1、 前言前言 刚体的平面运动刚体的平面运动 非惯性基下刚体动力学非惯性基下刚体动力学 碰撞碰撞 刚体的定点运动刚体的定点运动理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学2刚体动力学/刚体的平面运动2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学3刚体平面运动的动力学条件刚体平面运动的动力学条件 刚体在力或力偶的作用下产生运动刚体在力或力偶的作用下产生运动 作用于刚体上的一个平面力系，刚体是否作用于刚体上的一个平面力系，刚体是否一定作平面运动？一定作平面运动？刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学4
2、刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件Oz为主轴为主轴zyxOOMmm 结论结论zyxOOMvvmm刚体作平面运动的刚体作平面运动的惯量条件惯量条件：刚体运动平面的法线方向：刚体运动平面的法线方向应为刚体的一主轴应为刚体的一主轴满足作平面运动动力学条件的刚体称为满足作平面运动动力学条件的刚体称为平面刚体平面刚体Oz为非主轴为非主轴2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学5处理动力学问题的一般方法处理动力学问题的一般方法 单刚体动力学方程一般形式单刚体动力学方程一般形式 单刚体动力学问题单刚体动力学问题 刚体系动力学方程一般形式刚体系动力学方程一般形式 刚体系动力学问题刚体系动力学问题 刚体
3、动力学/刚体的平面运动/一般方法2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学6刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法 单刚体动力学方程一般形式单刚体动力学方程一般形式bxbyxyOCsxsyTyxeTsssyxe惯性基惯性基平动参考基平动参考基Tbbbyxe基点为质心基点为质心C连体基连体基作用于受约束刚体的外力作用于受约束刚体的外力理想约束力系理想约束力系主动力系主动力系向质心向质心C简化简化向质心向质心C简化简化nFaF通常未知通常未知nF主矢主矢aF主矢主矢zMMCCnn主矩主矩zMMCCaa主矩主矩TnnnyxFFFTaaayxFFFnCMaCM:e:e2023年5月7日理论力学CAI
4、刚体动力学7bxbyxyOCsxsynFaFnCMaCM刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法TyxeTsssyxezJLCCnaCCCMMJ 惯性基惯性基平动参考基平动参考基Tbbbyxe基点为质心基点为质心C连体基连体基运动描述运动描述位置位置质心运动定理质心运动定理CrCr:eTCCCyxr姿态姿态动力学方程动力学方程naFFrCm 对质心动量矩定理对质心动量矩定理:eaaxxCxmFF aayyCymFF 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学8刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法naCCCMMJ 位置位置Cr:eTCCCyxr姿态姿态单刚体动力学方程组单刚体动力学方程组naxxC
5、xmFF nayyCymFF 单刚体动力学方程组缩并单刚体动力学方程组缩并位位形形加加速速度度坐坐标标阵阵Zq aFnFnaFFqZ 增增广广质质量量阵阵 增增广广主主动动力力阵阵 增增广广理理想想约约束束力力阵阵 nnnaaa000000CyxCyxCCCMFFMFFyxJmm bxbyxyOCsxsynFaFnCMaCMCr2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学9单刚体动力学问题单刚体动力学问题 单刚体平面运动的动力学微分方程组单刚体平面运动的动力学微分方程组由三个方程组成由三个方程组成刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法naCCCMMJ naxxCxmFF nayyCymFF 动力
6、学逆问题，刚体的运动已知动力学逆问题，刚体的运动已知 通过方程组可求得作用于刚体的主动力通过方程组可求得作用于刚体的主动力(偶偶)与理想约束与理想约束力力(偶偶)的关系的关系 求解的未知量个数不能超过求解的未知量个数不能超过32023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学10刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法 动力学正问题，作用于刚体的主动力动力学正问题，作用于刚体的主动力(偶偶)已知已知 如果刚体没受到约束，如果刚体没受到约束，3个位形坐标未知个位形坐标未知 通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加速度与主动力速度与主动力(矩矩)的关系的关系 可通过积分方
7、程组，得到位形坐标的时间历可通过积分方程组，得到位形坐标的时间历程程naCCCMMJ naxxCxmFF nayyCymFF 如果刚体受到约束，如果刚体受到约束，3个位形坐标未知，理想约束力个位形坐标未知，理想约束力未知未知 未知的变量超过方程的个数，必须附加方程未知的变量超过方程的个数，必须附加方程2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学11刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例例例 均质杆均质杆AB长为长为l，质量为，质量为m。当该杆由静止开始，在地面当该杆由静止开始，在地面与墙面上无摩擦地滑动与墙面上无摩擦地滑动(a)试建立杆的动力学方程试建立杆的动力学方程(b)初始为静止状态，初
