1、3.2.1几个常用几个常用函数的导数函数的导数精一、复习一、复习1.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换成换成x0即为求函数在即为求函数在点点x0处的处的 导数导数.精2.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0
2、|)()(0 xxxfxf 3.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.精二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC 公式一：为常数:(),yf xC解1)函数函数y=f(x)=c的导数的导数.()()0,yf xxf xCC 0,yx0()lim0.xyf xCx 精二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数1x 公式二：:(),yf xx解2)函数函数y=f(x)=x的导
3、数的导数.()()(),yf xxf xxxxx 1,yx0()lim1.xyf xxx 精二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数22xx公式三：（）2:(),yf xx解3)函数函数y=f(x)=x2的导数的导数.222()()()2,yf xxf xxxxxxx 222,yxxxxxxx 220002()()limlimlim(2)2.xxxyxxxf xxxxxxx 精二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数211xx 公式三：（）1:(),yf xx解4)函数函数y=f(x)=1/x的导数的导数.11()()()xyf xxf xxxxxx x 1,()yxxx x20011
4、1()()limlim.()xxyf xxxxx xx 精21)()2)(),3)(),14)(),yf xCyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?0y 表示表示y=C图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为0这又说明什么这又说明什么?探究：探究：画出函数画出函数y=1/x的图像。根据图像，的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在描述它的变化情况。并求出曲线在点（点（1,1）处的切线方程。）处的切线方程。x+y-2=0精可以直接使用的基本初等函数的导数公式可
5、以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.aaxxxxafxcfxfxxfxaxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,();fxxfxx则精练习：练习：1 1 求下列幂函数的导数求下列幂函数的导数35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（精注意注意:关于关于 是两个不同是两个不同的函数的函数,例如例如:axx
6、a 和)3)(1(x)(2(3x3ln3x23x精练习练习1、求下列函数的导数。、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x 4(3)y=x-2(4)y=2 x(5)y=log3x0 y34xy 3ln1xy 3322xxy2ln2xy 精练习练习2、求下列函数的导数。、求下列函数的导数。1、y=5 2、y=xn3、y=sinx 4、y=cosx5、y=ax 6、y=ex7、y=logax 8、y=lnx9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx精导数的运算法则导数的运算法则:精0001205%()
7、(1 5%).0110.0tpp tpptp例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中 为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0 1）0()1.05ln1.05tp tp解：由导数公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。0510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0()1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 精二、知识新授二、知识新授 法则法则1 1:
8、两个函数的两个函数的和（或差）的导数和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：等于这两个函数的导数的和（或差），即：).()()()(xgxfxgxf精.sin)()1(.12的的导导数数求求函函数数例例xxxfxxxxxxxfcos2)(sin)()sin()(22解：.2623)()2(23的导数求函数xxxxg633)6()23()()623()(22323xxxxxxxxxg解：精法则法则2:2:两个函数的两个函数的积的导数积的导数，等于第一，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数即：函数乘以第二个函数的导
9、数即：).()()()()()(xgxfxgxfxgxf法则法则3:).()(为常数CxfCxCf精.ln2)()2(.sin)()1(2的导数求函数的导数求函数：例xxxfxxxhxxxxxxxxxxhcossin)(sinsin)sin()()1(:解2ln2)(ln2(ln)2()ln2()()2(xxxxxxxxf精法则法则4 4 :两个函数的两个函数的商的导数商的导数，等于分子的，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方的积，再除以分母的平方,即：即：)()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其
10、中精.1)()1(32的的导导数数求求函函数数：例例ttts)1()()1(:解2ttts222)1()1(ttttt22222112ttttt的导数.ex(2)求函数f(x)x)()()2(:解xexxf2)()(xxxeexexxxxxxxxexexeeeexex1)()(22精的导数的导数4 45x5x3x3x2x2xy y求求1.1.2 23 3练练 习习566)4532(:解223xxxxxy精的导数的导数2)2)3)(3x3)(3x(2x(2xy y用两种方法求用两种方法求2.2.2 298182xx解：解：)23)(32()23()32(22xxxxy3)32()23(42 xx
11、x法二：法二：法一：法一：)6946(23xxxy98182xx精的导数的导数xxysin.32 xxxxxy222sin)(sinsin)(解：xxxxx22sincossin2精处处的的导导数数在在点点求求333.42 xxxy222)3(2)3()3(1xxxxy解：222)3(36xxx61)33(3363)3(,3222fx时当精例例4:4:求曲线求曲线y=xy=x3 3+3x+3x8 8在在x=2x=2处的切处的切线的方程线的方程.即：即：，切线方程为切线方程为，又切线过点又切线过点，解：解：02415)2(156:)6,2(15323)2(33)83()(223yxxyfkxxx
12、xf精导数的运算法则导数的运算法则:)u(vw(vw)uuvw法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f xg xfx g xf x g x由由法则法则2:()()()()C f xC f xC fxC fxwuvwvuvwu 轮流求导轮流求导,再相加再相加精法则法
13、则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函的等于第一个函的 导数乘第二个函数导数乘第二个函数,减去减去第一个函数乘第二第一个函数乘第二个函数的导数个函数的导数,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xf x g xf x g xg xg xg x精题型一：导数公式及导数运算法则的应用题型一：导数公式及导数运算法则的应用精精精精练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;
14、yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx精精如何用导数解决与切线有关的问题?精设切点求出切线方程依据题意，代人条件代数求解得到结论精3.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（2）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。0()fx（3）根据直线方程的点斜式
15、写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().y f xf x x x（1 1）找切点）找切点精精一、已知切点，求曲线的切线一、已知切点，求曲线的切线 曲线的切线问题，是高考的常见题型之曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：主要有以下几类问题：精一、已知切点，求曲线的切线一、已知切点，求曲线的切线 曲线的切线问题，是高考的常见题型之曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：主要有以下几类问题：精【变式训练【变式训练】a1，b1 精 二、过曲线上一点，求切线方程二、过曲线上一点，求切线方程精精三、过曲线外一点，求切线方程、过曲线外一点，求切
16、线方程精精1.已知曲线已知曲线C：f(x)=x3求曲线求曲线C上横坐标为上横坐标为1的点处的切线方程的点处的切线方程精精(3,5)P变式变式1：试求过点试求过点 且与曲线且与曲线 相切的直线方程相切的直线方程。2yx21010250 xyxy 或解：因为点解：因为点 不在曲线上，设此切线过抛物线上不在曲线上，设此切线过抛物线上 的点的点 ，则，则(3,5)P200(,)xx思路：思路：设出切点利用导数的几何设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求意义和已知条件去求点不在曲线上的切线方程点不在曲线上的切线方程精 3.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲线）是曲线y=x2上的两点，求与直线
17、上的两点，求与直线PQ平行的曲线平行的曲线y=x2的切线方程。的切线方程。精看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程12(2)22ln2yx精题型二：导数的综合应用题型二：导数的综合应用92013232220200 xxy精精精例例6.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1
18、x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2(2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204)2(222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.精思考讨论思考讨论1 1：若曲线若曲线C C：上任意一点处上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，求的切线的倾斜角都是锐角，求 的取值范围。的取值范围。3222yxaxaxa01.5a2.2.求求在曲线在曲线 的切线斜率中斜率的切线斜率中斜率最小的切线方程。最小的切线方程。3222yxaxax311yx精精作业P85习题3.2A组4.5.6.7.8，B组1精如何求函数如何求函数 的导数的导数?)52sin(2xxy精
