念：时间、地点、男人模糊概念：大胡子、高个子、模糊概念：大胡子、高个子、长头发、宽边眼镜、中年人长头发、宽边眼镜、中年人 模糊概念是存在的，也是模糊概念是存在的，也是必须的，更是重要的。必须的，更是重要的。人类大脑对于模糊性概念人类大脑对于模糊性概念具有较强的处理能力，模糊数具有较强的处理能力，模糊数学研究处理模糊概念的理论和学研究处理模糊概念的理论和方法，从
2、而让机器人具有人一方法，从而让机器人具有人一样的思维能力，是人工智能的样的思维能力，是人工智能的重要学科之一。重要学科之一。精确概念的数学模型：精确概念的数学模型：用论域的经典子集刻画。用论域的经典子集刻画。经典子集合范围边界分明经典子集合范围边界分明,即：一个元素即：一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必居其一，二者必居其一.U U的子集的子集A A的数学模型还的数学模型还可以用特征函数来表示可以用特征函数来表示特征函数满足：特征函数满足：).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc
3、取大运算取大运算,如如23=3取小运算取小运算,如如23=2秃头悖论：头上掉一根头发，不秃头悖论：头上掉一根头发，不是秃头；再掉一根，也不是秃头是秃头；再掉一根，也不是秃头按照此逻辑下去当秃头出现按照此逻辑下去当秃头出现的时候还不是秃头。的时候还不是秃头。秃头本身是一个模糊概念秃头本身是一个模糊概念 特征函数中函数值仅取0,1值，非此即彼，缺乏程度化，或者缺乏量化。模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射 A(x)：U0,1为为U上的一个上的一个模糊子集模糊子集A。映射映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.当当A(
4、x)=0.5时，点时，点x最具模糊性最具模糊性.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊时，模糊子集子集A就是经典子集，而就是经典子集，而A(x)就是就是它的特征函数它的特征函数.可见经典子集就是可见经典子集就是模糊子集的特殊情形模糊子集的特殊情形.例例1 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集商品集)，在，在U上定义上定义一个模糊集：一个模糊集：A=“质量好的质量好的商品商品”。A=(0.8,0.55,0,0.3,1).表示方法表示方法1 1表示方法表示方法2 2 例例2 设论域设论域U=1,2，.,100(年龄集合年龄集合)，在，在U上定义上定义一个模糊集：一个模糊集：A
5、=“年轻人年轻人”。表示方法表示方法3 3模糊集的运算模糊集的运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB
6、)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；模糊集的运算性质基本上与模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，经典集合一致，除了排中律以外，即即AAc U，AAc .模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本的特点，这正是模糊性带来的本质特征质特征.-截集：截集：模糊集的模糊集的-截集截集A 是一个经典是一个经典集合，由隶属度不小于集合，由隶属度不小于 的成员构的成员构成成.即：即：A=x|A(x)例例3 3：论域：论域U=u1,u2,u3,u4,u
7、5,u6(学生集学生集)，他们的成绩依次，他们的成绩依次为为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学学习成绩优秀的学生习成绩优秀的学生”的隶属度的隶属度分分0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则则A0.9=u5,u6。经典关系，例如，父子关系，同桌关系；模糊关系，例如，两人长得很像，某某很喜欢某某；经典二元关系经典二元关系 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二二元关系，特别地，当元关系，特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上的上的二元关系，二元关系，简称为简称为
8、关系关系.若若(x,y)R，则，则称称 x 与与 y 有有关系，关系，记为记为R(x,y)=1；若若(x,y)R，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，关系，记为记为R(x,y)=0.映射映射 R:X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的子集的子集R的特征函数的特征函数.模糊关系是普通关系的推广模糊关系是普通关系的推广.设有论域设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子的一个模糊子集集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R:X Y 0,1.特别地，当特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素上各元素之间的之间的
