1、中考数学复习几何最值无锡市蠡园中学无锡市蠡园中学 王燕王燕古从军行古从军行片段片段野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河。白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮点出发，走到河边饮马后马后，再到，再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，
2、向他请教一个百理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题思不得其解的问题 将军每天从军营将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，地开会，应该怎样走才能使路程最短？应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为从此，这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题的问题广泛流传广泛流传 起源起源 在平面几何的动态问题中，当某几何在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求元素在给定条件变动时，求某几何量某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差
3、）角的度数以及它们的和与差）的最大值的最大值或最小值问题，或最小值问题，称为最值问题。称为最值问题。第一类：应用第一类：应用“垂线段最短垂线段最短”在在ABC中，中，ABAC5，BC6若点若点P在在边边AC上移动，则上移动，则BP的最小值是的最小值是 .ABABMNABMNMNMNABP第二类：第二类：“线段的和最小线段的和最小”如图，圆柱形玻璃杯高为如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为、底面周长为18cm，在杯外离杯底，在杯外离杯底4cm的点的点C处有一滴蜂蜜，处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与与蜂蜜相对的点蜂蜜相对的点A处，则蚂
4、蚁到达蜂蜜的最短距处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为离为 cm.如图，圆柱形玻璃杯高为如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为、底面周长为18cm，在杯内离杯底，在杯内离杯底4cm的点的点C处有一滴蜂蜜，处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与与蜂蜜相对的点蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为离为 cm.变式变式由轴对称的性质和三角形三边关系知由轴对称的性质和三角形三边关系知APPC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。由已知和矩形的性质，得由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=1在
5、在RtBCD中，由勾股定理得中，由勾股定理得.APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为蜜的最短距离为15cm.第三类：线段的第三类：线段的“差最大差最大”已知抛物线已知抛物线 ，设点，设点A(4,0),点点C(1,-3),请在抛物线的对称轴上确请在抛物线的对称轴上确定一点定一点D,使得使得 的值最大，则的值最大，则D点坐标为点坐标为 .xxy42CD-AD 点点A、均在由面积为均在由面积为1的相同小正方形组的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若如图所示若P是是x轴上使得轴上使得 的值最的值最大的点，大的
6、点，Q是是y轴上使得轴上使得QA十十QB的值最小的值最小的点，则的点，则OP OQ.PAPB连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A连接AB交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PAPB|的值最大的点。OP=3。作A点关于y轴的对称点A连接AB交y轴于点Q，则AB即为QA+QB的最小值。设过AB的直线为：y=kx+b，代入，解得。Q（0，），即OQ=。OPOQ=3 =5。353535第四类：综合应用第四类：综合应用（2个动点问题）个动点问题）在锐角三角形ABC中，BC=4，ABC=45，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC
7、上的动点，则CM+MN的最小值是 .22v如图所示，在边长为如图所示，在边长为2的正三角形的正三角形ABC中，中，E、F、G分别为分别为AB、AC、BC的中点，点的中点，点P为线为线段段EF上一个动点，连接上一个动点，连接BP、GP，则，则BPG的周长的最小值是的周长的最小值是 .v如图，如图，ABC中，中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段是线段BC上的一上的一个动点，以个动点，以AD为直径画为直径画 O分别交分别交AB，AC于于E，F，连接，连接EF，则线段，则线段EF长度的最小长度的最小值为值为 .v由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径OE最短时，EF最短。v在RtADB中，ABC=45，AB=2，vAD=BD=2，即此时圆的直径为2。v由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，v在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1 =。v由垂径定理可知EF=2EH=。323233
