1、一、选择题1已知函数，下列结论正确的是（ ）A函数图象过点B函数图象与轴无交点C当时， 随的增大而减小D当时， 随的增大而减小2二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：ac0；b0；4acb20；当x1时，y随x的增大而减小其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个3已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1x3时，函数有最小值2h，则h的值为（ ）AB或2C或6D或2或64已知抛物线的顶点M关于坐标原点O的对称点为，若点在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）ABCD5如图为二次函数的图象，与轴交点为，则下列说法正确的有（ ）当时，ABCD6下列各图象中有可能是函数的图象（
2、 ）ABCD7如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：；关于x的一元二次方程的根是-1，3；y最大值；其中正确的有（ ）个A4B3C2D18函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）ABCD9已知二次函数的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）AB方程的两根是CD当x0时，y随x的增大而减小10已知二次函数，当时，该函数取最大值9设该函数图象与 轴的一个交点的横坐标为，若则a的取值范围是（ ）ABCD11二次函数的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）ABCD12对于二次函数，下列说法正确的是（ ）A图象开口向上B对称轴是直线C当时，y随x的增大而减
3、小D当时，y随x的增大而减小二、填空题13已知抛物线的部分图象如图所示，当时，的取值范围是_14已知抛物线yx2+9的最小值是y_15二次函数自变量x与函数值y之间有下列关系：那么的值为_x0y316已知二次函数的顶点在y轴上，则其顶点坐标为_17二次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表：0333当时，下列结论中一定正确的是_（填序号即可）；若点，在该拋物线上，则； ；对于任意实数，总有18抛物线yx2+2x-3与x轴的交点坐标为_19已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为其图象如图所示，下列结论：；当时，；当时，随的增大而减小；其中正确的有_（只填序号）20定义：在平面直角
4、坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是_三、解答题21如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由22如图，中，点由出发向点移动，点由出发向点移动，两点同时出发，速度均为，运动时间为秒（1）几秒时的面积为4？（2）是否存在的值，使的面积为5？若存在，求这个值，
5、若不存在，说明理由（3）几秒时的面积最大，最大面积是多少？23已知关于x的方程(k-1)x2+（2k-1）x+20（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y(k-1)x2+（2k-1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围（3）已知抛物线y(k-1)x2+（2k-1）x+2恒过定点，求出定点坐标24如图，四边形的两条对角线、互相垂直，当、的长是多少时，四边形的面积最大？25某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场
6、调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？26如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，连接，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点在直线上方时，过点作轴于点，交直线于点若，求的面积；抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案【参考答案】*试卷处理标记，请不要删
7、除一、选择题1D解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可【详解】解：A、当x=-1时，=1+21=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误；B、=（2）241（1）=80，函数图象与x轴有两个交点，故此选项错误；C、=（x1）22，且10，当x1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；D、当x1,时，y随x的增大而减小，此选项正确，故选：D【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键2B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详
8、解】解：由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，a0；又二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，c0；ac0，即正确；由图象知，对称轴x1，则b2a0故正确；由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b24ac0，故正确；由图象可知当x1时，y随x的增大而增大；故错误综上所述，正确的结论是：故选：B【点睛】此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴3C解析：C【分析】依据二次函数的增减性分1h3、h1、h3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得【详解】中a=10，当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大；若1h3
9、，则当x=h时，函数取得最小值2h，即3=2h，解得：h= ；若h1，则在1x3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即，解得：h=21（舍去）；若h3，则在1x3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即，解得：h=2（舍）或h=6，综上，h的值为或6，故选C【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键4C解析：C【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可【详解】解：，点M为（m，），点M的坐标为（，），解得：；，；点M的坐标为：（3，）故选：C【点睛】本题主要考查的是二次
10、函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M的坐标是解题的关键5C解析：C【分析】由开口方向可判断；由对称轴为直线x=1可判断；由x=1时y0可判断；由时，函数图像位于x轴上方可判断【详解】解：抛物线的开口向下a0，故错误；抛物线的对称轴x=1b=-2a，即2a+b=0，故正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c0，故正确；由图像可知，当时，函数图像位于x轴上方，即y0，故正确；故选C【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用6B解析：B【分析】从和两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的
11、答案【详解】解：当时，开口向上，顶点在轴的正半轴；当时，开口向下，顶点在轴的负半轴，故选：【点睛】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键7C解析：C【分析】利用抛物线开口方向得到a0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c0，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a得到c=-3a，则可对进行判断【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线
