1、优秀课件，精彩无限！1第八章 微积分的进一步应用优秀课件，精彩无限！2前面：微分中值定理 微商与微分 研究函数（用二阶微商判断凹凸性）1、能否用高阶微商 研究函数？前面微分的应用 2、复杂的函数用简单的函数来近似表示 多项式一次多项式()()()()f xf afa xa两个不足 1、精确度不高 2、不能给出误差估计1 泰勒公式优秀课件，精彩无限！3能否用二次，三次，n次多项式()nP x近似()f x？为了简单。先计0a（前面，1()(0)(0)()f xffxp x 问题：给定一个函数()f x要找一个在零点附近与()f x近似的多项式2012()nnnpxaa xa xa x要求()f
2、x与()np x之前是比nx更高阶的无穷小。怎样找？优秀课件，精彩无限！4前面：1()(0)(0)()f xffxp x 这时1(0)(0),pf1(0)(0)pf 若用22012()pxaa xa x近似代替()f x自然要求：2(0)(0),pf2(0)(0),pf2(0)(0),pf-（2）用n次多项式2012()nnnpxaa xa xa x-（1）()f x，自然要求()npx满足：(0)(0),npfnp(0)=f(0),nnnp(0)=f(0)近似代替()npx的具体形状（系数）由于 这些条件可以确定优秀课件，精彩无限！5定理定理8.1()nf xxaxa如果函数在处有 阶的微商
3、，则当()0()()()()!knknkfaf xxaoxak 公式。在Taylor(n)nf(a)an!系数。的在称为Taylor带佩亚诺余项的泰勒公式有有的为aa()f x()f x(1,2,)n 优秀课件，精彩无限！6于是0(0)af1(0)af2(0)2!fa-(0)!nnfan代入（1）得 由（2）得 2(0)(0)()(0)(0)2!nnnffpxffxxn这就是我们要找的多项式？问()npx与()f x相差多少 即误差()()()nnR xf xpx是多少？是否是比x更高阶的无穷小？()npx求各阶导数,取0 x 得0(0)npa1(0)npa2(0)2!npa-(0)!nnnp
4、n a对优秀课件，精彩无限！7例1，239p()xf xe泰勤公式的一个应用定理8.2定理8.3（唯一性）2.余项为其它形式的Taylorpeano型余项：定性的描述 误差()nR x 不能作误差估计()()()nnR xf xpx的定量描述能进行误差估计？能否给出误差优秀课件，精彩无限！8（三种类型的余项）定理定理8.4)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR拉格朗日余项拉格朗日余项.)()(0nnxxoxR佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.(1)1()()(1)!nnnfx
5、R xxn麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）余项）余项优秀课件，精彩无限！93 3、初等函数的麦克劳林公式初等函数的麦克劳林公式xexf)()1(,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!)1(n)10(1nxxe优秀课件，精彩无限！10)sin(xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm优秀课件，精彩无
6、限！11!)2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx优秀课件，精彩无限！12)1()1()()4(xxxf)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n优秀课件，精彩无限！13)1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得
7、)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k优秀课件，精彩无限！142 微积分在几何物理中的应用 1.直角坐标下平面图形的面积由xaxb()ab()yf x()yg x其中（()()g xf x）围成的图形的面积A()()baAf xg x dx用微元法和几何意义来说明由yyy轴和()xy所围成的面积A()0,y()0,y()Ay dy()()Ay dyy dy例例1 1例例2 2优秀课件，精彩无限！15yy()xy()xy()()yy所围图形的面积()()Ayy dy例1（两种方法和公式）例2（重要变量替换）例3由例2例3引出公式由参数方程表示曲线的情形 例例3 3()()xt
8、yt,;()(),()()t 则若()()Att dt 优秀课件，精彩无限！162极坐标下平面图形的面积用定义推导公式：或用微分法()rr与向径()所围成的面积A为由曲线（扇形面积21122rlr）rl21()2Ard例4 求心脏线 ，所围的面积(1 cos)ra02解：2222013(1 cos)22aAad优秀课件，精彩无限！173.已知截面面积的立体体积已知某立体介于平面xa和xb之间，其过点(,0,0)x垂直于x轴的平面所截的图形面积为()A x,则该立体的体积微元为()dVA x dx从而体积为()baVA x dx特别：旋转体的体积：()0,yf x,xa b绕x轴旋转一周，22(
9、)()A xyf x故2()baVf xdx由连续曲线所产生的旋转体的体积，这时优秀课件，精彩无限！184、曲线的弧长：曲线：由方程()()xtyt ,t 决定的(,)x y构成的平面点集22()()sttdt1、。称为平面曲线2、曲线的方向3、曲线是可求长的。弧长。4、光滑曲线光滑曲线是可求长的，且弧长为定理定理3.13.1优秀课件，精彩无限！19注：在上述推导过程，遇到了必须处理和式221()()nkkkkt 的极限问题。但是和式不是Riemann和，通常把它改写为一个Riemann和加上一个尾项1ni iipt再利用一致连续性证明此尾项为无穷小量，在定积分应用中，证明见P258这是常用的
10、一种典型方法。优秀课件，精彩无限！20下面考虑曲线段不是直接由参数方程给出的情形 1、曲线由()yf x axb给出1()baSfx dx2、曲线由极坐标方程()rr()则22()()Srrd优秀课件，精彩无限！21例、椭圆22221xyab()ab解：其参数方程：sincosx aty bt于是2222222222cossin()sinxyatbtaabt221sinat 其中22baa于是椭圆弧长为222041sinSatdt这个被积函数的原函数不是初等函数。的弧长称为椭圆离心率我们把这种类型的积分称为“椭圆积分”优秀课件，精彩无限！225.弧微分22()()dsttdt222dsdxdy
