1、信号与系统多媒体教学课件多媒体教学课件第六章第六章 Part 122023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课内容要点内容要点 双边拉普拉斯变换的定义和收敛域双边拉普拉斯变换的定义和收敛域 单边拉普拉斯变换及其性质单边拉普拉斯变换及其性质 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 微分方程和电路的微分方程和电路的s域求解域求解 LTI系统的系统函数及其性质系统的系统函数及其性质 LTI系统的框图表示系统的框图表示 32023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统6.0
2、引言引言6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义6.2 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换6.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质作业作业42023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统 6.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换6.5 微分方程的求解微分方程的求解作业作业52023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统 6.6 电路的电路的s域求解域求解6.7 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换作
3、业作业62023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课第第6章章 拉普拉斯变换与连续时间系统拉普拉斯变换与连续时间系统 6.8 LTI系统的系统函数及其性质系统的系统函数及其性质6.9 LTI系统的框图表示系统的框图表示作业作业72023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.0 引言引言连续时间连续时间LTI系统的分析方法系统的分析方法 v 1)求解微分方程求解微分方程(得到完全响应得到完全响应)v 2)采用卷积积分采用卷积积分(得到零状态响应得到零状态响应)o 以上方法存在问题：计算过程繁锁以上方法存在问题：计算过程
4、繁锁v 3)利用傅里叶变换利用傅里叶变换(FT)o优点：将时域微分方程转化为频域代数方程，优点：将时域微分方程转化为频域代数方程，求解容易；求解容易；o局限：局限：许多信号不存在许多信号不存在FT无法求得零输入响应无法求得零输入响应 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace Transform,LT)82023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.0 引言引言拉普拉斯变换拉普拉斯变换(LT)vLT可以描述可以描述FT无法描述的信号；无法描述的信号；v可以将微分方程变换为代数方程；可以将微分方程变换为代数方程；v可以直接求得系统的完全响应；可以直接求得系统
5、的完全响应；v 对于连续时间信号及对于连续时间信号及LTI系统的分析，系统的分析，LT具有比具有比FT更为广泛的特性描述，更更为广泛的特性描述，更具通用性。具通用性。Back92023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义主要内容主要内容v拉普拉斯正变换拉普拉斯正变换v拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换v拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v拉普拉斯变换的零极点图拉普拉斯变换的零极点图102023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义定义
6、一：从傅里叶变换引出定义一：从傅里叶变换引出v傅里叶变换傅里叶变换ttfFtde)()j(jde)j(21)(j tFtf112023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义有几种情况不满足有几种情况不满足狄里赫利条件：狄里赫利条件：若原信号乘一衰减若原信号乘一衰减因子因子e-t,其中其中为为任意实数，则乘积任意实数，则乘积信号信号f(t)e-t收敛，收敛，且满足狄里赫利条且满足狄里赫利条件件)0(eaatttue)()(eeatatcos tttcose)(tuv阶跃信号阶跃信号v增长信号增长信号v周期信号周期信号
7、122023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯拉普拉斯(正正)变换变换 v信号信号x(t)乘以一个实指数收敛因子乘以一个实指数收敛因子e-t后的傅里叶变换，即后的傅里叶变换，即ttxttxXtxttttde)(dee)()j(e)(FT)j(j记记s=+j(称为复频率称为复频率)ttxsXstde)()(132023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义定义二：连续时间定义二：连续时间LTI系统的响应系统的响应v考虑：将一个
8、复指数信号考虑：将一个复指数信号x(t)=est(其中其中s=+j)输入至单位冲激响应为输入至单位冲激响应为h(t)的连续的连续时间时间LTI系统，此时系统的零状态输出系统，此时系统的零状态输出stesHtxthty)()()()(h(t)x(t)=est框图表示框图表示 de)(ede)(d)()()()()()(ssttshhtxhthtxty142023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义定义二定义二de)()(shsHvLTI系统对输入为系统对输入为x(t)=est形式的复指数的作形式的复指数的作用是乘以
9、用是乘以H(s)v复指数信号复指数信号est为连续时间为连续时间LTI系统的本征函系统的本征函数，数，H(s)称为本征值或称为本征值或系统函数系统函数(也称传递也称传递函数函数)。H(s)即为单位冲激响应的拉普拉斯即为单位冲激响应的拉普拉斯变换变换152023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义单边与双边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换v前面定义的拉普拉斯变换能够处理从前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-至至+整个时间区间内存在的信号，将这一定整个时间区间内存在的信号，将这一定义式称为双边拉普拉斯变换义式称为双边