9、模糊关系模糊关系.经典关系是模糊关系的特例经典关系是模糊关系的特例.由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X Y 的的一个模糊子集，因此模糊关系同一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，R1，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y)；包含包含：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)；并并：R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交交：R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余余：Rc
10、的隶属函数为的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).当论域为有限时，模糊关当论域为有限时，模糊关系的合成可以用其对应模糊矩系的合成可以用其对应模糊矩阵的乘法来实现阵的乘法来实现.只不过这里的只不过这里的模糊矩阵的乘法不同于常规矩模糊矩阵的乘法不同于常规矩阵的乘积，但模式是一样的。阵的乘积，但模式是一样的。设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且，且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1=(aik)ms，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2=(bkj)sn，则则X 到到Z 的的模糊模糊关系关系R1 R2可表示为对应可表示为对应模糊模糊矩阵的乘积：矩阵的乘积：R
11、1 R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.原来的数字乘法原来的数字乘法变成了取小运算变成了取小运算原来的数字加法原来的数字加法变成了取大运算变成了取大运算10.20.30.410.20.30.40.210.70.90.210.70.9设设0.30.710.80.30.710.80.40.90.810.40.90.81R R 2 21 10 0.2 20 0.3 30 0.4 41 10 0.2 20 0.3 30 0.4 40 0.2 21 10 0.7 70 0.9 90 0.2 21 10 0.7 70 0.9 9则则0 0.3 30 0.7 71 10 0.8
12、80 0.3 30 0.7 71 10 0.8 80 0.4 40 0.9 90 0.8 81 10 0.4 40 0.9 90 0.8 81 1R R .1 10 0 4 40 0 4 40 0 4 40 0 4 41 10 0 8 80 0 9 90 0 4 40 0 8 81 10 0 8 80 0 4 40 0 9 90 0 8 81 1模糊关系的三大特性模糊关系的三大特性 (1)自反性自反性：若：若 X 上的任何上的任何元素都有元素都有R(x,x)=1，则称关系，则称关系 R 具有自反性；具有自反性；设设R为为 X 上的模糊上的模糊关系关系 (2)对称性对称性：若对于：若对于X 上上
13、的任意两个元素的任意两个元素 x,y，都有，都有R(x,y)=R(y,x)，那么那么称称R具有对称性。具有对称性。设设R为为 X 上的模糊上的模糊关系关系 (3)R具有传递性当且仅当具有传递性当且仅当 设设R为为 X 上的模糊上的模糊关系关系R2 R.这里这里R2是是R和和R本身的合成。注意本身的合成。注意包含关系包含关系：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)。若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模模糊关系，且满足：糊关系，且满足：(1)(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)(3)传递性：传递性：R2 R,
14、则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等模糊等价关系价关系.X上的上的经典等价关系经典等价关系R满足：满足：(1)(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)(3)传递性：如果传递性：如果x x和和y y有关系，有关系，y y和和z z有关系，那么有关系，那么x x和和z z一定也有关系一定也有关系 。定理定理1 R是模糊等价关系当且是模糊等价关系当且经当经当R的任意的任意-截集都是经典等截集都是经典等价关系。价关系。U上的一个分类C可以诱导一个U上的等价关系R，R(a,b)=1当且仅当a和b在一类。U上的一个等价关系R可
15、以诱导一个U上的分类C，a和b在一类当且仅当R(a,b)=1。在某一方面的相似关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关系，模糊关系，若若R 满足满足：对于任意的：对于任意的x，y，(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)对称性对称性：R(x,y)=R(y,x)，则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似模糊相似关系关系.当论域当论域X=x1,x2,xn为有为有限时，限时，X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系 R 诱导的模糊矩阵称为模糊相似诱导的模糊矩阵称为模糊相似矩阵，即矩阵，即R满足：满足：(1)自反性：自反性：I R(rii=1)；(2)对