8、始角为初始为静止状态，初始角为 0，计算当杆下滑到角，计算当杆下滑到角 位置位置瞬时的角速度瞬时的角速度(c)计算该瞬时杆受到的约束力计算该瞬时杆受到的约束力(d)计算当杆与铅垂壁脱离时计算当杆与铅垂壁脱离时的角的角 1(e)计算此瞬时杆的角速度与质计算此瞬时杆的角速度与质心心C的水平运动速度的水平运动速度 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学12刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解yxbxby杆的运动为平面一般运动杆的运动为平面一般运动 惯性基惯性基eO连体基连体基beC受力分析（一般位置）受力分析（一般位置）gmBFNAFN主动力主动力gm理想约束力理想约束力AFNBFNBC
9、FxmN mgFymACN cos2sin212NN2lFlFmlBA 动力学方程动力学方程 122mlJC(a)建动力学方程建动力学方程 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学13刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(b)求角速度（逆问题）求角速度（逆问题）yxbxby未知量数未知量数(5)方程数方程数(3)0gmBFNAFNBCFxmN mgFymACN cos2sin212NN2lFlFmlBA 需附加需附加2个方程个方程cos2,sin2lylxCC约束方程约束方程(一般位置一般位置)2sin2cos2 llxC2cos2sin2 llyC加速度约束方程加速度约束方程2023
10、年5月7日理论力学CAI 刚体动力学14刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解yxbxby0gmBFNAFNBCFxmN mgFymACN cos2sin212NN2lFlFmlBA 2sin2cos2 llxC2cos2sin2 llyC0sin23lg dd 0dsin23d0lglg/)cos(cos30 tdddd dsin23dlg2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学15刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(c)求约束力（正问题）求约束力（正问题）yxbxby0gmBFNAFNlg/)cos(cos30 当前态当前态 BCFxmN mgFymACN cos2sin212
11、NN2lFlFmlBA 2sin2cos2 llxC2cos2sin2 llyC0sin23lg)cos2cos3(sin430NmgFB)cos(coscos23sin43102mgmgymFCA N2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学16刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(d)求杆离壁时的姿态求杆离壁时的姿态yxbxby0gmBFNAFN离壁条件离壁条件)cos2cos3(sin430NmgFB0NBF0)cos2cos3(sin430mg解解1 0sin0与题意不符与题意不符 解解2 0cos2cos30)cos32arccos(0130456054.7461.8770.5
12、3)(0)(112023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学17刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(e)求杆离壁时位形速度求杆离壁时位形速度(运动学问题运动学问题)yxbxby0gmBFNAFN离壁瞬时离壁瞬时 约束方程约束方程)cos32arccos(011lg/)cos(cos3001coslgcos2,sin2lylxCC速度约束方程速度约束方程 sin2,cos2lylxCC1111cos2lxvCCx 00coscos31gl离壁瞬时质心水平速度离壁瞬时质心水平速度 离壁瞬时杆角速度离壁瞬时杆角速度2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学18刚体动力学/刚体的平面运动/一般
13、方法/例例例 一均质圆柱质量为一均质圆柱质量为m，半径为，半径为r，无，无初速地放在倾斜角为初速地放在倾斜角为q q的斜面上，的斜面上，不计滚动摩擦力，考虑滑动摩擦力不计滚动摩擦力，考虑滑动摩擦力试讨论圆柱运动的情况试讨论圆柱运动的情况 qCgm2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学19刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解解 圆柱运动为平面一般运动圆柱运动为平面一般运动 惯性基惯性基eO连体基连体基beC受力分析（一般位置）受力分析（一般位置）qOyxgm重力重力 理想约束力理想约束力 NFfFgmNF滑动摩擦力滑动摩擦力 fF（a）理想光滑）理想光滑 圆柱与斜面的相对光滑程度不圆
