1、第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析内容提要内容提要 本章介绍逼近问题和灵敏度分析。首先介绍各种逼近方式，包本章介绍逼近问题和灵敏度分析。首先介绍各种逼近方式，包括：勃特沃茨逼近、切比雪夫逼近、倒切比雪夫逼近、椭圆函数、括：勃特沃茨逼近、切比雪夫逼近、倒切比雪夫逼近、椭圆函数、贝赛尔汤姆逊响应。利用频率变换和阻抗换算，可从低通滤波器贝赛尔汤姆逊响应。利用频率变换和阻抗换算，可从低通滤波器的逼近函数变换为所需的高通、带通或带阻滤波器。最后，介绍灵的逼近函数变换为所需的高通、带通或带阻滤波器。最后，介绍灵敏度的分析和计算，滤波器中常用的敏度的分析和计算，滤波器中常用的 灵敏度及增益
2、灵敏度。灵敏度及增益灵敏度。,Q19.1 概述概述第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析滤波器滤波器：一个滤波器是给出规定响应的系统，是一个滤波器是给出规定响应的系统，是 用一组用一组激励激励响应响应关系表征的系统关系表征的系统 激励激励响应响应滤波器滤波器2第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析滤波器的描述函数滤波器的描述函数1）转移函数）转移函数0()()()iV sH sV s2）幅度函数）幅度函数js 为幅度函数为幅度函数 j(j)(j)(j)HHHe3）相位函数）相位函数()(j)H 4）群时延函数）群时延函数d()()d )(jH3第第9章章 逼近问题和
3、灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析滤波器的分类滤波器的分类模拟滤波器模拟滤波器数字滤波器数字滤波器有源滤波器有源滤波器无源滤波器无源滤波器1）2）低通滤波器低通滤波器(LP)、高通滤波器高通滤波器(HP)、带通滤波器带通滤波器(BP)、带阻滤波器带阻滤波器(BR)和全通滤波器和全通滤波器(AP)信号信号元件元件4第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析)j(H 0 C)j(HC 0 )j(H12 0 0 )j(H12)j(H 0 LPHPBPBRAP5第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析)j(HC不可实现不可实现具有非因果性具有非因果性 )j(HmaxAminAsCsm
4、axAminA通带内允许最大衰减通带内允许最大衰减阻带内允许最小衰减阻带内允许最小衰减 通带角频率通带角频率阻带角频率阻带角频率逼近问题逼近问题幅度幅度特性特性容差容差图图技术指标技术指标6 9.2勃特沃茨逼近勃特沃茨逼近 第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析Butterworth响应响应通带最平坦响应通带最平坦响应22022(j)1()nCHH模平方函数模平方函数12小常小常数数)(1Cn2202(j)1nHHjs 归一化归一化7第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析)()()(2sHsHsHnnsH22)1(1)0(21j()2e,knnks)()0()(sP
5、HsH模平方函数模平方函数)(sH解析解析延拓延拓2110nns 121nns 极点极点8第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析)(sH)(sH 的的构造构造最小相位函数最小相位函数：具有最小相移的函数：具有最小相移的函数 零点只在左半平面或虚轴上的零点只在左半平面或虚轴上的 网络函数，网络函数，1）全部左半平面的极点分配给）全部左半平面的极点分配给)(sH2）全部左半平面的零点和一半虚轴零点分配给）全部左半平面的零点和一半虚轴零点分配给原则：共轭零点成对地分配在一起；虚轴上的零点要等同原则：共轭零点成对地分配在一起；虚轴上的零点要等同的分配给的分配给 和和)(sH)(sH)(s
6、H 9第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析oojooj最小相位函数最小相位函数10第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析表表9-1 勃特沃茨函数勃特沃茨函数11第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析(j)()20lgH(0)HA 2210lg 1nc传输特性传输特性 在阻带内在阻带内()A20lg()ncd()20 dB/6 dB/dcAnn 十倍频程倍频程12第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析maxA210lg 1max0.1101AcsminA2210lg 1nscn minmax0.10.1101lg1012lgAAsc设计参
7、数的确定设计参数的确定调整通带内允许的最大衰减，调整通带内允许的最大衰减，使其可小于使其可小于3dB 13第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析例例9-1 设低通滤波器设低通滤波器 rad/s,4 rad/s 通通带内允许最大衰减带内允许最大衰减Amax=0.5dB，阻带内起码衰减，阻带内起码衰减Amin=50dB，试求，试求 。cs()H s解：解：max0.1101A0.051010.35 n 52lg101/0.35lg165.9124.911.2045n 41041014第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析()H s 221(1)(0.6181)(1.61
8、81)sssss1410ns15440.350.811 1010ss2028282.85 10()(12330)(76201.52 10)(199501.52 10)H ssssss210max10lg(10.354)51.1dB50dBA此时此时满足要求满足要求15 9.3 切比雪夫逼近切比雪夫逼近第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)响应的特点是在通带内的幅度按响应的特点是在通带内的幅度按等波纹波动等波纹波动，又称为等波纹滤波器又称为等波纹滤波器11cos(cos)1()ch(ch)1nnxxCxnxx切比雪夫多项式切比雪夫多项式16第第
