1、17.117.1勾股定理（勾股定理（1 1）勾股定理有着悠久的勾股定理有着悠久的历史，几乎所有具有古代历史，几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾文化的民族和国家都对勾股定理有所了解，它来源股定理有所了解，它来源于人们生产实践之中，对于人们生产实践之中，对人类发展起着十分重要的人类发展起着十分重要的作用。作用。我国著名数学家华罗庚曾建议我国著名数学家华罗庚曾建议“发射发射”一种勾股一种勾股定理的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定定理的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定会认识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。会认识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。勾股定理勾股定理 外
2、星人外星人 同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受。你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！勾股树活动活动2 2、探索勾股定理探索勾股定理ABCA、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SC等腰直角三角形三边有什么关等腰直角三角形三边有什么关系？系？两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方数学家毕达哥拉斯的故事数学家毕达哥拉斯的故事ABCABC A、B、C面积关系面积关系 A的面积（单位面积）B的面积（单位面
3、积）C的面积（单位面积）图1-1图1-291625163652图图11图图12sA+sB=sC探究探究：你会求出下列图形的面积吗？：你会求出下列图形的面积吗？那么对于那么对于一般一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？的直角三角形是否也有这样的性质呢？ABCSA=a2SB=b2SC=c2abcc2=a2+b2 命题命题1 1 如果直角三角形的两条如果直角三角形的两条直角边长分别为直角边长分别为a,ba,b，斜边长为，斜边长为c c，那么那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.abc勾勾股股弦弦 在准备好的方格纸上，分别画三个顶点在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为都
4、在格点上且两直角边分别为6 6和和8,58,5和和12,912,9和和1212的直角三角形的直角三角形,并测量出这三个直角三角并测量出这三个直角三角形的斜边长形的斜边长,然后验证你的猜想！然后验证你的猜想！a b c1 6 82 5123 912151310？，cba何给出一般说明呢那么又该如样的关系这可见存在2222c22ba 225100169225169100(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2421ab=a2+b2=c2可得可得：a2+b22ab=c22abbCa证法一证法一1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边、
5、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为分别为a，b，斜边斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方形；你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看吗？拼一拼试试看 赵爽指出：按赵爽指出：按弦图，又可以勾股弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾之为朱实四，以勾股之差自相乘为中股之差自相乘为中黄实。加差实，亦黄实。加差实，亦成弦实。成弦实。赵爽弦图赵爽弦图朱实朱实朱实朱实朱实朱实CcABababc朱实朱实C2=(221ab）+(a-b)2a2+b2=2 “赵爽弦图赵爽弦图表现了表现了我国古代人对数学的钻研我国古代人对数学的钻研精神和聪
6、明才智，它是我精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为这个图案被选为20022002年在年在北京召开的国际数学家大北京召开的国际数学家大会的会徽。会的会徽。取材于我国古取材于我国古代数学著作勾股圆方图代数学著作勾股圆方图 在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。bababa bacccc大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab可得可得:a2+b2=c2ab2142c证法二证法二
7、 a2+b2=c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法证证 法法 3 3：(a+b)(b+a)=a2+a2+b2=c2aabbcc2121212121c2+2()21+ab+b2=c2abab 加菲尔德的加菲尔德的“总统总统”证法证法证证 法法 4 4：你还想知道勾股定理的其它证法吗？你还想知道勾股定理的其它证法吗？请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮了。了。定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。定理。勾股定理：如果直角三角
8、形的两直角边长勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边为，那么分别为、，斜边为，那么2 2+b+b2 2=c=c2 2。ACB如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，则，则 2 2+b+b2 2=c=c2 2常用的勾股数：常用的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25。勾勾股股勾勾股股弦弦 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理勾股定理.辉煌发现辉煌发现勾股定理的各
9、种表达式勾股定理的各种表达式：在在R Rt tABCABC中，中，C=90C=90,A,A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c,c,则则:c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a222ba c=a=22bc b=22ac 周髀算经周髀算经 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 商高商高 数学史话数学史话勾股圆方图勾股圆方图 公元前公元前600600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名为为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”（百牛定理百牛定理），而且给出了证明。，而且给出了证明。古
10、巴比仑人在公元前古巴比仑人在公元前1919世纪也发现此定理。世纪也发现此定理。定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400400多种，由鲁密多种，由鲁密斯搜集整理的斯搜集整理的毕达哥拉斯毕达哥拉斯一书中就给出一书中就给出370370种不同证法。种不同证法。公元前公元前1111世纪，周公与商高的对话（记录于公元前世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1 1世纪世纪周髀算经周髀算经）中提出中提出“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”。勾股定理勾股定理、商高定理商高定理 周髀算经周髀算经中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次中还记载了公元前六、七
11、世纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股定理。提到勾股定理。陈子定理陈子定理2、在在RtABCC=90,BC:AC=3:4,AB=10,则则AC=,BC=1、在、在RTABC中中C=90,若若a=4,b=3,则则c=_若若c=13,b=5,则则a=_ 若若 c=17,a=8,则则b=_51215一一 填空题：填空题：863 3、等边三角形的边长为、等边三角形的边长为1212，则它的高为，则它的高为_5 5、在直角三角形中、在直角三角形中,如果有两边为如果有两边为3,4,3,4,那么另那么另一边为一边为_5 5或或 4 4、等腰直角、等腰直角ABCABC中中,斜边长为斜边长为2,2,则直角边长为则直
12、角边长为 二二 选择题：选择题：如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（）A 1，B 1，3 C 1，D 1 ,5 如图，在如图，在R Rt tABCABC中，中，C=90C=90,B=45B=45,AC=1,AC=1,则则AB=()AB=()A 2 B 1 C D A 2 B 1 C D 3523ACABC一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（）A B C D 5252525B学以致用学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面积。求图中字母所代表的正方形的面积。2480AB 81144AB400625 想一想：想一想：小明妈妈买了一
13、部小明妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的电视厘米）的电视机，小明量了电视机的机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，厘米宽，他觉得一定是售货员搞他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什吗？你能解释这是为什么吗？么吗？58厘米46厘米74厘米我知道了 我感受了 我做了 c2=a2+b2、如图、如图,一个高一个高3 3 米米,宽宽4 4 米的大门米的大门,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为则木条的长为 ()()A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.
14、5 C.5米米 D.6 D.6米米CCBA.基础练习基础练习之之出谋划策出谋划策 要养成用数学的思维去解读世界的习惯。只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。其实数学在我们的生活中无处不在,只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前,还有很多象“勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现教师寄语教师寄语、本节课我们经历了怎样的探究过程？、本节课我们经历了怎样的探究过程？、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？、学了本节课后我们有什么感想？、学了本节课后我们有什么感想？梳理反思：梳理反思：从特殊从特殊-一般的探究过程一般的探究过程勾股定理勾股定理
15、 割补法割补法 以形解数法以形解数法中国悠久的文化和伟大的古代文明中国悠久的文化和伟大的古代文明作业：作业：、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过早在公元前1120年左右中国的商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾广三，股修四，经隅五。”你可能认为这是最早的勾股定理，但是具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。有关知识：有关知识：“勾
16、广三，股修四，径隅五。勾广三，股修四，径隅五。”在西方，一般认为这个定理是一个在西方，一般认为这个定理是一个叫做毕达哥拉斯的人发现的，所以称这叫做毕达哥拉斯的人发现的，所以称这个定理为毕达哥拉斯定理。个定理为毕达哥拉斯定理。我国著名数学家华罗庚建议：我国著名数学家华罗庚建议：发射一种勾股定理的图形，如果宇发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人是宙人是“文明人文明人”，那么他们一定，那么他们一定会认识这种会认识这种“语言语言”的。的。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一
17、段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到了晚年不仅学术保守，还反对新生
18、事物，最后死与非命 商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：故折矩，勾广三，股修四，经隅五。什么是勾、股呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成勾三股四弦五。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖
19、，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇.于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。希腊的著明数学家毕达格拉
20、斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达格拉斯”定理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇也深深的沉醉在勾股定理的魅力中。
