1、第三节第三节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法本节要点本节要点 本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重要积分公式要积分公式分部积分公式分部积分公式 设函数设函数 具有连续的导函数具有连续的导函数,则由乘则由乘 ,uu x vv x,uvu vuv移项后移项后,两边积分得两边积分得:ddduvxuvxu v x分部积分公式分部积分公式d,uvu v x积的导数公式积的导数公式,有有 上式即称为不定积分的上式即称为不定积分的分部积分公式分部积分公式.注注1 分部积分法的关键是如何选择好分部积分法的关键是如何选择好 使得使得,u vdv
2、u2一般地一般地,可按反（三角函数）可按反（三角函数）,对（数函数）三（角对（数函数）三（角du v比比 容易求得容易求得.u函数）函数）,指（数函数）的顺序来选择指（数函数）的顺序来选择 常见积分及相应规则如下常见积分及相应规则如下:e d,cos d,sin d,nxnnxxxx xxx xln d,arcsin d,arctan d,nnnxx xxx xxx x将指数函数或三角函数视为将指数函数或三角函数视为 交换后对幂函数求导交换后对幂函数求导;,v将幂函数视为将幂函数视为 交换后对对数函数或反三角函数求导交换后对对数函数或反三角函数求导.,v例例1 求积分求积分cos d.xx x
3、解解 取取,dcos d,ux v xx xcos dxx xsindsinsin dxxxxxx xsincos.xxxC则则 注意到注意到,若选择错误的话若选择错误的话,则积分后为则积分后为:cos dxx x21cos d2xx x2211cossin d,22xxxx x此时经过分部积分后此时经过分部积分后,积分表达式比原积分式更为复杂积分表达式比原积分式更为复杂,此说明前面的选择错误此说明前面的选择错误.思考思考:问题的原因是什么问题的原因是什么?例例2 求积分求积分 2e d.xxx2e dxxx解解2e2ee dxxxxxx22deee2 dxxxxxx x2 2e2dexxx2
4、e2 e2e.xxxxxC注注 一般还可用下面方法求一般还可用下面方法求 其中（其中（ed,xnPxx()nP x 设设 其中其中 为待定为待定 e de,xxnnP xxQxC()nQ x系数的与系数的与 同次多项式同次多项式,在在()nP x e de,xxnnP xxQxC两边求导，得两边求导，得 eee,xxxnnnP xQxQx ,nnnP xQxQx比较系数即得比较系数即得().nQ x即即:为多项式）形式的不定积分为多项式）形式的不定积分:例例3 求积分求积分4ln d.xx x解解 451ln dlnd5xx xx xx5511ln.525xxxC5511lnd5xxxxx 注
5、意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.例例4 求积分求积分 及积分及积分2lndxxx22lnd.xxx解解 2lndxxx换元换元231lndlnln.3xxxC22lndxxx分部分部21lndxxx221lnln2dxxxxx 22111ln2ln2dxxxxxx 2111ln2ln2.xxCxxx 例例5 求积分求积分arctan d.xx x解解 arctan dxx x22111d21xxx21arctan d12xx2111 arctan.22xxxC211 arctan2xx例例6 求积分求积分arcsin d.x x解解
6、arcsin dx x221arcsind 12 1xxxx2arcsin1.xxxC21arcsind1xxxxx例例7 求积分求积分arcsin d.xx x解解 arcsin dxx x2221arcsind221xxxxx而而22d1xxx11sin cos22tttC2sind t tsinxt211arcsin1,22xxxC代入到上面的积分代入到上面的积分,有有arcsin dxx x2arcsin2xx211arcsin1.44xxxC例例8 求积分求积分e sin d.xx x解解 e sin dsin dexxx xx将等式右端的积分式移到等式的左边将等式右端的积分式移到等
7、式的左边,即得即得1e sin desincos.2xxx xxxCe sine cos dxxxx xe sincos dexxxxe sine cose sin d.xxxxxx x用此方法用此方法,还可求出形如还可求出形如e sind,e cosdaxaxbx xbx x221esine sind,esinaxaxaxbxbx xCabbx221ecose cosd.ecosaxaxaxbxbx xCabbx的积分的积分.例例9 求积分求积分3secd.x x解解 3sec dsec dtanx xxx31secdsec tanln sectan.2x xxxxxC2sec tansec
8、sec1 dxxxxx3sec tansecdsec dsec tanxxx xx xxx3ln sectansecd.xxx xsec tantansec tan dxxxxx x例例10 求积分求积分sinln d.x x解解 sinln dsinln dx xxx x1sinlncoslndxxxxxx sinlncosln dxxxx xsinlncoslnsinln d,xxxxx x移项后得移项后得:1sinln dsinlncosln.2x xxxxxC 在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分例例11 求积分求积分e d.xx
9、解解 作代换作代换 则，则，,tx2,d2 d,xtxt ted2e dxtxtt 例例11说明在不定积分的计算过程中说明在不定积分的计算过程中,换元法与分部积换元法与分部积法法.分法同时在使用分法同时在使用.2e12e1.txtCxC例例12 求积分求积分sin23 d.x x解解 令令223dd.3xtxt t 2sin23 dsind3x xtt t22coscos dsincos33ttt ttttC2sin2323 cos23.3xxxC则原积分为则原积分为例例13 求积分求积分22ln1d.xxx解解 2222ln1dln1xxxxxx222ln1d1xxxxx222 1ln12.xxxxC22ln1xxx