10、拉普拉斯变换v对于因果信号对于因果信号x(t)=x(t)u(t)，双边拉普拉斯，双边拉普拉斯变换退化为单边拉普拉斯变换变换退化为单边拉普拉斯变换ttxsXstde)()(0de)()(ttxsXst162023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义傅里叶变换与拉普拉斯变换的差异傅里叶变换与拉普拉斯变换的差异定义域定义域值域值域x(t)实数实数实数实数X(j)纯虚数纯虚数复数复数X(s)复数复数复数复数172023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普
11、拉斯变换的定义拉普拉斯变换的逆变换拉普拉斯变换的逆变换vx(t)的拉普拉斯变换就是的拉普拉斯变换就是x(t)e-t的傅里的傅里叶变换叶变换de)j(21)j(IFTe)(j ttXXtxv经整理，得到拉普拉斯逆变换经整理，得到拉普拉斯逆变换jjde)(j21)(ssXtxst182023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换与傅里叶变换v拉普拉斯变换将信号拉普拉斯变换将信号x(t)表示为复指表示为复指数数est的加权组合，其权值正比于的加权组合，其权值正比于X(s)v连续时间傅里
12、叶变换是把时域信号表连续时间傅里叶变换是把时域信号表示为复谐波函数示为复谐波函数ejt的加权组合，其权的加权组合，其权值正比于值正比于X(j)vLT是是FT的一种推广的一种推广192023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域v使拉普拉斯变换存在的使拉普拉斯变换存在的的取值范围的取值范围称为收敛域称为收敛域(ROC)v信号信号x(t)e-t比信号比信号x(t)更可能满足绝对更可能满足绝对可积条件，因此拉氏变换比傅里叶变可积条件，因此拉氏变换比傅里叶变换具有广泛的适用性换具有广
13、泛的适用性tetxtd)(202023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图拉氏变换的零极点图v信号信号x(t)的拉普拉斯变换可表示为分子分母的拉普拉斯变换可表示为分子分母都是复变量都是复变量s多项式的两个多项式之比，即多项式的两个多项式之比，即为有理分式为有理分式o在在s平面内，关于有理函数平面内，关于有理函数X(s)的零点的零点(用用圆圈表示圆圈表示)和极点和极点(用叉表示用叉表示)的图称为零的图称为零极点图极点图 njjmiinnmmpszsKsasaasbsbbsDsNsX111010)(
14、)()()()(212023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图拉氏变换的零极点图)Re(,sO-24-332j,Im(s)vX(s)有一对共轭极点有一对共轭极点-23j和一个和一个零点零点4222023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义【例【例6-1】已知信号已知信号x(t)=e-atu(t),a R,a0。求拉普拉斯变换。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域及其收敛域 v解：根据定义，得解：根据定义，得 asas
15、asasttttusXttatttatastasstatstat1ee1limee1e1dedeede)(e)(j)(0j)(0)(0)(0asassX)Re(,1)(asastuat)Re(,1)(eLTO-aj232023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义【例【例6-2】已知信号已知信号x(t)=-e-atu(-t),a R,a0。求拉普拉斯变换。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域及其收敛域 v解：根据定义，得解：根据定义，得 asasasttttuesXtastasstatstat)Re(,1e1dedee
16、de)()(0)(0)(0asastuat)Re(,1)(e-LTO-aj242023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论关于拉普拉斯变换的一些推论v时域中两个完全不同的信号可能有相时域中两个完全不同的信号可能有相同的拉普拉斯变换同的拉普拉斯变换v要使要使X(s)和和x(t)之间一一对应必须标明之间一一对应必须标明收敛域收敛域v如果在如果在s平面找不到收敛域，那么这个平面找不到收敛域，那么这个信号的拉普拉斯变换就不存在信号的拉普拉斯变换就不存在252023年年5月月9日星期二日星期二信号
17、与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论关于拉普拉斯变换的一些推论v如果信号的拉普拉斯变换的收敛域包含如果信号的拉普拉斯变换的收敛域包含j，则该信号的傅里叶变换存在，可以令则该信号的傅里叶变换存在，可以令s=j来得到相应的傅里叶变换来得到相应的傅里叶变换)(FT)j()(jtxXsXsv有始有终信号和能量有限信号，存在拉氏有始有终信号和能量有限信号，存在拉氏变换和收敛域变换和收敛域v对于一些比指数函数信号增长更快的信号对于一些比指数函数信号增长更快的信号不存在拉氏变换，除非时间有限不存在拉氏变换，除非时间有限(0tT)Ba
18、ck262023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.2 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 在许多拉氏变换的应用中的信号为因果在许多拉氏变换的应用中的信号为因果信号，即信号只有在时间信号，即信号只有在时间t0时才有非零时才有非零值。这时双变拉氏变换就退化为单边拉值。这时双变拉氏变换就退化为单边拉氏变换：氏变换：积分下限选择积分下限选择0-基于以下两点基于以下两点v适用于适用于t=0时出现不连续点和冲激的一类时出现不连续点和冲激的一类信号信号v直接分析或求解具有非零起始状态即直接分析或求解具有非零起始状态即0-起起始状态的微分方程始状态的微分方程0de)(
19、)(ttxsXst272023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.2 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较单边与双边拉普拉斯变换的比较v对于对于t0的情况的情况时移性质表明，信号在时域延迟时移性质表明，信号在时域延迟t0后，后，就相应于原信号的拉普拉斯变换乘就相应于原信号的拉普拉斯变换乘以复指数以复指数e-st0如果在拉普拉斯变换式中出现如果在拉普拉斯变换式中出现s的指的指数形式，这通常是由时域的移位引数形式，这通常是由时域的移位引起的起的342023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.
