1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第二节第二节 数列的极限数列的极限一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质五、小结五、小结 思考题思考题1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2单击任意点开始观察单击任意点开始观察1.【割圆术割圆术】观察完毕观察完毕“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽【引例引例】一、概念的引入机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
2、 结束结束 3R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42.【截丈问题截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前公元前300300年左右，中国年左右，中国古代思想家墨子语：古代思想家墨子语：;21 1 X第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;2121 22 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1机动机动 目录目录 上页上页 下页
3、下页 返回返回 结束结束 5二、数列的定义【例如例如】;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【注意注意】1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7单击任意点开始观察单击任意点开始观察.)1(11时的
4、变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限观察结束观察结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8【问题问题1】当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 【问题问题2】“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它，刻划它，描述它描述它。通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:无限接近无限接近可任意接近可任意接近“绝对值任意小”“绝对值任意小”.1可任意小可任意小即
5、即 nx【直观定义直观定义】当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于一个确无限接近于一个确定的常数定的常数a，称，称a是数列是数列xn的的极限极限.“距离任意距离任意 小小”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
6、返回返回 结束结束 10【发散发散】如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.【说明说明】发散有发散有 不存在不存在；-；+；。1.【精确定义精确定义】设设xn为一数列为一数列,若存在常数若存在常数a ,对任给定的正数对任给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数N,使得当使得当n N 时，时，不等式不等式|xn-a|N时，有无穷多个点落在时，有无穷多个点落在(a-,a+)内内”是是等价解释等价解释，正确吗？，正确吗？)（不不正正确确有的点有的点无穷多个点并不包括所无穷多个点并不包括所机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1
7、3数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.【例例1】.1)1(lim1 nnnn证明证明【证证】1 nx1)1(1 nnnn1,0 任任给给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即【注意注意】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14【例例2】【证证】【练习练习】证明常数列的极限等于它本身证明常数列的极限等于它本身.（公式公式）,0成立成立 nx,0 任给任给所以所以,axn 0)1()1(2 nn2)1(1 n11 n,0 nx欲使欲使,1 n只要
8、只要即可，即可，即即 1 n,1 N现取现取 时时，有有则则当当Nn 0)1()1(lim 2 nnn证明：证明：n1 0)1()1(lim 2 nnn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【例例3】.1,0lim qqnn其中其中证明证明【证证】,01 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 【小结小结】用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小
9、的N.,0 公式公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16【补例补例4】.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设设【证证】,01 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 放大不等式放大不等式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17【注意注意】(1)lim 关关系系如如下下的的逻逻辑辑与与的的过过程程中中，在在证证明明 naxnn axnNn 即即 ，通过，通过0 不等式的放大等措施求出正整数不等式的放大等措施求出正整数N，再定出，
10、再定出n的的范围，从而保证范围，从而保证 成立成立.axn(2)N与与是相对应的，但是相对应的，但N不是唯一的不是唯一的;N有无有无穷多个，则穷多个，则“n N”允许为允许为“nN”.(3)同理，因同理，因任意，则任意，则2，等也任意，则等也任意，则2 axn允许为允许为 22 等等或或 axaxnn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18四、数列极限的性质1.唯一性唯一性【定理定理1】每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.【证证】,lim,limbxaxnnnn 又又设设使得使得.,21NN 注意以下证明都是已知极限存在时，利用注意以下证明都是已知极限
11、存在时，利用的的给定性来论证的给定性来论证的用反证法用反证法.ba 不妨设不妨设,2ba 对对,21baaxNnn 时恒有时恒有当当;232baxban 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19【例例5】.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx【证证】,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.1.,1,1 两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx,22babxNnn 时恒有时恒有当当.223baxabn 即即 ,max2
12、1NNN 取取时有时有则当则当Nn 同时成立，同时成立，与与22baxbaxnn 矛盾矛盾 【证完证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 202.有界性有界性(1)【定义】【定义】对数列对数列nx,若存在正数若存在正数 M,使得一使得一切自然数切自然数 n,恒有恒有Mxn 成立成立,则称数列则称数列 nx有有界界,否则否则,称为无界称为无界.【例如例如】;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列【几几何何表表现现】数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点 nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间
13、内的区间内.,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21(2)【定理定理2】收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.【证证】,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx【注意注意】逆否命题必成立：逆否命题必成立：无界数列必定发散无界数列必定发散.逆命题不成立；逆命题不成立；有界列不一定收敛有界列不一定收敛.数列有界是收敛的数列有界是收敛的必要条件必要条件.