9、9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析22022(j)1()nHHCc归一化归一化)()()(2sHsHsH20221jnHsC模平方函数模平方函数)(sH解析解析延拓延拓极点极点17第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析ch(j)jksXY+jjjkkkkk1(21)11sinshsh2knn k1(21)11coschsh2knn221111111shshchshkknn椭圆椭圆n 0()()HH sP sP18118第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析需需确定的参数为确定的参数为n计算公式：计算公式：22(j)()20lg10lg 1()(0)nH
10、ACH 110max1.0AsAn1-1.01ch110chminmaxAminA19 9.4 倒切比雪夫逼近倒切比雪夫逼近第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析传输零点均在无穷远处，没有有限值零点。传输零点均在无穷远处，没有有限值零点。倒切比雪夫逼近函数具有倒切比雪夫逼近函数具有有限值有限值传输零点传输零点 全极点滤波器全极点滤波器2220222(j)1cncnHCHC在阻带内呈等波纹状在阻带内呈等波纹状 通带内是最大平坦函数通带内是最大平坦函数 22220(j)1111()nHHCc20第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析需需确定的参数为确定的参数为nmin0
11、.11101AminAminmax0.110.1-1101ch1011chAApnmaxA21 9.5 椭圆函数椭圆函数第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析1）通带和阻带内都具有波动特性）通带和阻带内都具有波动特性 考尔函数考尔函数 特点特点2）传输零点在虚轴上）传输零点在虚轴上 22第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 同样的技术要求下椭圆同样的技术要求下椭圆函数所需的阶数函数所需的阶数最少最少，尤其，尤其是过渡带较窄的情况下是过渡带较窄的情况下，椭，椭圆函数具有十分明显的优点圆函数具有十分明显的优点 239.6 贝赛尔汤姆逊响应贝赛尔汤姆逊响应第第9章章 逼
12、近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析21()()V tV tT21()()esTV sV s信号没有显著的失真信号没有显著的失真相位函数为线性的相位函数为线性的群时延在通带内为常数群时延在通带内为常数21()()e()sTV sH sV s相位函数相位函数()H s要求要求24第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析在正弦情况下，可知上式的幅度函数为在正弦情况下，可知上式的幅度函数为 相位函数为相位函数为 群时延函数为群时延函数为 (j)1H()(j)THT 令令xsTd()()dT 25第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析ex1chshxx)()()()(00
13、xBCxDxDCxHnoe展开为无限级数形式，截取后展开为无限级数形式，截取后0H(0)1Hn 阶贝塞阶贝塞尔多项式尔多项式 26第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析1)(0 xB1)(1 xxB33)(22xxxB15156)(233xxxxB)()()12()(221xBxxBnxBnnn递推递推公式公式021()()()()nHV sH sV sB sT贝塞尔贝塞尔-汤姆逊逼近函数汤姆逊逼近函数 27第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析()nB sT()nnb sT11()nnbsT10b sTb(2)!2!kn knkbknk贝塞尔多项式贝塞尔多项式 系
14、数系数 截取误差截取误差的影响的影响28第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析幅度特性幅度特性(j)()20lg(0)HTATH 正弦情况正弦情况js延迟延迟d()()d()TDTT 的函数的函数n43220lgj1045j105105TTTT4n 4n 642864210()135()1575()11025()10()135()1575()11025TTTTTTT29第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析衰减随衰减随 的变化曲线的变化曲线 T30第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析延迟随延迟随 的变化曲线的变化曲线 T31第第9章章 逼近问题和灵敏
15、度分析逼近问题和灵敏度分析延迟误差随延迟误差随 的变化曲线的变化曲线 T32第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 确定转移函数的所需参数确定转移函数的所需参数 1.时延时延 1ms；2.2000rad/s 在该范围内该在该范围内该时延误差时延误差不超过不超过 2；3.幅度衰减幅度衰减不超过不超过 2dBP190参数参数1参数参数2参数参数333第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析各种逼近方式总汇各种逼近方式总汇全极点滤波器全极点滤波器 所有零点都在无穷远处所有零点都在无穷远处 勃特沃茨响应、切比雪夫响应、贝塞尔响应勃特沃茨响应、切比雪夫响应、贝塞尔响应 极点分布
16、极点分布jo贝塞尔汤姆逊贝塞尔汤姆逊勃特沃茨勃特沃茨切比雪夫切比雪夫34第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析幅度特性幅度特性勃特沃茨勃特沃茨切比雪夫切比雪夫倒切比雪夫倒切比雪夫椭圆函数椭圆函数通带通带最平坦最平坦等纹波等纹波平坦平坦等纹波等纹波阻带阻带最平坦最平坦平坦平坦等纹波等纹波等纹波等纹波阶数阶数35 9.7 频率变换频率变换第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 9.7.1 高通变换高通变换0(j)LPH(j)HPH0.5 120.5210(j)HminAminAmaxAmaxA0sc0sc(j)H36第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析从
