1、（专题精选）初中数学二次函数难题汇编及答案一、选择题1已知二次函数yax2+bx+c(a0)经过点M(1，2)和点N(1，2)，则下列说法错误的是()Aa+c0B无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2C当函数在x时，y随x的增大而减小D当1mn0时，m+n【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可【详解】解：函数经过点M(1，2)和点N(1，2)，ab+c2，a+b+c2，a+c0，b2，A正确；ca，b2，yax22xa，4+4a20，无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，x1+x2，x1x21，|x1x2|22，
2、B正确；二次函数yax2+bx+c(a0)的对称轴x，当a0时，不能判定x时，y随x的增大而减小；C错误；1mn0，a0，m+n0，0，m+n；D正确，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键2对于二次函数，下列说法正确的个数是（）对于任何满足条件的，该二次函数的图象都经过点和两点；若该函数图象的对称轴为直线，则必有；当时，随的增大而增大；若，是函数图象上的两点，如果总成立，则A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可【详解】对于当时，则二次函数的图象都经过点当时，则二次函数的图象都经过点则说法
3、正确此二次函数的对称轴为，则说法错误由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小因则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小即说法错误由总成立得，其对称轴解得，则说法正确综上，说法正确的个数是2个故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键3如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：4a2b+c0；3a+b0；b24a（cn）；一元二次方程ax2+bx+cn1有两个互异实根其中正确结论的
4、个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可【详解】抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在点（2，0）和（1，0）之间，当x2时，y0，即4a2b+c0，所以不符合题意；抛物线的对称轴为直线x1，即b2a，3a+b3a2aa0,故错误;当x=-1时，y0,即a-b+c0， 故正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而
5、减小，故错误故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数由判别式确定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点10抛物线yax2+bx+c的顶点为(1，3)，与x轴的交点A在点(3，0)和(2，0)之间，其部分图象如图，则以
6、下结论，其中正确结论的个数为()若点P(3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则mn；ca+3；a+b+c0；方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】试题分析：由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac0，所以错误；由抛物线的顶点为D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y0，即a+b+c0，所以正确；由抛物线的顶点为D（-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=-1，可得b=2a，因此
7、a-2a+c=2，即c-a=2，所以正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以正确故选C考点：二次函数的图像与性质11在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）Aa2BaC1a或a2D2a【答案】C【解析】【分析】分a0，a0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围【详解】抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，令ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时
8、，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2故选：C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键12如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4xx2刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画，下列结论错误的是( )A斜坡的坡度为1: 2B小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为7米D当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断、；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出当时
9、，的值，判定【详解】解：，解得，7=12，A正确；小球落地点距点水平距离为7米，C正确；，则抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当时，整理得，解得，当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键13若A（4，），B（3，），C（1，）为二次函数y=x2+4xm的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可【详解】解：y1=（-4）2+4（-4
10、）=16-16 =，y2=（-3）2+4（-3） =9-12 =，y3=12+4 1=1+4 =5，-35，y2y1y3故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响14二次函数y=x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程x2+mxt=0（t为实数）在1x5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）At5B5t3C3t4D5t4【答案】D【解析】【分析】先根据对称轴x=2求得m的值，然后求得x=1和x=5时y的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t在直线y=5和直线y=4之间包括直线y=4【详解】抛物线的对称轴为x2，m=4
11、如图，关于x的一元二次方程x2+mxt=0的解就是抛物线y=x2+mx与直线y=t的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=5，由图象可知关于x的一元二次方程x2+mxt=0（t为实数）在1x5的范围内有解，则直线y=t在直线y=5和直线y=4之间包括直线y=4，5t4故选：D【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴(或某直线)有交点15已知抛物线与直线有两个不同的交点下列结论：；当时，有最小值；方程有两个不等实根；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则；其中正确的结论的个数是（ ）A4B3C2D1【答案】B【解析】【分析】
12、根据“抛物线与直线有两个不同的交点”即可判断；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断【详解】解：抛物线与直线有两个不同的交点，有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故正确，解得：，故正确；抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，当x=1时，为最小值，故正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c，两交点的横坐标分别为1-（4-c）=c-3与1+（4-c）=5-c两交点
13、坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入中得：解得：或，故错误，正确的有，故选：B【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系16已知抛物线y=x2+2x上三点A（5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值
14、大小可确定.【详解】抛物线y=x2+2x，x=-1，而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），B离对称轴最近，A次之，C最远，y2y1y3故选:C【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键17已知抛物线y=x2-2mx-4（m0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A（1，-5）B（3，-13）C（2，-8）D（4，-20）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：，点M（m，m24），点M（m，m2+4），m2+2m24=m2+4解得m=2m0，m=2，M（2，8）故选C【
15、点睛】本题考查二次函数的性质18下列函数（1）y=x （2）y=2x1 （3）y= （4）y=23x （5）y=x21中，是一次函数的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可【详解】解：（1）y=x是一次函数，符合题意；（2）y=2x1是一次函数，符合题意；（3）y= 是反比例函数，不符合题意；（4）y=23x是一次函数，符合题意；（5）y=x21是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个故选：B【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键19在平面直角坐标系中，点的坐标为，将抛物线沿
16、坐标轴平移一次，使其经过点，则平移的最短距离为（ ）AB1C5D【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项【详解】解：=，当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=，平移的最短距离为，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键20平移抛物线y（x1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A向左平移1个单位B向上平移3个单位C向右
17、平移3个单位D向下平移3个单位【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y（x1）（x+3）=-（x+1）2+4A、向左平移1个单位后的解析式为：y-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.
