1、有理数的概念及分类有理数的概念及分类相关概念相关概念相反数相反数绝对值绝对值大小比较大小比较运算运算加、减法加、减法乘、除法乘、除法乘方乘方混合运算混合运算科学记数法科学记数法数轴数轴1.在正数前面放上符号在正数前面放上符号“-”是负数，是负数，0和正数和正数 又称又称 ；2.和和 统称为有理数。统称为有理数。整数包整数包括括 、和和 ，分数包括分数包括 和和 。3.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数 轴轴.数轴上，点的位置决定数的数轴上，点的位置决定数的 和绝对值和绝对值 的大小的大小.4.只有符号不同的两个数互为相反数。它们的绝只有符号不同的两
2、个数互为相反数。它们的绝 对值对值 ，相加结果为，相加结果为 .0的相反数是的相反数是0.5.表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝 对值。正数的绝对值是它对值。正数的绝对值是它 ，负数的绝负数的绝 对值是它的对值是它的 ，0的绝对值是的绝对值是 .6.有理数的大小比较：有理数的大小比较：正数正数0，负数，负数0，正数负数，正数负数.两个负数，绝对值大的反而小两个负数，绝对值大的反而小.若若a-b0，则，则ab；若；若a-b=0，则，则a=b；数轴上右边的点表示的数比左边大数轴上右边的点表示的数比左边大.比正负比正负:比绝对值比绝对值:若若a-b0，则
3、，则ab.比差比差:比位置比位置:7.有理数的加法法则：有理数的加法法则：两个负数相加，结果是两个负数相加，结果是 ，并把绝对值相加；，并把绝对值相加；异号两数相加，取异号两数相加，取 ，并用较，并用较 大的大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得互为相反数的两个数相加得 ，一个数与，一个数与0相加，相加，仍得这个数。仍得这个数。0负数负数绝对值较大的加数绝对值较大的加数8.有理数的加法运算律：有理数的加法运算律：加法交换律：加法交换律：；加法结合律：加法结合律：.9.有理数的加法法则：有理数的加法法则：减去一个数，等于减去一个数，等于 这个数的这个数的 .
4、a+b=b+aa+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)加上加上相反数相反数10.有理数加减法的运算技巧：有理数加减法的运算技巧：统一成加法，巧结合相加统一成加法，巧结合相加(正负数分类结合、正负数分类结合、互为相反数结合、凑成整数结合，同分母分数互为相反数结合、凑成整数结合，同分母分数结合结合)9.有理数的乘法法则：有理数的乘法法则：同号两数相乘得同号两数相乘得 ，并把绝对值相乘；，并把绝对值相乘；异号两数异号两数相乘得相乘得 ，并把绝对值相乘，并把绝对值相乘.任何数乘任何数乘0，都得，都得0.10.有理数的乘法运算律：有理数的乘法运算律：乘法交换律：乘法交换律：；乘法结合律：乘法结合律：；
5、分配律：分配律：.正数正数ab=ba(ab)c=a(bc)负数负数a(b+c)=ab+ac11.有理数的除法法则：有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并 把绝对值把绝对值 ；除以一个不等于零的数等于除以一个不等于零的数等于 .相除相除乘这个数的倒数乘这个数的倒数12.有理数的除法法则运用：有理数的除法法则运用：相除得整数，直接除；除式为分数化成乘法算相除得整数，直接除；除式为分数化成乘法算.13.连乘、乘除的运算方法：连乘、乘除的运算方法：从左往右算；除法化成乘法算；利用定律简便算从左往右算；除法化成乘法算；利用定律简便算.14.