14、柱与斜面的相对光滑程度不同会产生不同的摩擦效应同会产生不同的摩擦效应（b）非常粗糙）非常粗糙（c）两者之间）两者之间 bxbyC2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学20刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解解 圆柱运动为平面一般运动圆柱运动为平面一般运动 受力分析（一般位置）受力分析（一般位置）qOyxbxbyCgm重力重力 理想约束力理想约束力 NFgmNF无滑动摩擦力无滑动摩擦力(a)圆柱与斜面理想光滑圆柱与斜面理想光滑qsinmgxmC NcosFmgymCq 022 mr动力学方程动力学方程 22mrJC2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学21刚体动力学/刚体的平面
15、运动/一般方法/解qOyxbxbyCgmNFqsinmgxmC NcosFmgymCq 022 mr动力学方程动力学方程 未知量数未知量数(4)方程数方程数(3)需附加需附加1个方程个方程0Cy约束方程约束方程(一般位置一般位置)0Cy qcosNmgF 002/sin)(2qgttxC求解求解0t000)(t0Cx0Cx 圆柱匀加速度斜面平移下滑圆柱匀加速度斜面平移下滑 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学22刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解圆柱运动为平面一般运动圆柱运动为平面一般运动 受力分析（一般位置）受力分析（一般位置）重力重力 理想约束力理想约束力 gmNF滑动摩擦力
16、滑动摩擦力(b)圆柱与斜面圆柱与斜面非常粗糙非常粗糙fsinFmgxmCq ACFmgymNcosq 动力学方程动力学方程 22mrJCfFqOyxgmNFfFbxbyCNffFF？未知未知未知未知rFmrf22 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学23刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解fsinFmgxmCq NcosFmgymCq 动力学方程动力学方程 qOyxgmNFfFbxbyCrFmrf22 未知量数未知量数(5)方程数方程数(3)需附加需附加2个方程个方程约束方程约束方程(一般位置一般位置)0Cy0Cy qcosNmgF rxC纯滚动纯滚动 rxC构成封闭的方程组构成封
17、闭的方程组2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学24刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解fsinFmgxmCq qOyxgmNFfFbxbyCrFmrf22 未知量数未知量数(3)=方程数方程数(3)rxC3/sin2qgxC CxmF 2f3/sin2)(2qgttxC求解求解0t0Cx0Cx 圆柱沿斜面纯滚动，质心的加速度不变圆柱沿斜面纯滚动，质心的加速度不变 rxCrgtt3/sin2)(2q3/)sin(fqmgF 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学25刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解qOyxgmNFfFbxbyC3/)sin(fqmgF NsmFfF qc
18、osNmgF 3/)sin(cossqqmgmgffmFF qtg31sf讨论讨论 斜面极限静摩擦力斜面极限静摩擦力 qcossmmgfF 圆柱与斜面无相对滑动的条件圆柱与斜面无相对滑动的条件 3/tgsqf圆柱在斜面纯滚动的条件圆柱在斜面纯滚动的条件 圆柱在斜面将又滚又滑圆柱在斜面将又滚又滑 非常粗糙非常粗糙的含义的含义 2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学26刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解受力分析（一般位置）受力分析（一般位置）重力重力 理想约束力理想约束力 gmNF滑动摩擦力滑动摩擦力(c)圆柱与斜面圆柱与斜面不很粗糙不很粗糙fFqOyxgmNFfFbxbyCNffFF
19、？未知未知3/tgsqf)sign(NfDvfFF sign()vvvDDD1100当当rxvCDDbxbyCDCveDvet DveetDDDvvv)sign(NfrxfFFCCDvvetrvDe2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学27刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解动力学方程动力学方程qOyxgmNFfFbxbyCD)sign(sinNq rxfFmgxmCCNcosFmgymCq)sign(2N2 rxrfFmrC未知量数未知量数(4)方程数方程数(3)需附加需附加1个方程个方程约束方程约束方程(一般位置一般位置)0Cy0Cy qcosNmgF)sign(cossinqq
20、 rxfggxCCrrxfgC/)sign(cos2q)(txC)(t封闭封闭2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学28刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法 动力学正问题，作用于刚体的主动力动力学正问题，作用于刚体的主动力(偶偶)已知已知 如果刚体没受到约束，如果刚体没受到约束，3个位形坐标未知个位形坐标未知 通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加通过方程组可求得刚体质心的加速度和角加速度与主动力速度与主动力(矩矩)的关系的关系 可通过积分方程组，得到位形坐标的时间历可通过积分方程组，得到位形坐标的时间历程程naCCCMMJ naxxCxmFF nayyCymFF 如果刚体受到约束，如果
