1、2023-5-8第五讲第五讲 函数的定义域与值域函数的定义域与值域2023-5-8回归课本回归课本1.函数的定义域函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的函数的定义域是指使函数有意义的自变量自变量的取值范围的取值范围.注意注意:(1)确定函数定义域的原则确定函数定义域的原则:当函数当函数y=f(x)用表格给出时用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数函数的定义域是指表格中实数x的的集合集合;当函数当函数y=f(x)用图象给出时用图象给出时,函数的定义域是指图象在函数的定义域是指图象在x轴上投轴上投影所覆盖的实数的集合影所覆盖的实数的集合;2023-5-8当函数当函数y=f(x)用解析式给出时
2、用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合意义的实数的集合;当函数当函数y=f(x)由实际问题给出时由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的函数的定义域由实际问题的意义确定意义确定.(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:如果只给函数解析式如果只给函数解析式(不注明定义域不注明定义域),其定义域应为使解析式其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域称为自然定义域;如果函数受应用条件或附加条件制约如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义其定义域称为限定定
3、义域域.2023-5-8(3)复合函数定义域的求法复合函数定义域的求法:若已知函数若已知函数f(x)的定义域为的定义域为a,b,其复合函数其复合函数fg(x)的定义域应由的定义域应由不等式不等式ag(x)b解出解出.2023-5-82.函数的值域函数的值域在函数在函数y=f(x)中中,与自变量与自变量x的值相对应的的值相对应的y的值叫函数值的值叫函数值,函数值函数值的集合叫做函数的值域的集合叫做函数的值域.注意注意:确定函数的值域的原则确定函数的值域的原则当函数当函数y=f(x)用表格给出时用表格给出时,函数的值域是指表格中实数函数的值域是指表格中实数y的集的集合合;当函数当函数y=f(x)用
4、图象给出时用图象给出时,函数的值域是指图象在函数的值域是指图象在y轴上的投轴上的投影所覆盖的实数影所覆盖的实数y的集合的集合;2023-5-8当函数当函数y=f(x)用解析式给出时用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定其对应关系唯一确定;当函数由实际问题给出时当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定函数的值域由问题的实际意义确定.2023-5-8考点陪练考点陪练2023-5-82023-5-8考点陪练考点陪练0.51(43)33.,1.,443.(1,).,1(1,41.(2010)logxABCD湖北 函数的定义域为（）2023-
5、5-80.5:log4x304x3004x31.A.,331,1,44x解析 由且得即函数的定义域是选答案答案:A2023-5-82.(2010)yA.0,B.0,4C.0,4D.0,1464x重庆 函数的值域是（）x1641:016416,04,y0,4,.61C64xx解析 由已知得 即函数的值域是选答案答案:C2023-5-83.函数函数y=x2-2x的定义域为的定义域为0,1,2,3,那么其值域为那么其值域为()A.-1,0,3 B.0,1,2,3C.y|-1y3 D.y|0y3答案答案:A2023-5-8 23111.,.,1331 11.,.,4.f xlg 3x13 33xxAB
6、CD函数的定义域是（）答案答案:B2023-5-85.函数函数y=f(x)的值域是的值域是-2,2,定义域是定义域是R,则函数则函数y=f(x-2)的值域是的值域是()A.-2,2 B.-4,0C.0,4 D.-1,1答案答案:A2023-5-8类型一类型一函数的定义域函数的定义域解题准备解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部应根据解析式中各部分的要求分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解然后解这个不等式或不等式组这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面解答过程要注意考虑全面,最后定义域最
7、后定义域必须写成集合或区间的形式必须写成集合或区间的形式.2023-5-8(2)确定函数的定义域确定函数的定义域当当f(x)是整式时是整式时,其定义域为其定义域为R.当当f(x)是分式时是分式时,其定义域是使得分母不为其定义域是使得分母不为0的实数的集合的实数的集合.当当f(x)是偶次根式时是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等其定义域是使得根号内的式子大于或等于于0的实数的集合的实数的集合.对于对于x0,x不能为不能为0,因为因为00无意义无意义.2023-5-8f(x)=tanx的定义域为的定义域为f(x)=logax(a0且且a1)的定义域为的定义域为x|x0.由实际问题确定的
8、函数由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束其定义域要受实际问题的约束,要具体要具体问题具体分析问题具体分析.分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.|,.2x xRZxkk且2023-5-8抽象函数抽象函数f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1),是指是指x(0,1)而非而非02x+11;已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为(0,1),求求f(2x+1)的定义域时的定义域时,应由应由02x+11得出得出x的范围即为所求的范围即为所求.2023-5-8 22(2)91f x.lg xxx【典例】求函数的定义域 分析分析 只需
