1、营口地区成人教育QQ群54356621一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva.)()()(tftvta定义定义.)()(,)()(lim)(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 营口地区成人高等教育 QQ群54356621记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 二阶导数的导数称为三阶导
2、数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(33dxydyxf 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf 营口地区成人高等教育 QQ群54356621二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.1.直接法直接法:由高阶导数的
3、定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0(xxxf;0 0322)1()13(2)0(xxxf.2 营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x)1(2 xy3)2)(1(x)1()1()1()(nxnynn则则为自然数为自然数若若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0 营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例3
4、)(1110nnnnnyaxaxaxay求求 解解1221102)1(nnnnaxaxanxnay231202)2)(1()1(nnnaxannxannyknknknkakxaknnnxaknnny !)()2)(1()1()1(110)(0)(!anyn 营口地区成人高等教育 QQ群54356621注意注意:求求n n阶导数时阶导数时,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n n阶导数阶导数.(.(数学归纳数学归纳法证明法证明)逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式例例4 4.),1ln()(nyxy求求
5、设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例5 5.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)(nxxn营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )
6、arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab 营口地区成人高等教育 QQ群543566212.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu)()()()(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu
7、莱布尼兹公式莱布尼兹公式营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例7 7.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例8)0(arctan)()(nfxxf，求，求设设 解解得得由由211)(xxf 1)()1(2 xfx由由Lebniz公式，两边求公式，两边求 n 阶导数，有阶导数，有0
8、)()1()(2 nxfx0)1()(!2)1()1()()1()(2)2(2)1(2)(xxfnnxxfnxxfnnn0)()1()(2)()1()1()()1(2 xfnnxnxfxfxnnn营口地区成人高等教育 QQ群54356621得得令令0 x0)0()1()0()1()1(nnfnnf注意到注意到1)0(,0)0(ff0)0()2(nf)!2()1()0()12(nfnn 注注这一解法的特点：找到了这一解法的特点：找到了xyarctan 的连续三阶导数之间的关系，利用的连续三阶导数之间的关系，利用0 x得到两相隔导数之间的关系，解决问题得到两相隔导数之间的关系，解决问题 营口地区成
9、人高等教育 QQ群543566213.3.间接法间接法:利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.常用高阶导数公式常用高阶导数公式)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnnnnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)(1)(!)1()1(nnnxnx营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例9 9.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 x
10、xxy)1(!5)1(!52166)5(xxy)1(1)1(16066 xx营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例1010.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)(nxynn营口地区成人高等教育 QQ群54356621例例11试从试从ydydx 1导出导出322)(yydyxd 5233)()(3yyyydyxd 解解)()(yxxyy
11、yxy 得得由由ydydx 1)1()(22ydyddydxdyddyxd 营口地区成人高等教育 QQ群54356621dydxydxd )1(yyy 1)(123)(yy )(2233dyxddyddyxd)(3yydyd dydxyydxd )(3yyyyyyy 1)()(3)(62352)()(3yyyy 营口地区成人高等教育 QQ群54356621注注关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。yydxyddxdy ,22都是对都是对 x 求导求导)()(22xfxf 的的导导数
12、数对对复复合合函函数数xxfyxf)()(22 代代回回求求导导数数再再用用对对即即是是22)()()(2xuuufyufxfxu 营口地区成人高等教育 QQ群54356621三、小结三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.营口地区成人高等教育 QQ群54356621思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg)()()(2xgaxxf 求求 .)(af 营口地区成人高等教育 QQ群54356621思考题解答思考题解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)(afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag
