1、二维形式的柯西二维形式的柯西不等式（不等式（1 1）教学要求教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点教学难点：理解几何意义.1.提问：提问：二元均值不等式有哪几种形式？二元均值不等式有哪几种形式？2.练习：已知练习：已知a、b、c、d为实数，为实数，求证求证:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 证法：（比较法）证法：（比较法）:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 =a2d22acbd+b2c2 =(ad-bc)20(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且
2、仅当当且仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.教学过程教学过程：一、复习准备一、复习准备：.,)(1等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则实实数数都都是是若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba 22222)()(bdacdcba 你能简明地写出这个定理你能简明地写出这个定理的其它证明的其它证明？证证明明：）.(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 (ad-bc)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 (1)二、讲授新课：二、讲授新课：1.二维形式的二维形式的柯西柯西不等式：不等式：
3、当且仅当当且仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二维形式的柯西不等式的二维形式的柯西不等式的变式变式:2332244)()(,1babababa 证明证明为实数为实数已知已知例例证明证明:a、bR 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！简洁明了！解答漂亮！柯西不等式柯西不等式的几何的几何意义：意义：oyx(c,d)(a,b)|cos|1，当向量、中有零向量或|cos|=1(即向量、共线)，等号成立|=|cos|，用平面(二维)向量坐标表示不等式(2)得 即|.(
4、2)(1)式式 与与(2)式的关系？式的关系？(1)式是式是(2)式的式的坐标坐标表示表示，(1)式式的几何意义的几何意义是是(2).2.柯西不等式柯西不等式的向量形式的向量形式:定理定理2：设、是两个向量，则|当且仅当是零向量或存在实数k，使=k时，等号成立.|cos|1，当向量、中有零向量或|cos|=1(即向量、共线)，等号成立|=|cos|，即|.(2)证明：.分析:平方 应用柯西不等式不等式 当且仅当当且仅当ad=bc时，等号成立时，等号成立.讨论：其几何意义？（构造三角形）这个图中有什么不等关系这个图中有什么不等关系?设点设点P1(a,b),P2(c,d);P2(c,d)O Oxy
5、P1(a,b)oxy P1(a,b)P2(c,d)当当a=c=0或或b=d=0时，时，ad=bc，等号等号成立；成立；2222211222222222211112222222211121222222211121222222211221122221212:()x2 x2 x2()x22 (x)()xyxyyxyxyxyyx xy yxyyx xy yxyx xxyy yyxyy证明3.二维形式的三角二维形式的三角不等式：不等式：22222211221212()()xyxyxxyy221221221222222212121)()()(zzyyxxzyxzyx 三三维维形形式式的的三三角角不不等等式
6、式22222112222122221)()()(nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式小结小结:.,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba (4).,.kk 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式当 且 仅 当是 零 向 量 或 存 在 实 数使时 等 号 成 立bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(221221222221212211)()(R,y,x,y,)()5(yyxxyxyxx那么设二维形式的三角不等式作业作业:课本习题课本习题3.1 第第1、3、7、8题另加下面题另加下面 2题题