20、3.2 时移性质时移性质开关周期信号的拉普拉斯变换开关周期信号的拉普拉斯变换)2()()()()()(111TtxTtxtxtutxtxpsTnnsTsTsTsXsXsXsXsXsXe1)(e)()(e)(e)()(1011211352023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.2 时移性质时移性质【例【例6-9】计算图示信号的拉氏变换计算图示信号的拉氏变换2Ot46810.x(t)1v解：由图可知开关周期解：由图可知开关周期T=4，其中主周期，其中主周期x1(t)=u(t)-u(t-2)e1(1)(21sssX)e1(1e11e1)()(241ss
21、sTssXsX362023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.3 复频域复频域(s域域)移位性质移位性质 证明证明)(e)(0LT0ssXtxts)(de)(dee)(e)(LT00)(0000ssXttxttxtxtsssttstsv时间函数时间函数x(t)乘以复指数引起了拉普乘以复指数引起了拉普拉斯变换中复频率的移位拉斯变换中复频率的移位372023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.3 复频域复频域(s域域)移位性质移位性质【例【例6-10】求】求e-atcos0tu(t)和和e-atsin0tu
22、(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换v解：利用例解：利用例6-7得到的结果得到的结果0)Re(,)(cos202LT0sssttu0)Re(,)(sin2020LT0ssttu202LT0)()(coseasasttuat2020LT0)()(sineasttuat382023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.3 复频域复频域(s域域)移位性质移位性质【例【例6-11】已知已知x(t)u(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换为为X(s),求求cos0tx(t)u(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换v解：利用欧拉公式解：利用欧拉公式)()(ee21)()(
23、cos00jj0tutxtuttxtt)j()j(21)()(cos00LT0sXsXtuttx392023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.4 尺度变换性质尺度变换性质证明证明asXaatxLT1)(aR,a0 asXaexatatxatxasst1d)(1de)()(LT0)/(0v是傅里叶变换中尺度变换性质在是傅里叶变换中尺度变换性质在s域内域内的直接推广形式，对时域信号的压缩的直接推广形式，对时域信号的压缩将导致复频域信号的扩展，反之亦然。将导致复频域信号的扩展，反之亦然。v该性质只适用于缩放因子该性质只适用于缩放因子a0的情况的情况40
24、2023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.5 时域微分性质时域微分性质时域微分性质的数学表示时域微分性质的数学表示)0()()(ddLTxssXtxt)0()0()()(dd2LT22xsxsXstxt)0()0()0()()(dd23LT33 xxsxssXstxt)0()0()0()0()()(dd)1()2(21LTnnnnnnnxsxxsxssXstxt0)()(dd)0(trrrtxtx412023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.5 时域微分性质时域微分性质时域微分性质的证明时域微分性质
25、的证明)0()(de)(e)(de)(dd)(ddLT000 xssXttxstxttxttxtststst422023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.5 时域微分性质时域微分性质【例【例6-12】已知信号】已知信号x(t)=e-2tu(t),求其微求其微分的拉普拉斯变换分的拉普拉斯变换v解：解：21)(eLT2stut2)0()()(ddLTssxssXtxt)()(e2)(dde)(e2)(dd222ttututtutxtttt21212)(ddLTssstxtv另解另解432023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章
26、第章第1次课次课6.3.6 复频域复频域(s域域)微分性质微分性质 s域微分性质的数学表示域微分性质的数学表示)(dd)(LTsXsttx)(dd)(LTsXsttx)(dd)1()(LTsXstxtnnnnv证明：拉普拉斯变换的定义式对证明：拉普拉斯变换的定义式对s求导求导0de)()(ttxsXst)(LTde)()(dd0ttxtttxsXsst442023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.6 复频域复频域(s域域)微分性质微分性质【例【例6-12】求】求x(t)=te-atu(t)的拉氏变换的拉氏变换v解：解：astuat1)(eLT2L