17、低通到高通的变换从低通到高通的变换频率变换频率变换元件变换元件变换截止截止频率频率阻带阻带边界边界高通（实际）高通（实际）参数参数 低通（归一低通（归一化）参数化）参数1cscss 37第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 9.7.2 带通变换带通变换01234 12022021()()LPNsHsss()BPHs38第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 9.7.3 带阻变换带阻变换21220()()LPNsHsss()BRHs234120 若为若为 阻带；阻带；、为过渡带为过渡带 34132439 9.8 灵敏度分析灵敏度分析第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼
18、近问题和灵敏度分析 9.8.1 灵敏度及其计算灵敏度及其计算电路响应（或输出）关于电路参数、温度等相对变化率电路响应（或输出）关于电路参数、温度等相对变化率灵敏度灵敏度YXSYXYX(ln)(ln)YX归一化归一化YXYXYXS输出偏差输出偏差元件偏差元件偏差40第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析0XS常数1kXXS1 212YYYYXXXSSSnYYXXSnS1YYXXSS 1YYXXSS()()f Yf YYXYXSSS12YYXS121212YYXXYSY SYY常用计算性质常用计算性质复数的灵敏度复数的灵敏度jeYYYXSYXSjeXS41第第9章章 逼近问题和灵敏度
19、分析逼近问题和灵敏度分析YXS+jXXYXS+jXSYXSRe()YXS1Im()YXXSS多变量参数的灵敏度多变量参数的灵敏度1ddmiiiYYXX1dmiiiiiXYYYXXX1dimYiXiiXYSXYY1miiiXXiYXSWorst Case Analysis 绝对值绝对值42第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析Monte Carlo 分析分析数理统计的方法，更合理、有效数理统计的方法，更合理、有效转移函数的灵敏度转移函数的灵敏度(j)1(j)Re(j)imHiXiiHXSHX(j)1arg(j)ImimHiXiiXHSX43第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和
20、灵敏度分析 9.8.2 和和 灵敏度灵敏度Q双二次节函数双二次节函数22022()zzzpppssQH sHssQ零点角零点角频率频率极点角极点角频率频率极点极点Q 值值极点极点Q 值值zpzpQQ关于电路参数关于电路参数 等的灵敏度等的灵敏度iiA R C运放的放大倍数运放的放大倍数44第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析1pimQRiS10pinQCiS1pimRiS11pinCiS 结论结论1.灵敏度灵敏度2.灵敏度灵敏度Q45第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 9.8.3 增益灵敏度增益灵敏度双二次节函数双二次节函数22022()zzzpppssQH
21、sHssQjs()A20lg(j)H020lgH222220lgj20lgjpzzpzpQQ46第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析()A关于关于 等参数的灵敏度等参数的灵敏度zpzpQQ增益灵敏度增益灵敏度()AX()lnAx20lg(j)lnHxln(j)8.686lnHx(j)()8.686HAXXS()A()AXXX47第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析22()2222(1)8.686(1)ppppApppQQ 2()2228.686(1)pppAQpppQQp归一化归一化max1p()8.686dBpAQmax112ppQ ()8.686dBpApQ
22、()pApQ电路无关电路无关48第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析()pA()pAQ49第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析22()2222(1)8.686(1)zzzAzzzzQQ2()2228.686(1)zzAzQzzzQQ 曲线相似曲线相似50第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析小结小结逼近逼近 勃特沃茨响应、切比雪夫响应、倒切比雪夫逼近、椭圆函数勃特沃茨响应、切比雪夫响应、倒切比雪夫逼近、椭圆函数满足幅度函数的要求，贝塞尔响应满足相位函数的要求。满足幅度函数的要求，贝塞尔响应满足相位函数的要求。勃特沃茨响应在通带内具有最平坦特性；切比
23、雪夫响应在勃特沃茨响应在通带内具有最平坦特性；切比雪夫响应在通带内给出等纹波特性，在阻带呈最平坦特性；倒切比雪夫逼通带内给出等纹波特性，在阻带呈最平坦特性；倒切比雪夫逼近在通带内最平坦，在阻带内是等纹波的；椭圆函数在通带和近在通带内最平坦，在阻带内是等纹波的；椭圆函数在通带和阻抗都呈等纹波特性。对于给定的滤波器技术指标，椭圆函数阻抗都呈等纹波特性。对于给定的滤波器技术指标，椭圆函数所需要的阶数最低。所需要的阶数最低。51第第9章章 逼近问题和灵敏度分析逼近问题和灵敏度分析 频率变换和阻抗换算方法可用于高通、对称带通和对称带频率变换和阻抗换算方法可用于高通、对称带通和对称带阻滤波器的设计阻滤波器的设计 滤波器中常用的灵敏度为相对灵敏度，也称为归一化灵敏滤波器中常用的灵敏度为相对灵敏度，也称为归一化灵敏度。利用它，可根据元件参数的偏差直接确定响应偏差。对于度。利用它，可根据元件参数的偏差直接确定响应偏差。对于双二次函数，双二次函数，灵敏度及增益灵敏度是非常重要的性能指标。灵敏度及增益灵敏度是非常重要的性能指标。,Q52