9、要使解析式有意义只需要使解析式有意义,列不等式组求解列不等式组求解.2220,90,20,:3x02x3.3,02.33,3,.xxxxxx 解 要使函数有意义 则只需要或即解得或故函数的定义域是2023-5-8类型二类型二复合函数的定义域复合函数的定义域解题准备解题准备:已知已知fg(x)的定义域为的定义域为x(a,b),求求f(x)的定义域的定义域,其方其方法是法是:利用利用axb,求得求得g(x)的范围的范围,此即为此即为f(x)的定义域的定义域.已知已知f(x)的定义域为的定义域为x(a,b),求求fg(x)的定义域的定义域,其方法是其方法是:利用利用ag(x)b,求得求得x的范围的范
10、围,此即为此即为fg(x)的定义域的定义域.定义域经常作为基本条件出现在试题中定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性具有一定的隐蔽性.所以所以在解决函数问题时在解决函数问题时,必须按照必须按照“定义域优先定义域优先”的原则的原则,通过分析通过分析定义域来帮助解决问题定义域来帮助解决问题.2023-5-8【典例【典例2】(1)已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为0,1,求下列函数的定义求下列函数的定义域域:f(x2);(2)已知函数已知函数flg(x+1)的定义域是的定义域是0,9,则函数则函数f(2x)的定义域为的定义域为_.(1).fx 2023-5-8 分析分析 根据
11、复合函数定义域的含义求解根据复合函数定义域的含义求解.解析解析 (1)f(x)的定义域是的定义域是0,1,要使要使f(x2)有意义有意义,则必有则必有0 x21,解得解得-1x1.f(x2)的定义域为的定义域为-1,1.2023-5-8 xx0112.1x4(x0,)1,42f lg x10,9,0 x9,1x1 10,0lg x11f x0,1.021,x0.f 2,01.(1)xxxfx由 得 时才有意义函数的定义域为的定义域为 的定义域为由 解得 的定义域为 答案答案 1,4 (-,02023-5-8类型三类型三求函数的值域求函数的值域解题准备解题准备:求函数值域的总原则求函数值域的总原
12、则:由定义域由定义域 对应法则对应法则f在等价条在等价条件下件下,巧妙地转化为与巧妙地转化为与y有关的不等式有关的不等式.求值域问题技巧性强求值域问题技巧性强,要要根据题目特点确定合理的方法根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切相关因与函数的最值密切相关,常可常可转化为求函数的最值问题转化为求函数的最值问题.2023-5-82(1)12;4(2);(3);2(4):1.3yxxyxxsinxycosxyxx【典例】求下列函数的值域2023-5-8 分析分析 本题主要考查函数值域问题本题主要考查函数值域问题,考查运算能力考查运算能力 数形转化的数形转化的思想思想,对于对于(1),利用换元
13、法转化为二次函数的值域问题利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于对于(3),由函数的由函数的有界性或由几何法求解有界性或由几何法求解;对于对于(4),用求导数法求解用求导数法求解.2023-5-8 22112,2111(1)21(0),2 1:t(t0),x2212yy.txtttt 解解法一 设得2023-5-81,211,.12,221:12x0,xyx,y,y11112,.2222yx 解法二定义域为函数在上均单调递增2023-5-8 4424,44(2:x0,yxx2,;x0,y4)2(,x2,
14、.,4,.)4xxxxxxx 解法一 当时当且仅当时 取等号 当时当且仅当时 取等号综上 所求函数的值域为2023-5-8 1212121121212112122:x,x,xx,f xf xxxx22xx,f x,2x00 x2,f x.x2,f xf24,x2,f xf 24,4()(4)44,42.xxx xxxxx x 极大极小解法二 先证此函数的单调性任取且当或时递增当或时递减 故时时所求函数的值域为2023-5-8 22222222 3:sinxycosx2y,(sinxcossinsin(x)1,3111)2,111,122,|113333,.333y1,y3yycosxyyyyy
15、yyyyy解法一 利用函数的有界性将原函数化为令且平方得 原函数的值域为2023-5-82222:.2,0cosx,sinx,cosx,sinxxy1,xy12,0.,2,0,y0(k x2,kxy2k0)22,sinxsinxycosxcosx 解法二 数形结合法或图象法原函数式可化为此式可以看作点和连线的斜率而点的轨迹方程为如图所示在坐标系中作出圆和点由图可看出 当过的直线与圆相切时 斜率分别取得最大值和最小值 由直线与圆的位置关系知识可设直线方程为即2023-5-82|2|31,ky3133,3333,.233kksinxcosx 解得斜率的范围是即函数的值域为2023-5-8 22ma
16、x22 41,1.x1,1,fx1fx0,f11,f 11,f1.11210,222,222,()(1)1.2,2x 1.minxxxxxxxxfff xf 函数的定义域为当时令得得又值域为2023-5-8 反思感悟反思感悟 第第(1)小题利用换元法易忽视小题利用换元法易忽视t0的条件的条件,第第(2)小题利小题利用基本不等式时易漏掉对用基本不等式时易漏掉对x0恒成立恒成立,所以函数的定义域为所以函数的定义域为R.由原式得由原式得(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0,当当y-2=0,即即y=2时时,方程为方程为3x=0,所以所以x=0R;2023-5-8当当y-20,即即y2时时,因为因为xR,所以方程所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根恒有实根,=(y+1)2-4(y-2)(y-2)0,即即3y2-18y+150,解得解得1y5.所以函数的值域为所以函数的值域为1,5.2023-5-822y,x,y.dxexfaxbxc方法与技巧 形如的分子分母之一或二者均是二次式时 一般常将函数转化为一个关于 的方程 先讨论二次项系数 再考虑用判别式法求出 的范围