6、有理数的乘方：有理数的乘方：求求n个相同因数的乘积的运算叫做乘方个相同因数的乘积的运算叫做乘方.在在an中，中，a叫做底数，叫做底数，n叫做指数叫做指数.正数的任何正整数次幂都是正数的任何正整数次幂都是 ；负数的；负数的奇次幂是奇次幂是 ；负数的偶次幂是；负数的偶次幂是 ；0的任何正整数次幂都是的任何正整数次幂都是0.正数正数负数负数正数正数15.科学计数法：科学计数法：把一个绝对值大于把一个绝对值大于10的数记作的数记作a10n的形式，的形式，其中其中a是整数数位只有一位的数是整数数位只有一位的数(即即1a10)，这，这种记数法叫做科学记数法种记数法叫做科学记数法.在在a10n中，中，n等于
7、这个数的位数等于这个数的位数 .减减116.有理数有理数的的混合运算顺序：混合运算顺序：先算先算 ，再算，再算 ，最后算加减，最后算加减.如果有括号，就先进行括号里面的运算。如果有括号，就先进行括号里面的运算。17.有理数混合运算的技巧：理清运算顺序，有理数混合运算的技巧：理清运算顺序，能简算的简算，不遗漏负号，不错写符号。能简算的简算，不遗漏负号，不错写符号。乘方乘方乘除乘除下列说法错误的是下列说法错误的是 （）B类型类型1 1 有理数的概念和分类有理数的概念和分类A.能化成分数的小数是有理数能化成分数的小数是有理数B.符号不同的两个数互为相反数符号不同的两个数互为相反数C.任何一个有理数的
8、绝对值是非负数任何一个有理数的绝对值是非负数D.相反数、绝对值都等于本身的数是相反数、绝对值都等于本身的数是0 下列各组数中相等的一组数是下列各组数中相等的一组数是 （）A.-5和和+5 B.-(-(-5)和和-(+-(+5)C.-(-(-5)和和+-+-5 D.+(-(-5)和和+-+-5-2.5的相反数的相反数是是 （）A.2.5 B.-2.5 C.-5.2 D.-(-(-2.5)CB类型类型2 2 有理数大小的比较有理数大小的比较下面四个选项中，最小的有理数是（下面四个选项中，最小的有理数是（）A.-5 B.-2 C.0 D.5A 如图，如果点如图，如果点B表示的数是表示的数是2，点，点
9、C表示的表示的数是数是6，那么点，那么点A表示的数是表示的数是 。-6类型类型3 3 科学记数法科学记数法 2020年年7月月17日，国家统计局发布了日，国家统计局发布了2020年上年上半年国内生产总值半年国内生产总值(GDP)初步核算数据为初步核算数据为456614亿亿元元.456614亿用科学记数法表示为亿用科学记数法表示为 （）1081014456610456614.B.A14131056614410566144.D.CC类型类型4 4 有理数的运算有理数的运算下面运算正确的是下面运算正确的是 （）A.-9-5=-4 B.(-(-2)4=8 C.30(-(-6)5=-1 D.7-(-(-
10、3)=10 计算：计算：D(1)-2-(-4)-(-12)(-4)+412123316141(2)解：解：(1)-2-(-4)-(-12)(-4)+4=-=-4-(-4)-3+4=-=-4+4-3+4=1.想每一步算什么，想每一步算什么，怎么算；确保每一步怎么算；确保每一步正确，特别注意符号正确，特别注意符号.12123316141(2)122312311261124118423.15 注意除法转化为注意除法转化为乘法，灵活运用运算乘法，灵活运用运算律进行简便运算律进行简便运算.类型类型5 5 实际问题中的有理数运算实际问题中的有理数运算 星期六，李叔叔骑着自行车逛街，他从家星期六，李叔叔骑着
11、自行车逛街，他从家里出发，先向东骑里出发，先向东骑500米到红星超市，再向西骑米到红星超市，再向西骑300米到花朵公园，继续向西骑米到花朵公园，继续向西骑600米到青山饭米到青山饭馆，最后骑车回到家里。馆，最后骑车回到家里。(1)李叔叔逛街离家最远时在自己家的哪个方向李叔叔逛街离家最远时在自己家的哪个方向 离家最远多少米？离家最远多少米？(2)红星超市与青山饭馆的距离是多少米？红星超市与青山饭馆的距离是多少米？(3)李叔叔这天一共骑车多少米？李叔叔这天一共骑车多少米？(1)(1)如图，画一条数轴，确定李叔叔家为原点如图，画一条数轴，确定李叔叔家为原点O O，向向东为正方向东为正方向，李叔叔几次