11、几何解释：P259：优秀课件，精彩无限！231）z曲线段AB的平均曲率：ks2）曲线在一点的曲率：0limsdksds 3）曲率半径 1k4）曲率的计算公式：6.曲线的曲率（平面曲线）参数方程直角坐标3222y xy xkxy 322(1)yky优秀课件，精彩无限！246.旋转体的侧面积：圆台的侧面积12()RR l参数方程()()xtytt 222()()()Stttdt直角坐标(),yf x axb22()1()baSf xfxdx7、平面曲线弧现平面图形的质心。8、转动惯量优秀课件，精彩无限！25小结 泰勒公式 麦克劳林公式麦克劳林公式 微积分在几何物理中的应用优秀课件，精彩无限！26习
12、题1、求函数(,)ln(1)f x yxy解解:yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰2)1(1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1(!2yxyxfpp)3,2,1,0(p444)1(!3yxyxfpp)4,3,2,1,0(p)0,0()(fkhyx)0,0()0,0(yxfkfhkh勒公式在点(0,0)优秀课件，精彩无限！27)0,0()(2fkhyx)0,0()(3fkhyx)0,0()0,0(2)0,0(22yyyxxxfkfkhfh)0,0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0,0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln
13、(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx),()(43khfkhRyx44)1()(41yxyxykxh其中)10(优秀课件，精彩无限！28已知2 2、计算无理数 e 的近似值,使误差不超过.106解解:xe!)1(nxe1nx令 x=1,得e)10(!)1(!1!2111nen)10(由于,30ee欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当 n=9 时上式成立,因此e!91!2111718281.2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为优秀课件，精彩无限！293、利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限求：.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1(2
14、43x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到2x项,11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(x3421)1(243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 优秀课件，精彩无限！304 4、用近似公式!21cos2xx计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005.0244x解得588.0 x即当58
15、8.0 x时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.优秀课件，精彩无限！31e)10(!)1(!1!2111nen两边同乘 n!en!=整数+)10(1ne假设 e 为有理数qp(p,q 为正整数),则当 时,qn 等式左边为整数;矛盾!5 5、证明 e 为无理数.证证:2n 时,当故 e 为无理数.等式右边不可能为整数.优秀课件，精彩无限！32)0(之间与在nx )()(10nnxxxR )(2)1()(0)(xnRnnnn 附加题附加题1、余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR
16、)(1()(011 )(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x优秀课件，精彩无限！33)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!)1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn优秀课件，精彩无限！3411)1(!)1()
17、()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(2 2、利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4 4.证明).0(82112xxxx证证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx优秀课件，精彩无限！35计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式3、优秀课件，精彩无限！36,1
18、,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf,0)(,2)1(,1)0(21fff.24)(,f使一点)(xf)(21之间与在其中x,1,0 x由题设对321)(!31 xf)(21f221)(x)(!2121f )(2121xf有)(21f221)(x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明)1,0(且得分别令,1,0 x4、证：优秀课件，精彩无限！37),0(211)(21f)1,(2123211)(!3)(f3212)(!3)(f )0(1f)(21f22121)(!2)(f)1(2f22121)(!2)(f 1下式减上式,得)()(48112ff )()(48112ff )(241f )10(令)(,)(max)(12fff 24)(f优秀课件，精彩无限！38作业 P246 1(1,3,5,7)P246 2(2,4)P247 11,12,13
