1、1第四节第四节 隐函数求导法隐函数求导法一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形20),(.1 yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy .隐函
2、数的求导公式隐函数的求导公式)(xyy?dxdy如何求如何求3:公式推导公式推导0),(yxF)(xyy 0)(,(xyxFFxyx求导求导0dxdyyFxFyxFFdxdy4例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确
3、定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 5函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y .1022 xdxyd6例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 7例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.:另解另解求导求导两边对两边对x222221yxyyx2211xyxyxy)
4、(dxdy.xyyx8隐函数存在定理隐函数存在定理 2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP ),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF 0)z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯的某一邻域内恒能唯一确一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .0),(.2 zyxF),(yxzz?,yzxz如何求如何求9:公式推导公式推
5、导,),(0zyxF),(yxzz,),(,(0yxzyxFFxyzxy求导求导将上式分别对将上式分别对yx,0 xzFFzxzxFFxz0yzFFzyzyFFyz10例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx :另解另解求偏导求偏导对对x0422xzxzzx,zxxz211.)2()2(322zxz 2)2(2)2(zzxxz 2)2()2(zxzxz )(xzxxz22)(zxx212例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：解解令令,zyxu
6、,xyzv 则则),(vufz 13把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvufxyffyzf把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv),(vufz ,zyxu ,xyzv 14整理得整理得,vuvufyzffxzfyx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvufxzffxyf),(vufz ,zyxu ,xyzv 15 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形),(),(yxvvyxuu?,yvxvyu
7、xu如何求如何求16:公式推导公式推导00),(),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu00),(),(,(),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF求偏导求偏导方程组对方程组对x00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvxu,求求偏偏导导方方程程组组对对yyvyu,17例例5 5 设设0 yvxu，1 xvyu，求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 18在在0 J的条
8、件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 196例例.,sindzduzyxzyxxyu求求且且10222:解解求导求导方程组对方程组对z022201zdzdyydzdxxdzdydzdx,yxzydzdxyxxzdzdydzdudzdyyfdzdxxfyxxzxyxyxzyxyycoscos20（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(
9、0),()3(vuyxGvuyxF三、小结练习与思考题练习与思考题记记)(),(zyzxzyxF ,则则zFx1，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .解：22222、设zyyxzln2解解:利用微分形式的不变性有zyyxddzlnln2xydx2dyyxxdyxdzz)1(2)11(2zzyxxz12)1(212dyyxxdyxzzdzzyxzyz1)1(2)1()1(2zyyxzdyyx)1(2dzz1yxzz,是由方程,.zzdzxy求所确定，2323)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定:又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此3、
