1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根，又k为正整数，求代数式的值【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解【详解】解：设方程的两个实数根分别为x1、x2则 ，由条件，知=3，即，且，故a1，则方程为(k-1)x2+3x+2=0，.当k-1
2、=0时，k=1,x=，则.当k-10时，=9-8（k-1）=17-6-8k0，则，又k是正整数，且k1，则k=2，但使无意义.综上，代数式的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2已知关于x的方程x2（2k+1）x+k2+10（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k2，求该矩形的对角线L的长【答案】（1）k；（2）.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，得出0，再解不等式即可；
3、（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，(2k1)241(k21)4k30，k；(2)当k2时，原方程为x25x50，设方程的两个根为m，n，mn5，mn5，矩形的对角线长为：.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0时，方程有两个不相等的实数根；（2）=0时，方程有两个相等的实数根；（3）0时，方程没有实数根3已知
4、关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程的根是整数.【详解】若存在n满足题意.设x1，x2是方程的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程得，(x+n-1)x-2(n+1)=0，若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍.若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=
5、0或n=-(舍)，综上所述，n=0.4将m看作已知量，分别写出当0xm时，与之间的函数关系式；5按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】6关于x的一元二次方程有两个不等实根，.（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根，满足，求k的值.【答案】(1) k;(2) k=0.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2，代入x1+x2+
6、x1x2-1=0，即可求出k值【详解】解：（1）关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，=（2k-1）2-41k2=-4k+10，解得：k，即实数k的取值范围是k；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2，x1+x2+x1x2-1=0，1-2k+k2-1=0，k2-2k=0k=0或2，由（1）知当k=2方程没有实数根，k=2不合题意，舍去，k=0【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解7已
7、知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a2=0，有两个实数根x1，x2（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值【答案】（1）a3；（2）a=1【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）方程有两个实数根，0，即2241（a2）0，解得a3；（2）由题意可得x1+x2=2，x1x2=a2，x12x22+4x1+4x2=1，（a2）28=1，解得a=5或a=1，a3，a=18已知关于x的方程mx2+(3m)x3=0(m为实数，m0)(1) 试说明：此方程
8、总有两个实数根(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.【答案】(1)0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值详解: （1）证明：m0，方程mx2+（m-3）x-3=0（m0）是关于x的一元二次方程，=（m-3）2-4m（-3）=（m+3）2，（m+3）20，即0，方程总有两个实数根；（2）解：x= ，x1=-，x2=1，m为正整数，且方程的两个根均为整数，m=-1或-3点睛: 本题考查
9、了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程9工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：
10、设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.10若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”（1）一次函数yx1与x轴的交点坐标为 ；一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，则a ；（2）已知一对“x牵手函数”：yax+1与ybx1，其中a，b为一元二次方程x2kx+k40的两根，求它们的“x牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.【解析】【分析】（1）根
11、据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：若a=2，b=-2，若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”【详解】解：（1）当y0时，即x10，所以x1，即一次函数yx1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，所以0a+2，解得a2；（2）yax+1与ybx1为一对“x牵手函数”，a+b0a，b为x2kx+k40的两根a+bk0，x240，x12，x22若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为；若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为（，0 ）综上所述，“x牵手点”为或（，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用