12、骑行到达的地点分别用点，李叔叔几次骑行到达的地点分别用点A，B，C表示。从图可知，李师傅在东离家最远的地点是表示。从图可知，李师傅在东离家最远的地点是A点，在西离家最远的地方是点点，在西离家最远的地方是点C.因为因为500+(-(-300)+(-(-600)=-)=-400，所以点，所以点C表示的数表示的数是是-400，C点离点离O点的距离是点的距离是|-|-400|=400.而而A点离点离O点点的距离是的距离是|500|=500，500400，所以李叔叔离家最远，所以李叔叔离家最远的地方在他家的正东方向的地方在他家的正东方向500米的红星超市。米的红星超市。ABO-200-400-60002
13、00400600C(2)(2)红星超市红星超市A A点与青山饭店点与青山饭店C C点的距离是：点的距离是：|500|+|-|+|-400|=900(|=900(米米)。ABO-200-400-6000200400600C(3)|(3)|500|+|-|+|-300|+|-|+|-600|+|+|400|=|=1800，李叔叔这天一共骑车走了李叔叔这天一共骑车走了1800米。米。A组基础题组基础题 1.将有理数将有理数 分分别别填入下面的方框内：填入下面的方框内：12805137211031，.正数正数既不是正数也既不是正数也不是负数的数不是负数的数负数负数2.画一条数轴，并标出表示下列各数的点
14、：画一条数轴，并标出表示下列各数的点：800232132.，3.填空：填空：原数原数0.21-1原数的相反数原数的相反数-0.523原数的倒数原数的倒数原数的绝对值原数的绝对值031414.填空：填空：（1）绝对值最小的正整数是）绝对值最小的正整数是 ，绝对值最小的负整数是绝对值最小的负整数是 ；（2）互为相反数的两数之和为）互为相反数的两数之和为 ，互为倒数的两数之积为互为倒数的两数之积为 ；（3）相反数与它本身相等的数是）相反数与它本身相等的数是 ，倒数与它本身相等的数是倒数与它本身相等的数是 .5.比较下列各数的大小：比较下列各数的大小：.5332401010321272531与与）（；
15、与与）（；与与）（；与与）（6.在数轴上分别标出表示有理数在数轴上分别标出表示有理数2.5，0，-2，4的的 点点A,B,C,D两点间的距离两点间的距离：(1)(1)A,B两点间的距离；两点间的距离；(2)(2)B,C两点间的距离；两点间的距离；(3)(3)C,D两点间的距离；两点间的距离；DAB-24C0-1-35321(1)(1)A,B两点间的距离是两点间的距离是|2.5|=2.5；(2)(2)B,C两点间的距离是两点间的距离是|-2|=2；(3)(3)B,C两点间的距离是两点间的距离是|4|+|+|-2|=4+2=6.DAB-24C0-1-35321 以向右为正方向的数轴上两点之间的距离
16、还以向右为正方向的数轴上两点之间的距离还可以这样算：可以这样算：两点间的距离两点间的距离=右边点表示的大数右边点表示的大数-左边表示的小数左边表示的小数试一试，看计算的结果是否与前面算出的结果相等试一试，看计算的结果是否与前面算出的结果相等.7.直接写出计算结果：直接写出计算结果：1251 962 65433 127834 975 103956 60247.7368 332192332108.计算：计算：；6321 ；414172 ；71021533.81214429.用科学记数法表示下列各数：用科学记数法表示下列各数：(1)702 000 000 000；(2)-)-85 000 000；2
