1、2016届福建省闽清高级中学高二学年第一学期期中考试数学（文科）试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知z为复数，（1i）2z=（1+i）3（i为虚数单位），则=( )A1+i B1+i C1i D1iB考点：复数代数形式的乘除运算 专题：函数思想；数系的扩充和复数分析：设z=a+bi，利用向量相等，列出方程组，求出a、b的值即可解答： 解：设z=a+bi，a、bR，（1i）2（a+bi）=（1+i）3，即2i（a+bi）=2i（1+i），abi=1+i，即，解得a=1，b=1，z=1i，=1+i故选：B点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数相等的应用问题，也考查了复数的代数
2、运算问题，是基础题目2有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中( )A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确考点：演绎推理的基本方法 专题：计算题；推理和证明分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论解答：解：大前提是：“
3、对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论3如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为( )Aa1+x0（a3+x0（a0+a2x0）的值Ba3+x0（a2+x0（a1+a0x0）的值Ca0+x0（a1
4、+x0（a2+a3x0）的值Da2+x0（a0+x0（a3+a1x0）的值考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解解答：解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0），故选：C点评：本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题4已知条件p：x1，条件q：，则p是q的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：充要条件 专题：计算题分析：由题意条件p：x1，写出其p中x的范围，将
5、条件q：，由分式不等式的解法解出x的范围，然后判断p是q之间能否互推，从而进行判断；解答：解：条件p：x1，p：x1；条件q：，0，解得x1或x0，x1x1或x0，反之则不能；pq，q推不出p，p是q的充分而不必要条件，故选A点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出p和q，各自x的范围5用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )Aa，b都能被3整除Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除Da不能被3整除考点：反证法与放缩法 专题：综合题分析：“a，b中至少有一个能被3整除”的
6、反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除解答：解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B点评：本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立6已知ab|a|，则( )ABab1C1Da2b2考点：不等关系与不等式 分析：利用赋值法，排除错误选项，从而确定正确答案解答：解：ab|a|，a0，b的正负不确定；若b=0，可排除A，C；若b=1，a=2，则ab=21，故C错误；无论b0还是b0，b=0，D均成立故选D点评：利用赋值法排除错误选项，可以有效地简化解题过程7已
7、知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体得体积是( )cm2ABC2D4考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=22=4，高h=2，故几何体的体积V=Sh=，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为=3x，则m的值( )x0123
8、y11m8A4BC5D6考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=3x，代入样本中心点求出该数据的值解答：解：由表中数据得：=，=，由于由最小二乘法求得回归方程=3x，将=，=代入回归直线方程，得m=4故选：A点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键9在区间3，3上任取一个数a，则圆C1：x2+y2+4x5=0与圆C2：（xa）2+y2=1有公共点的概率为( )ABCD考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：利用圆C1：x2+y2+4x5=0与圆C2：（xa）2+y2=
9、1有公共点，可得0a2或6a4，结合在区间3，3上任取一个数a，即可求出概率解答：解：圆C1：x2+y2+4x5=0可化为（x+2）2+y2=9，圆心为（2，0），半径为3，圆C2：（xa）2+y2=1，圆心为（a，0），半径为1，圆C1：x2+y2+4x5=0与圆C2：（xa）2+y2=1有公共点，2|a+2|4，0a2或6a4，在区间3，3上任取一个数a，0a2，所求概率为=故选：B点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及圆与圆有公共点的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题10使不等式成立的正整数a的最大值是( )A10B11C12D13考点：不等式比较大小 专题：
10、不等式的解法及应用分析：本题利用两边平方法比较大小，然后找到最大值解答：解：a=12+2（）13故不等式成立的正整数a的最大值是12故选：C点评：本题主要考查了比较大小的常用方法，两边平方法，属于基础题11设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r=( )ABCD考点：类比推理 专题：探究型分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方
11、法类比求四面体的体积即可解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R=故选C点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）12函数f（x）的导函数为f（x）且2f（x）xf（x）3f（x）对x（0，+）恒成立，若0ab，则( )Ab2f（a）a2f（b），b3f（a）a3f（b）Bb2f（a）a2f（b），b3f（a）a
12、3f（b）Cb2f（a）a2f（b），b3f（a）a3f（b）Db2f（a）a2f（b），b3f（a）a3f（b）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：令g（x）=，通过求导得函数g（x）在（0，+）上单调递增，求出g（a）g（b），令h（x）=，通过求导得函数h（x）在（0，+）单调递减，求出h（a）h（b），从而得到答案解答：解：令g（x）=，则g（x）=，2f（x）xf（x），g（x）0，函数g（x）在（0，+）上单调递增，g（a）g（b），即，b2f（a）a2f（b）；令h（x）=，则h（x）=，xf（x）3f（x），h（x）0，函数h（x）在（0，+）单调递减，h
13、（a）h（b），即：，b3f（a）a3f（b），故选：A点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系属基础题解答的关键是先得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性本题的难点在于构造出合适的函数，题后应总结一下，为什么这样构造合理二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13定义运算xy，若|m1|m=|m1|，则m的取值范围是 m考点：绝对值不等式 专题：计算题；新定义分析：由题意知，|m1|m的结果是取|m1|和m中的较小者，故得到|m1|和m的不等关系，最后解此绝对值不等式即得m的取值范围解答：解：由题意得：|m1|m，m0，式平方得：m22m+1m2，即：m故
14、答案为：m点评：本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题14正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第6个等式中考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为21，2（1+3），2（1+3+5），即可得出结论解答：解：2+4=6； 8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，其规律为：各等式首项分别为21，2（1+3），2（1+3+5），所以第n个等式的
15、首项为21+3+（2n1）=2=2n2，当n=6时，等式的首项为236=72，所以72在第6个等式中，故答案为：6点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题15已知a，b都是正实数，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：函数y=2aex+b的图象过点（0，1），1=2a+b，a0，b0=3+=，当且仅当，b=时取等号故答案为点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键16已知an满足a1=1
16、，an+an+1=（）n（nN*），Sn=a1+a23+a332+an3n1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4Sn3nan=n考点：类比推理 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先对Sn=a1+a23+a332+an4n1 两边同乘以3，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出4Sn3nan的表达式解答：解：由Sn=a1+a23+a332+an3n1 得3Sn=3a1+a232+a333+an13n1+an3n +得：4Sn=a1+3（a1+a2）+32（a2+a3）+3n1（an1+an）+an3n=a1+3+32（）2+3n1（）n1+3nan=1+1+1+1+3nan=
17、n+3nan所以4Sn3nan=n，故答案为：n点评：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握三、解答题（共6小题，满分70分）17已知复数z=（1）若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1（2）若复数z2=a+bi（a，bR）满足z2+az+b=1i，求z2的共轭复数考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：首先进行复数的化简，然后根据要求解答解答：解：由已知复数z=1+i；所以（1）若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1=1+i；（2）若复数z2=a+b
18、i（a，bR）满足z2+ax+b=1i，所以（1+i）2+a（1+i）+b=1i，整理得a+b+（2+a）i=1i，所以a+b=1并且2+a=1，解得a=3，b=4，所以复数z2=3+4i，所以z2的共轭复数34i点评：本题考查了复数的混合运算以及复数的几何意义、共轭复数；关键是正确化简复数z18设函数f（x）=|2x+1|，g（x）=2|x|+a+2（1）解不等式f（x）2（2）若存在实数x，使得f（x）g（x），求实数a的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（1）不等式f（x）2，即|2x+1|2，由此求得不等式的解集（2）由题意可得存在实数x，使得|x+|x|
19、1+ 成立，再根据绝对值的意义可得|x+|x|的最小值为，故有1+，由此求得a的范围解答：解：（1）不等式f（x）2，即|2x+1|2，即22x+12，求得x，故不等式的解集为（，）（2）由题意可得f（x）g（x），即|x+|x|1+，而|x+|x|表示数轴上的x对应点到对应点的距离减去它到原点的距离，它的最小值为，再根据存在实数x，使得f（x）g（x），故有1+，求得 a3点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题19在中学综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校2014-2015学年高二年
20、级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生等级优秀合格尚待改进频数15x5表2：女生等级优秀合格尚待改进频数153y（1）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边22列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=临界值表P（K2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879考点：独立性检验的应
21、用 专题：应用题；概率与统计分析：（1）根据分层抽样，求出x与y，得到表2中非优秀学生共5人，从这5人中任选2人的所有可能结果共10种，其中恰有1人测评等级为合格的情况共6种，可得概率；（2）根据P（K22.706）=1.1252.706，判断出没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”解答：解：（1）设从2014-2015学年高一年级男生中抽出m人，则，m=25x=25155=5，y=2018=2表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（
22、b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种，记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），共6种，P（C）=，故所求概率为；（2）22列联表 男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045P（K22.706）=1.1252.706没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”点评：本题考查了古典概率模型的概率公式，独立性检验，考查学生的计算能力，属于中档题20某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些
23、图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形（1）求f（6）的值（2）求出f（n）的表达式（3）求证：1+考点：数列的应用；归纳推理 专题：点列、递归数列与数学归纳法；推理和证明分析：（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，即可求出f（5）；（2）总结一般性的规律，可知f（n+1）f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；（3）根据通项特点，利用裂项法求和，结合数列的单调性即可得证解答：解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+
24、12=25，f（5）=1+4+8+12+16=41f（6）=1+4+8+12+16+20=61；（2）f（2）f（1）=4=41，f（3）f（2）=8=42，f（4）f（3）=12=43，f（5）f（4）=16=44，由上式规律得出f（n+1）f（n）=4nf（n）f（n1）=4（n1），f（n1）f（n2）=4（n2），f（n2）f（n3）=4（n3），f（2）f（1）=41，f（n）f（1）=4（n1）+（n2）+2+1=2（n1）n，f（n）=2n22n+1；（3）证明：当n2时，=（），+=1+（1+）=1+（1）=n=1时，上式也成立由于g（n）=为递增数列，即有g（n）g（1）=1
25、，且g（n），则1+成立点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，同时考查了裂项法求数列的和，属于中档题21已知函数f（x）=x2+x2+ax+b，g（x）=x3+x2+lnx+b，（a，b为常数）（1）若g（x）在x=1处切线过点（0， 5），求b的值（2）令F（x）=f（x）g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）由求导公式和法则求g（x），利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程
26、，把x=1代入求出切点坐标，代入g（x）求出b的值；（2）求函数F（x）以及定义域，求出F（x），利用导数和极值之间的关系将条件转化：F（x）=0在（0，+）上有根，即即2x2ax+1=0在（0，+）上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围解答：解：（1）由题意得，g（x）在x=1处切线的斜率k=g（1）=11，在x=1处切线过点（0，5），g（x）在x=1处切线方程是：y+5=11x，即y=11x5，当x=1时，y=6，则切点的坐标是（1，6），代入g（x）得，6=1+b，解得b=；（2）由条件得，F（x）=axx2lnx，且x（0，+），则F（x
27、）=a2x=，函数F（x）存在极值，F（x）=0在（0，+）上有根，即2x2ax+1=0在（0，+）上有根，=a280，显然当=0时，F（x）无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根记方程2x2ax+1=0的两根为x1，x2，则，且F（x1），F（x2）是函数F（x）的两个极值，由题意得，F（x1）+F（x2）=a（x1+x2）（lnx1+lnx2）=5ln，化简解得，a216，满足0，又，即a0，所求a的取值范围是（4，+）点评：本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大、难度大22已知椭圆C：+=1（ab0）的
28、离心率e=，且经过点A（1，0），直线l交C于M、N两点（1）求椭圆C的方程（2）若AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，且经过点A（1，0），求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直线l的方程解答：解：（1）由题意，b=1，=1e2=，a=2，椭圆C的方程为=1；（2）设l：x=my+n，代入椭圆方程可得（4m2+1）y2+8mny+4n24=0，=16（4m2n2+1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，AMAN，（x11）（x21）+y1y2=0，（m2+1）y1y2+m（n1）（y1+y2）+（n1）2=0，（m2+1）+m（n1）（）+（n1）2=0n=或1（舍去）MN的中点（，）AM=AN，=m，n=，m=0或m2=，此时0，从而直线l的方程为x=或x=y点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