12、x=1，b=-2a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1，3，所以正确；当x=-1时，y=0，a-b+c=0，而b=-2a，a+2a+c=0，即c=-3a，a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c，所以正确；a+4b-2c=a-8a+6a=-a，所以错误；故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数
13、b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数由判别式确定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点8C解析：C【分析】分a0与a0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论【详解】解：当a0时，二次函数y=ax2-a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y=ax-a(a0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；当a
14、0时，二次函数y=ax2-a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y=ax-a(a0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点对照四个选项可知C正确故选：C【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键9B解析：B【解析】解：A、抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，a0，c0，ac0，故本选项错误；B、抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C、抛物线对称轴为，b=-2a，2a+b=0
15、，故本选项错误；D、抛物线对称轴为x=1，开口向下，当x1时，y随x的增大而减小，故本选项错误故选B根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断10C解析：C【分析】根据二次函数，当时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到，再根据该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，可知，当时，即可得到的取值范围，本题得以解决【详解】解：二次函数，当时，该函数取最大值9，该函数解析式可以写成，设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，当时，即，解得，的取值范围时，故选：C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
16、答11C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】A因为抛物线的开口向下，则a0，所以b0，故A错误；B抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c0，故B错误；C抛物线与x轴一个交点为（1，0），则x=1时，故C正确；D抛物线与x轴有两个交点，则，故D错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键.12C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案【详解】解：，a0，抛物
17、线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，A、B、D都不正确，C正确，故选：C【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）二、填空题13【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x轴的另一个交点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x轴的一个交点坐标为则其与x轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：【点睛】本题解析：【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得【详解】由图象可知，抛物线的
18、对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，则其与x轴的另一个交点坐标为，结合图象得：当时，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键149【分析】直接利用二次函数的最值问题求解【详解】解：yx2+9当x0时y有最小值最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a（x-k）2+h当a0时x=ky有解析：9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解【详解】解：yx2+9，当x0时，y有最小值，最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a（x-k）2+h，当a0时，x=k，y有最小值h；当a0时，x
19、=k，y有最大值h156【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x1则1所以2再利用x3和x1对应的函数值相等得到abc3然后利用整体代入的方法计算（abc）的值【详解】解：抛物线解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x1，则1，所以2，再利用x3和x1对应的函数值相等得到abc3，然后利用整体代入的方法计算（abc）的值【详解】解：抛物线经过点（2，1.68），（0，1.68），抛物线的对称轴为直线x1，即1，2，x3和x1对应的函数值相等，x3时，y3，x1时，y3，即abc3，（abc）236故答案为：6【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数
20、图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质16【分析】先根据二次函数的顶点在y轴上可得其对称轴为y轴从而求出m的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y轴上此二次函数的对称轴为y轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案解析：【分析】先根据二次函数的顶点在y轴上可得其对称轴为y轴，从而求出m的值，再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y轴上，此二次函数的对称轴为y轴，即，解得，二次函数的解析式为，其顶点坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键17【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为
21、直线x=然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【详解】解：由图表知当x=0时y=3当x=3时y=3对称轴为且异号故正确；对称轴为解析：【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【详解】解：由图表知，当x=0时，y=3，当x=3时，y=3对称轴为，且，异号，故正确；对称轴为，且当时，将代入中得，又又异号，的图象开口向下，故正确；，故错误；当时，y有最大值，最大值为对任意实数t，总有，故正确，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度熟练掌握二次函数图象的性质
