1、第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限= （提示：令） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 (D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则 （ A ）（提示：在，处处连续；在，令，故在，函数亦连续.所以，在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）(A)必要而非充分条件 (
2、B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）(A) (B) (C) (D) 6、设，则 （ A ）（A） （B） （C） （D）7、设，则 （C）（A） （B） （C） （D）8、若，则= （ D ）(A) (B) (C) (D) 9、设，则 （ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B) (C) (D) 11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B) (C) (D) 12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) (B)(C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A）
3、（B） （C） （D）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A） （B）（C） （D）15、设函数，则点 是函数 的 （ B ）（A）极大值点但非最大值点 （B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点 （D）极小值点且是最小值点16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有 ，则（ C ）（A）点是函数的极大值点 （B）点是函数的极小值点（C）点非函数的极值点 （D）条件不够，无法判定17、函数在条件下的极大值是 （C ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题1、极限= _ .答：2、极限=_ .答：3、函数的定义域为 _ .答：4、函数的定义域为 _ .答：，5、设函数，则= _ .
4、答：6、设函数，则= _ .答：（）7、设，要使处处连续，则A= _ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= _ .答：19、函数的间断点是 .答：直线上的所有点10、函数的间断点为 _ .答：直线及11、设，则_ .答：3cos512、设，则= _ .答：113、设，则=_ .答：14、设，则在极坐标系下，= _ .答：015、设，则= _.答：16、设，则= _ .答：17、函数由所确定，则= _ .答：18、设函数由方程所确定，则= _ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，1）处的全微分= _ .答：20、曲线在点处的切线方程是_.答：21、曲线在对应于 点处的法平面方程是
5、_.答：22、曲面在点处的法线方程为_ .答：23、曲面在点处的切平面方程是_.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_ .答：（1，2）27、函数的驻点是_.答：（1，1）25、若函数在点 处取得极值，则常数_， _.答：0，426、函数在条件下的极大值是_答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) (2)(3) (4) 解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.故所求函数的定义域为,图形为图3.1(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.故该函数的定义域为，图形为图3.3 (4)要使函数有意义，必须有.
6、故该函数的定义域为，图形为图3.4 图3.1 图3.2 图3.3 图3.42、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求 .解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：8、求函数的极值.解：由，得驻点，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：10、设，求.解：11、设，求.解：，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为.则水池造价且令由
7、得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为和（件），总成本函数（元）.商品的限额为，求最小成本.解：约束条件为，构造拉格朗日函数，解方程组，得唯一驻点，由实际情况知，就是使总成本最小的点，最小成本为（元）. 3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产单位的产品甲与生产单位的产品乙的总费用是 元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数，令，解得唯一驻点（120，80）. 又因，得.得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设, 求证. 证明： 因为, , 所以 2、证明函数满足关系式证明：因为, , , , 所以. 3、设z=xy+xF(u), 而, F(u)为可导函数, 证明. 证明： =xy+xF(u)+xy=z+xy.
