1、高数泰勒公式高数泰勒公式高数泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第八节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)第二二章 高数泰勒公式特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx 的一次多项式若)(xf是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式)(xPn来近似表示
2、?)(xf高数泰勒公式0)(xexfx由()(0)(0)f xffx)(1100 xPxxeeex误差)1()(1xexRxxxRx)(lim10001lim0 xxexx01lim0 xxe)()(1xoxR)(1xoxex)()(11xRxP即为一次多项式x的高阶无穷小试问)(1222xoxAxex是否成立？即是否求出2A)(1(lim22202xxoxxeAxx2121lim0 xexx特例：特例：高数泰勒公式即)()()(2112222xoxPxoxxex22211)(xxxP为抛物线与xey 更为接近问)(2113332xoxAxxex类似方法可得!313A)()()(!312113
3、3332xoxpxoxxxex2111()()()2!xnnnnexxxo xp xo xn 右边的多项式在0的附近可以无限的接近于如何用高次多项式来近似表示已给函数，并给出误差公式呢?()xf xe高数泰勒公式1.1.求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:,)(xpn)(0!212xpan,)(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf!21令令)(xpn则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan,)(0 xf,)()(00 xfxpn)(01xpa
4、n,)(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)()1(nnxxann,)()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201高数泰勒公式)0(之间与在nx )()(10nnxxxR )(2)1()(0)(xnRnnnn2.2.余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(
5、0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x高数泰勒公式)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!)1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn高数泰勒公式公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数
6、,),(bax时,有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx高数泰勒公式公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到*可以证明:阶的导数有直到在点nxxf0)(式成立高数泰勒公式特例特例:(1)当 n=0 时,泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf
7、(2)当 n=1 时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx高数泰勒公式称为麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式.,)10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(
8、在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式高数泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)()1(,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!)1(n)10(1nxxe高数泰勒公式)sin(xxxfsin)()2
9、()()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm!)12(m12mx高数泰勒公式4224642024612!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近高数泰勒公式12!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2n
10、xoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近高数泰勒公式xy xysin!33xxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;高数泰勒公式xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;高数泰勒公式xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o五、小结1 1.T Ta ay yl
11、lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;高数泰勒公式xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想
12、-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数
13、泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.高数泰勒公式!)2(2mxm
14、xxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx高数泰勒公式)1()1()()4(xxxf)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n高数泰勒公式)1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),
15、2,1(k高数泰勒公式1.1.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例1 计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用高数泰勒公式例例2 2 求xxxxeIxx30sin1sinlim解：解：用函数的麦克劳林展开式求此极限 22!21xoxxex 43!3sinxoxxx 4323sinxoxxxxex 3233203limxxxxoxxxIx31高数泰勒公式.43443lim20 xxxx解解:
16、由于x431243 x21)1(243x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法则不方便!2x用泰勒公式将分子展到项,x3421)1(243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox2x43)(2216941xox 例例3.3.求高数泰勒公式例例4 4 设111()1xxf xxe，求0lim().xf x解解11ln()ln(1)1xf xxx 22211lnxoxxx210)(limexfx2ln(1)xxx高数泰勒公式11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()1
17、0(2.2.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4.证明).0(82112xxxx证证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx高数泰勒公式例例5 5 设当1.)x()0,(1)2,(1)3fxff()0f x 1,)x()f x1x 21()(1)(1)(1+()1)2f xffxfx）（！2123(1)()(1)2xfx23(1)53xx(2)10f (1,2)()0.f(1)20f()0f x，有证明在时，至少有一个实根。在处展开成一阶泰勒公式因此，根据连续函
18、数零点而此使得的一个实根。证明证明 将定理可知，至少存在一点为2.利用泰勒公式证明方程根的存在性利用泰勒公式证明方程根的存在性高数泰勒公式内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式.)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx高数泰勒公式2.2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 (P139 (P139 P140)P140),xe,)1ln(x,sin x,cosx)1(x3.泰勒公式的应用泰勒公式的应
19、用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数,xsin例如高数泰勒公式作业作业P141 1（2）;3；4;5;6；7 高数泰勒公式泰勒泰勒(1685 1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:正的和反的增量方法(1715)线性透视论(1719)他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.高数泰勒公式麦克劳林麦克劳林 (1698 1746)英国数学家,著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数.高数泰勒公式4、设0()lim1xf xx()0fx().f xx(0)0,(0)1ff 2()()(0)(0)2ff xffxx().f xx，且，证明证明证明 由已知极限式得 利用泰勒公式有从而高数泰勒公式6.6.设函数)(xf在 1,0上三阶可导,且,0)1()0(ff设,)()(3xfxxF使.0)(F证证:因)1(F,0)0()0()0(FFF)(!31F 因,0)1()1(fF因此,0)(F试证存在,)1,0()0(F)0(F)0(!21F )(!31F )1,0(利用二阶泰勒公式,得高数泰勒公式医路顺风高数泰勒公式感谢您的聆听您的关注使我们更努力