22、是解题的关键18【分析】要求抛物线与x轴的交点即令y0解方程即可【详解】令y0则x2+2x30解得x13x21则抛物线yx2+2x3与x轴的交点坐标是（30）（10）故答案为：（30）（10）解析：【分析】要求抛物线与x轴的交点，即令y0，解方程即可【详解】令y0，则x2+2x30，解得x13，x21则抛物线yx2+2x3与x轴的交点坐标是（3，0），（1，0）故答案为：（3，0），（1，0）【点睛】此题考察二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即为二次函数图像与x轴交点的横坐标19【分析】根据开口向上故；对称轴再y轴的的左边根据同左异右故抛物线交y轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x轴
23、的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：【分析】根据开口向上，故 ；对称轴再y轴的的左边，根据“同左异右”，故 ,抛物线交y轴的下方；对称轴为，故有 即，抛物线与x轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为等信息，利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上，故 ；对称轴再y轴的的左边，根据“同左异右”，故 ,抛物线交y轴的下方，故 ，因此正确对称轴为，故有 即 故也正确由抛物线知道，抛物线与x轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为 当当时，图形上是在x轴的上方，有或者 故错误当x=1是，由图可以知道 即 由，便有故错误由图形可以知道当时
24、，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故错误故答案为【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，201a2【分析】画出图象找到该抛物线在MN之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y交点位置可得a的取值范围【详解】解：抛物线yax22axa2（a0）化为顶点解析：1a2【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围【详解】解：抛物线yax22axa2（a0）化为顶点式为ya（x1）22，函数的对称轴：x1，顶点坐标为（1，2），M和N两点关于x1对称，根据题意，抛物线在M
25、、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：当x0时，ya2，1a20，当x1时，y4a20，即：，解得1a2，故答案为：1a2【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键三、解答题21（1）；（2）存在，M（1，2）【分析】（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入yax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC与直线x1的交点就是要求的点M，求出直线BC的关系式即可【详解】
26、解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入yax2+bx+c得，解得，抛物线的关系式为；（2）抛物线的对称轴为，点M在对称轴x1上，且ACM的周长最短，MC+MA最小，点A、点B关于直线x1对称，连接BC交直线x1于点M，此时MC+MA最小，设直BC的关系式为ykx+b，B（3，0），C（0，3），解得，直线BC的关系式为，当x1时，点M（1，2），在抛物线的对称轴上存在一点M，使得ACM的周长最短，此时M（1，2）【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题22（1）2s或4s；（2）不存在，证明见解析；（3）3秒，【分析
27、】（1）根据题意，利用t表示个线段长度，根据面积为4可列出方程求解（2）利用第一问中的面积的表示方法，使其等于5，根据判别式判断方程是否有解（3）利用求得的的面积的表示的二次函数解析式，求出二次函数的最大值，符合题意即为所求最大面积【详解】解：（1）由题意得：，2s或4s后的面积为4（2），方程无解，故的面积不能为5（3），当时，【点睛】本题考查的是一元二次方程以及二次函数的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况23（1）证明见解析；（2）a1或a4；（3）（0，2）、（2，0）【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况当该方程为一元二次方程时，根的判别式
28、0，方程总有实数根；（2）通过解(k-1)x2+（2k-1）x+20得到k2，由此得到该抛物线解析式为yx2+3x+2，结合图象回答问题（3）根据题意得到(k-1)x2+（2k-1）x+2y0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标【详解】（1）证明：当k1时，方程为x+20，所以x2，方程有实数根，当k1时，（2k-1）24x(k-1)24k2-12k+9=(2k-3)20，即0，无论k取任何实数时，方程总有实数根（2）解：令y0，则(k-1)x2+（2k-1）x+20，（x-2）(k-1)x+1=0解关于x的一元二次方程，得x12，x2，二次函数的图象与x轴两个交点的
29、横坐标均为整数，且k为正整数，1-k-1，k=2该抛物线解析式为yx2+3x+2，由图象得到：当y1y2时，a1或a4（3）依题意得(k-1)x2+（2k-1）x+2y0恒成立，即k（x2+2x）-x2-xy+20恒成立，得：x2+2x=0；x1=0，y1=2；x2=-2，y2=0所以该抛物线恒过定点（0，2）、（2，0）【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论24当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值即可【详解】解：设AC=x，四边形ABC
30、D面积为S，则BD=10-x，则：，当x=5时，S最大=，所以当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大【点睛】本题考查二次函数的应用理解对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半是解题关键25（1）这种衬衫定价为70元；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元【分析】（1）根据“总利润=每件商品的利润销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（2）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.【详解】解：（1），解得，尽量给客户优惠，这种衬衫定价为70元；（2）由题意可得，该
31、衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，解得，当时，取得最大值，此时，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元，【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答.26（1）；（2）；，【分析】（1）将A（-1,0），B（3，0）代入y=-x2+bx+c，可求出答案；（2）先求出点C的坐标，进而可求得直线BC的函数关系式，再设，进而可表示出点E的坐标为，再根据PD=3ED列出方程求解即可；设点P的坐标为，根据PB=PC可得PB2=PC2，进而可列出方程求解即可【详解】（1）抛物线经过点，
32、解得抛物线解析式为（2）在中，当时，设直线的解析式为，则，直线的解析式为，若，则，设，则，即，解得，（舍）当时，则，假设存在点P，使是以为底边的等腰三角形，设点P的坐标为，是以为底边的等腰三角形，PB=PC，PB2=PC2，B（3，0），C（0，3），（m-3）2+（-m2+2m+3）2=m2+(-m2+2m+3-3)2整理得m2-m-3=0，解得m1=，m2=，当m=时，-m2+2m+3=，点P的坐标为（，），当m=时，-m2+2m+3=，点P的坐标为（，），综上所述：抛物线上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，此时点P的坐标为，【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法解题的关键