21、刚体受到约束，3个位形坐标未知，理想约束力个位形坐标未知，理想约束力未知未知 未知的变量超过方程的个数，必须附加方程未知的变量超过方程的个数，必须附加方程 通过约束，刚体的位形坐标的加速度层次上的关系可以作为通过约束，刚体的位形坐标的加速度层次上的关系可以作为附加方程附加方程 对于未知的非理想约束力，还需增加一些描述非理想约束力对于未知的非理想约束力，还需增加一些描述非理想约束力关系式（如摩擦）关系式（如摩擦）2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学29刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法处理动力学问题的一般方法小结处理动力学问题的一般方法小结 动力学问题的求解规模与系统刚体的个数有关动力
22、学问题的求解规模与系统刚体的个数有关 刚体的个数为刚体的个数为N，系统的位形坐标为，系统的位形坐标为n=3N，动力学方程的，动力学方程的个数也为个数也为n 对于存在约束的系统，动力学方程中将出现未知的对于存在约束的系统，动力学方程中将出现未知的理想约束力理想约束力 如果它们个数为如果它们个数为s。对于动力学正问题，需要补充。对于动力学正问题，需要补充s个独立个独立的加速度约束关系式的加速度约束关系式 通过消去理想约束力，动力学方程可缩并为通过消去理想约束力，动力学方程可缩并为d d=3N-s个方程个方程 变量为系统的独立坐标变量为系统的独立坐标2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学30刚
23、体动力学/刚体的平面运动/一般方法 一般方法处理动力学正问一般方法处理动力学正问题程式化的求解过程题程式化的求解过程动力学方程组动力学方程组加速度约束方程组加速度约束方程组独立坐标动力学方程组独立坐标动力学方程组(主动力与加速度的关系主动力与加速度的关系)消去理想约束力消去理想约束力独立坐标的位置与速度独立坐标的位置与速度积分积分非独立坐标的位置、速度与加速度非独立坐标的位置、速度与加速度解代数方程解代数方程原动力学方程组原动力学方程组理想约束力理想约束力解代数方程解代数方程位置、速度与加速度约束方程组位置、速度与加速度约束方程组加速度加速度动力学运动学独立坐标动力学方程组独立坐标动力学方程组
24、(主动力与加速度的关系主动力与加速度的关系)直接得到直接得到称为独立坐标方法称为独立坐标方法2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学31处理动力学问题的独立坐标方法处理动力学问题的独立坐标方法 以系统描述位形的独立坐标为变量建立动力学方程以系统描述位形的独立坐标为变量建立动力学方程 方程个数为方程个数为d d=ns，d d为系统的自由度数为系统的自由度数 方程为方程为d d个独立坐标的二阶微分方程组个独立坐标的二阶微分方程组 方程缩不含未知理想约束力方程缩不含未知理想约束力 需要的基本原理需要的基本原理 动量定理动量定理 对动点的动量矩定理对动点的动量矩定理刚体动力学/刚体的平面运动/独立
25、坐标方法2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学32刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法两种处理动力学问题方法的比较两种处理动力学问题方法的比较 一般方法一般方法 建模的过程具有程式化的特点不太容易出错建模的过程具有程式化的特点不太容易出错 建立刚体系动力学模型是以每个刚体为单元，定义它们的建立刚体系动力学模型是以每个刚体为单元，定义它们的3个位个位形坐标、建立形坐标、建立3个统一形式的动力学方程个统一形式的动力学方程 系统的坐标与动力学方程由它们组集而成系统的坐标与动力学方程由它们组集而成 由于未知的理想约束力的存在，引入的加速度约束关系也比较规由于未知的理想约束力的存在，引入的加速
26、度约束关系也比较规范范 多少个理想约束力定有多少个约束关系多少个理想约束力定有多少个约束关系 缺点是动力学模型的规模太大缺点是动力学模型的规模太大2023年5月7日理论力学CAI 刚体动力学33刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法 独立坐标方法独立坐标方法 建立动力学方程的步骤建立动力学方程的步骤 由运动学入手，分析系统的自由度，定义描述系统位形的独立坐标由运动学入手，分析系统的自由度，定义描述系统位形的独立坐标 进行运动学分析，建立刚体质心速度和角速度与独立坐标速度间的进行运动学分析，建立刚体质心速度和角速度与独立坐标速度间的关系关系 直接由动力学基本原理建立动力学方程直接由动力学基本原理建立动力学方程 所得到的动力学方程个数最少所得到的动力学方程个数最少 建立动力学方程的方法讲究技巧建立动力学方程的方法讲究技巧 系统独立坐标的定义不是唯一的系统独立坐标的定义不是唯一的 建方程的简繁的程度以及方程的简洁程度取决于独立坐标的选取，建方程的简繁的程度以及方程的简洁程度取决于独立坐标的选取，无一定的规律可循无一定的规律可循 要求读者有清楚的运动学与动力学概念以及建立动力学方程的经验，要求读者有清楚的运动学与动力学概念以及建立动力学方程的经验，不然容易出错不然容易出错 无法求理想约束力无法求理想约束力