27、T)(11dd)(easasstutat2LT1)(sttu452023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.7 卷积性质卷积性质卷积定理的数学表示卷积定理的数学表示v证明证明)()()()(LTsHsXthtx00000dde)()()(ded)()()(ded)()()()()()(LTttuthxttuthxttuthuxthtxststst)()()(de)(de)()(dde)()()()()(LT0000sHsXsHxsHxttuthxthtxssst462023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6
28、.3.7 卷积性质卷积性质关于卷积定理的补充说明关于卷积定理的补充说明v利用拉普拉斯变换的卷积性质，可以将时利用拉普拉斯变换的卷积性质，可以将时域的卷积运算变换为域的卷积运算变换为s域中的代数运算，再域中的代数运算，再作拉普拉斯逆变换就可求得卷积结果作拉普拉斯逆变换就可求得卷积结果v若若x(t)是输入信号，是输入信号，h(t)是系统的单位冲激是系统的单位冲激响应，它们的卷积是系统的零状态响应响应，它们的卷积是系统的零状态响应v系统函数系统函数H(s)的另一种定义形式的另一种定义形式)()()(sXsYsH472023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.
29、3.7 卷积性质卷积性质【例【例6-14】求图示信号求图示信号x(t)的拉氏变换的拉氏变换v解：解：o信号信号x(t)可由信号可由信号x1(t)进行自卷积得到进行自卷积得到2Ox(t)1t1t1Ox1(t)1)()()(11txtxtx)e1(1)(1sssXo由卷积性质，求得由卷积性质，求得 2211)e1(1)()()(sssXsXsX482023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.8 时域积分性质时域积分性质时域积分性质的数学表示时域积分性质的数学表示v证明证明ssXxt)()d(LT0tdxtuxtutx0)(d)()()()(ssXsUs
30、Xtutx1)()()()()(LTssXtutxxt)()()(LTd)(LT0492023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.8 时域积分性质时域积分性质【例【例6-15】求图示信号求图示信号x(t)的拉氏变换的拉氏变换v解解o对信号对信号x(t)求导，求导，x(t)波形如图所示波形如图所示2Ox(t)1t1t1O1-1x(t)1()1()()(ttututxssstxe)e1(1)(LTo对对x(t)积分即得到积分即得到x(t)，因此，因此 ssssstxtxe1)e1(1)(LT)(LT2502023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信
31、号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.9 初值和终值定理初值和终值定理初值定理初值定理v如果如果x(t)和它的导数的拉氏变换均存在，和它的导数的拉氏变换均存在，且且 存在存在,则则v证明证明o利用利用LT的时域微分性质，并进行分部积的时域微分性质，并进行分部积分，经整理可得到上述结果分，经整理可得到上述结果)(limssXs)(lim)0(ssXxs512023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.9 初值和终值定理初值和终值定理终值定理终值定理v如果如果x(t)和它的导数的拉氏变换均存在，和它的导数的拉氏变换均存在，且且 存在，即存在，即sX(
32、s)在在j轴上或者轴上或者在在s平面的右半平面上没有极点，则平面的右半平面上没有极点，则v证明证明o利用利用LT的时域微分性质，并进行分部积的时域微分性质，并进行分部积分，经整理可得到上述结果分，经整理可得到上述结果)(limtxt)(lim)(lim0ssXtxst522023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课6.3.9 初值和终值定理初值和终值定理【例【例6-16】根据信号的拉氏变换，判断根据信号的拉氏变换，判断是否存在终值是否存在终值 ssX1)(11lim)(lim0sstust21)(ssXsssX1)(21)(ssX2)(ssssX202)(sssX2022)(ssssXBack532023年年5月月9日星期二日星期二信号与系统信号与系统 第第6章第章第1次课次课作业一作业一6-1(2)(5)6-2(3)(6)(9)6-4(2)(4)Back