16、称性：对称性：RT=R(rij=rji).l得到模糊相似关系。得到模糊相似关系。l由模糊相似关系出发由模糊相似关系出发得到模糊等价关系得到模糊等价关系。l由模糊等价关系的由模糊等价关系的-截集得截集得到等价关系，从而分类到等价关系，从而分类。数据标准化数据标准化 设论域设论域X=x1,x2,xn为被分类为被分类对象对象,每个对象又由每个对象又由m个指标表示其形个指标表示其形状状:xi=xi1,xi2,xim,i=1,2,n于是于是,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为nmnnmmxxxxxxxxx.212222111211平移平移 标准差变换标准差变换),.,2,1,.,2,1(mjnisxx
17、xjjijij其中其中nijijjniijjxxnsxnx121)(1,1平移平移 极差变换极差变换1|min1|max1|minnixnixnixxxijijijijij模糊相似矩阵建立方法模糊相似矩阵建立方法相似系数法相似系数法-夹角余弦法夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相似系数法相似系数法-相关系数法相关系数法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(|距离法距离法rij=1 c d(xi,xj)其中其中c为适当选取的参数为适当选取的参数.海明距离海明距离mkjkikjixxxxd1|),(欧氏距离欧氏距离mkjkikjix
18、xxxd12)(),(切比雪夫距离切比雪夫距离d(xi,xj)=|xik-xjk|,1km由模糊相似矩阵诱导模糊等价矩阵由模糊相似矩阵诱导模糊等价矩阵 定理定理2 若若R 是模糊相似矩阵，是模糊相似矩阵，则对任意的自然数则对任意的自然数 k，Rk 也是模也是模糊相似矩阵糊相似矩阵.要借助模糊相似矩阵的性质要借助模糊相似矩阵的性质模糊相似矩阵的性质模糊相似矩阵的性质定理定理3 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数存在一个最小自然数 k(kn)，对于，对于一切大于一切大于k 的自然数的自然数 l，恒有，恒有Rl=Rk，即即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k=
19、Rk).此时此时称称Rk为为R的传递闭包，记作的传递闭包，记作 t(R)=Rk.模糊相似矩阵的性质模糊相似矩阵的性质 上述定理表明，任一个上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵模糊等价矩阵.平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t(R)：RR2R4R8R16最后由模糊等价关系的最后由模糊等价关系的-截集得到截集得到等价关系，从而分类等价关系，从而分类。不同的。不同的 得得到的分类可能是不一样的。到的分类可能是不一样的。在模糊聚类分析中，对于各个不同在模糊聚类分析中，对于各个不同的的 0,10,1，可得到不同的分类，从而，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚
20、类图，这对全面了解样形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的本分类情况是比较形象和直观的.这是因为R2 20 0 4 41 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 110.20.30.410.20.30.40.210.70.90.210.70.9设设0.30.710.80.30.710.80.40.90.810.40.90.81R R 2 21 10 0.2 20 0.3 30 0.4 41 10 0.2 20 0.3 30 0.4 40 0.2 21 10 0.7 70 0.9 90 0.2 21 10 0.7 70 0
21、.9 9则则0 0.3 30 0.7 71 10 0.8 80 0.3 30 0.7 71 10 0.8 80 0.4 40 0.9 90 0.8 81 10 0.4 40 0.9 90 0.8 81 1R R .则R.R2 21 10 0 4 40 0 4 40 0 4 40 0 4 41 10 0 8 80 0 9 90 0 4 40 0 8 81 10 0 8 80 0 4 40 0 9 90 0 8 81 1.则.R4 41 10 0 4 40 0 4 40 0 4 41 10 0 4 40 0 4 40 0 4 40 0 4 41 10 0 8 80 0 9 90 0 4 41 10 0 8 80 0 9 90 0 4 40 0 8 81 10 0 8 80 0 4 40 0 8 81 10 0 8 80 0 4 40 0 9 90 0 8 81 10 0 4 40 0 9 90 0 8 81 12R2R.这是因为R2 20 0 8 81 10 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 1.因为R2 20 0 9 91 10 00 00 00 01 10 01 10 00 01 10 00 01 10 01 11.模糊数学不是模模糊糊的数学。2.模糊数学是处理不确定性的 重要学科。