14、nnx)1(如如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 223.保号性保号性【定理定理3 】)0(0 ,lim aaaxnn或或且且如果如果0 N则存在正整数则存在正整数时时当当 Nn )0(0 nnxx或或都有都有【证明证明】0 的情形的情形仅证仅证 a由数列极限定义，由数列极限定义，时时当当对对NnNa ,0,02 有有2aaxn 从而从而022 aaaxn【证完证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23【推论推论】)0(0 nnnxxx或或从某项起有从某项起有如果数列如果数列,lim axnn 且且)0(0 aa或或则则【证明证明】的的情情
15、形形仅仅证证 0 nx0 N 1 nxn时，时，设当设当以下用反证法以下用反证法0lim axnn若若由定理由定理3知知时时当当22 ,0 NnN 0 nx有有 21,max NNN 取取时时当当 Nn 00同时成立，矛盾同时成立，矛盾与与 nnxx【证完证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 244.【子数列的收敛性子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系收敛列与其子列的关系）的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并在在
16、数数列列nnnxxx ,21nixxxx,21knnnxxx .项项中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列knnnnnxxkxxkkk【注意注意】例如例如lknnlk 若若knk 显然显然（1）【定义定义】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25（2）【定理定理4】收敛数列的任一子数列也收敛收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同且极限相同【证证】的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn 已知已知)(kaxkn欲证欲证【分析分析】欲证欲证0 0 K寻找寻找时时当当 Kk axkn 有有机动机动
17、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26.,0,0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnNKk .axkn.limaxknk 【证毕证毕】可知可知由由 ,limaxnn （寻找到（寻找到K）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27【注意注意】a.常用此关系判断一个数列常用此关系判断一个数列极限不存在极限不存在方法方法：若数列有两个子列收敛于不同的极限，：若数列有两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散则原数列发散.如数列如数列方法方法：若数列有一个子列发散：若数列有一个子列发散,则原数列发散则原数列发散.如如b.上例说明了
18、发散数列也上例说明了发散数列也可能可能有收敛的子列有收敛的子列.,1,1,1,1 )(112 kxk)(12 kxk发散发散 nx,0,4,0,3,0,2,0,1)(12 kxk发散发散 nx,0,0,0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性收敛性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29【思考题思考题】指出下列讨论数列指出
19、下列讨论数列 nncos1的极限中的错误的极限中的错误【错证错证】可以证明可以证明1cos1lim nnn因为因为121cos11cos1 nnnnn解新的不等式解新的不等式 12n12 n故故,0N 当当12 Nn时必有时必有 1cos1nn证完证完机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 30【思考题解答思考题解答】【分析分析】错误：错误：极限是极限是1 明显是不对的，明显是不对的，应为应为0.错误：错误：推导过程中又将推导过程中又将1cos1 nn不适当不适当的放大，致使不等式：的放大，致使不等式：12n不能对不能对任何任何 0成立成立.例如例如取取=1/2时，找不到时
20、，找不到 n 满足该不等式满足该不等式.【结论结论】极限的分析定义严格描述了极限过程，如极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地果随心所欲地放大不等式放大不等式，就会导致荒谬，就会导致荒谬的结果的结果.切记证明中应切记证明中应适当放大适当放大，且最终必，且最终必须是须是无穷小无穷小（即极限为（即极限为0），否则无法保证），否则无法保证小于任给的小于任给的0.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31【正确证法正确证法】,0 因为因为nnn20cos1 解不等式解不等式 n2 2 n故取故取12 N则当则当nN 时，必有时，必有 0cos1nn故故0cos1lim nnn证完证完