17、1222110.计算：计算：；169449324 .814121235 注意运算顺序，注意运算顺序，注意简便算法注意简便算法.11.小华家买了一辆轿车，他连续小华家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家天记录了他家轿车每天行驶的路程，以轿车每天行驶的路程，以30kg为标准，超过或不为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下(单位：单位：kg):):+3，+1，-2，+9，-8，+2.5，-4，+5，-3，+2(1)请你运用所学知识估计小华家一个月请你运用所学知识估计小华家一个月(按按30天天算算)轿车行驶的路程；轿车行驶的路程；(2)若已
18、知该轿车每行驶若已知该轿车每行驶100km耗用汽油耗用汽油7L,且汽且汽油的价格为每升油的价格为每升7.26元，试根据第元，试根据第(1)题估计小华题估计小华家一年家一年(按按12个月算个月算)的汽油费用的汽油费用.(1)先算出先算出10天超过或不足标准的总路程，即天超过或不足标准的总路程，即可求出可求出一个月一个月30天的实际总路程天的实际总路程.(2)一年行驶的总路程每千米的汽油费用一年行驶的总路程每千米的汽油费用=一一年汽车费用年汽车费用.(1)()(+3+1+9+2.5+5+2)+(-(-2-8-4-3)=)=5.5(km),),3030+5.53=916.5(km).).(2)916
19、.51210077.265589(元元).).答答(略略)B组提高题组提高题 12.在数轴上标出表示大于在数轴上标出表示大于-4并且小于并且小于3的的 所有所有整数的点。整数的点。13.（1）写出大于）写出大于1并且小于并且小于2的的5个有理数；个有理数；（2）写出大于）写出大于-2并且小于并且小于0的的5个有理数。个有理数。14.计算：计算：；2787451；5130121322.32329121313解：解：27874512178745281717.16149 5130121322513061515.1 3232912131332239161326161320.015.如果如果|a|=|=
20、a，那么，那么a是什么数？是什么数？如果如果|a|=-|=-a，那么，那么a是什么数？是什么数？解：解：如果如果|a|=|=a，那么，那么a0 ；如果如果|a|=-|=-a，那么，那么a0.16.回答下列问题：回答下列问题：(1)a，b都是有理数，都是有理数，ab一定是正数吗？一定是正数吗？(2)对任何有理数对任何有理数a，都有，都有a=(-=(-a)吗？吗？都有都有a=(-=(-a)吗？吗？答：答：(1)不一定。不一定。a，b都是有理数，则可以是都是有理数，则可以是 正数，负数或正数，负数或0.当当a，b同号时，同号时，ab是正是正 数；当数；当a，b异号时，异号时，ab是负数；当是负数；当
21、a，b 中有一个或两个全为中有一个或两个全为0时，时，ab是是0.(2)对任何有理数对任何有理数a，都有，都有a=(-=(-a).).但但对任何对任何 有理数有理数a，a=-(-=-(-a).17.已知有理数已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的在数轴上对应的点的位置位置 如图所示，则如图所示，则 的值为多少？的值为多少？ccbbaaO0-11cba解：解：从图可知从图可知a0，b0，c0 ,所以所以.ccbbaaccbbaa311118.把把-1，+2，-3，+4，-5，+6，-7，+8，-9填填入如图所示的方框内，使得每行、每列、每条对入如图所示的方框内，使得每行、每列、每条对角线的三个数均满足：角线的三个数均满足：(1)三个数的乘积都是负数；三个数的乘积都是负数；(2)三个数的绝对值的和都相等。三个数的绝对值的和都相等。+6-5-7-1-9+2+4+8-3提示：提示：根据第根据第(1)个要求，个要求，则每行、每列、每条对角则每行、每列、每条对角线填线填1个或个或3个负数；个负数；根据第根据第(2)个要求，个要求，则先要确则先要确定正中间一个数，再根据绝对值大配小的方法确定正中间一个数，再根据绝对值大配小的方法确定每行、每列、每条对角线所填的数。定每行、每列、每条对角线所填的数。参考答案：参考答案：
