1、2.2.2 用样本的数字特征估计总用样本的数字特征估计总体的数字特征体的数字特征1频率分布直方图频率分布直方图 在频率分布直方图中，纵轴表示在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频，数据落在各小组内的频 率用率用表示，所有长方形面积之和表示，所有长方形面积之和.提示：提示：注意频率分布条形图和频率分布直方图是两个不同的概念虽然它们的注意频率分布条形图和频率分布直方图是两个不同的概念虽然它们的 横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴(矩形的高矩形的高)表示频率；频表示频率；频 率分布直方图的纵轴率分布直方图的纵轴(矩形的高矩形的
2、高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等 于该组距上的矩形的面积于该组距上的矩形的面积频率与组距的比值频率与组距的比值小长方形的面积小长方形的面积等于等于12频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ，就得频率分布折线图就得频率分布折线图 (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所有的组数增加，总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所有的组数增加，减减 小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密
3、度曲线小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线 中点中点组距组距3茎叶图茎叶图当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是从统计图上没有当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是从统计图上没有 丢失，二是方便记录与表示，但当样本数据较多或数据位数较多时，丢失，二是方便记录与表示，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就不太方便了茎叶图就不太方便了原始原始 数据数据4众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数 (1)在一组数据中，出现次数在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数的数据叫做这组数据的众数 (2)将一组数据按大小依次排列，把处在将一组数据按
4、大小依次排列，把处在 位置的一个数据位置的一个数据(或中间两个数据的平或中间两个数据的平 均数均数)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数 (3)如果有如果有n个数个数x1，x2，xn，那么，那么 叫做这叫做这n个数的平均数个数的平均数较多较多中间中间5标准差和方差标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种标准差是样本数据到平均数的一种 (2)s.(3)方差：方差：(xn是样本数据，是样本数据，n是样本容量，是样本容量，是样本平均数是样本平均数)平均距离平均距离【思考【思考】总体平均数与总体方差分别反映了总体的什么特征，有哪些总体平均数与总体方差分别反映了总体的什么特征，有哪些区别？区
5、别？答案答案：总体平均数即总体期望值，是反映总体平均水平的一个值；而：总体平均数即总体期望值，是反映总体平均水平的一个值；而总体方差是反映总体的波动情况的一个量，二者反映的角度不同，不总体方差是反映总体的波动情况的一个量，二者反映的角度不同，不可相互比较，但有些问题在总体期望值差距不大时，可考虑用总体方可相互比较，但有些问题在总体期望值差距不大时，可考虑用总体方差进一步区分差进一步区分1(2009福建卷福建卷)一个容量为一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在则样本数据落在(10,40上的频率为上的频率为()A0.13 B0.3
6、9 C0.52 D0.64 解析：解析：由列表可知样本数据落在由列表可知样本数据落在(10,40上的频数为上的频数为52，故其频率为，故其频率为0.52.答案：答案：C组别组别(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70频数频数12132415161372.右图是根据右图是根据山东统计年鉴山东统计年鉴2007中的资料作成的中的资料作成的1997年至年至2006年我省年我省 城镇居民百户家庭人口数的茎叶图图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的茎叶图图中左边的数字从左到右分别表示 城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇城
7、镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇 居民百户家庭人口数的个位数字从图中可以得到居民百户家庭人口数的个位数字从图中可以得到1997年至年至2006年我省年我省 城镇居民百户家庭人口数的平均数为城镇居民百户家庭人口数的平均数为()A304.6 B303.6 C302.6 D301.6 解析：解析：303.6.答案：答案：B 3从某项综合能力测试中抽取从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差人成绩的标准差 为为()A.B.C3 D.解析：解析：由标准差公式计算可得由标准差公式计算可得 答案：答案：B分数分数54321
8、人数人数20103030104(2009湖北卷湖北卷)如图是样本容量为如图是样本容量为200的频率的频率 分布直方图分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在样本数据落在6,10)内的频数为内的频数为_，数据落在数据落在2,10)内的概率约为内的概率约为_ 解析：解析：2000.08464；(0.020.08)40.4.答案：答案：640.45:甲、乙两台机床同时加工直径为甲、乙两台机床同时加工直径为10 mm的零件，为了检验产品的的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下件进行测量，测得数据如下(
9、单位单位mm)甲甲：99,100,98,100,100,103乙乙：99,100,102,99,100,100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求思维点拨：思维点拨：已知一组数据已知一组数据x1，x2，xn，其平均数为，其平均数为 ，方差为，方差为标准差为标准差为解：解：(1)(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2 (99100)2(100100)2(102100)2(
10、99100)2(100100)2(100100)21.(2)因为因为，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求加工零件更符合要求1平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简 明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准 差描述波动大小差描述波动大小附注：2平均数、方差的公式推广平均数、方差的公式推广 (1)若数据若数据x1，x2，xn的平均数为
11、的平均数为 ，那么，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是的平均数是m a.(2)数据数据x1，x2，xn的方差为的方差为s2.s2 数据数据x1a，x2a，xna的方差也为的方差也为s2；数据数据ax1，ax2，axn的方差为的方差为a2s2.二二、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系与频率分布直方图的关系 1、众数在样本数据的频率分布直方图众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。中，就是最高矩形的中点的横坐标。例如，在上一节调查的例如，在上一节调查的100位居民的月位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频均用水量的问题中，
12、从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是数是2.25t.如图所示：如图所示：频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)2、在样本中，有在样本中，有50的个体小于或等于的个体小于或等于中位数，也有中位数，也有50的个体大于或等于中位的个体大于或等于中位数数，因此，在频率分布直方图中，中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表此可以估计中位数的值。下图中虚线代
13、表居民月均用水量的中位数的估计值，此数居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为据值为2.02t.频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)说明说明:2.02这个中位数的估计值这个中位数的估计值,与样本与样本的中位数值的中位数值2.0不一样不一样,这是因为样本数这是因为样本数据的频率分布直方图据的频率分布直方图,只是直观地表明只是直观地表明分布的形状分布的形状,但是从直方图本身得不出但是从直方图本身得不出原始的数据内容原始的数据内容,所以由频率分布直方所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的图得到的中位
14、数估计值往往与样本的实际中位数值不一致实际中位数值不一致.3、平均数是频率分布直方图的平均数是频率分布直方图的“重重心心”.是直方图的平衡点是直方图的平衡点.n 个样本数据的平均个样本数据的平均数由公式数由公式:)xxx(n1n21X=值为：在频率分布直方图中每个小矩形值为：在频率分布直方图中每个小矩形度面积乘以小矩形的底边中点的横坐标度面积乘以小矩形的底边中点的横坐标之和之和频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)三三 三种数字特征的优缺点三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数据的最大集中、众数体现了样本
15、数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征法客观地反映总体特征.如上例中众数是如上例中众数是2.25t,它告诉我们它告诉我们,月均用水量为月均用水量为2.25t的的居民数比月均用水量为其它数值的居民居民数比月均用水量为其它数值的居民数多数多,但它并没有告诉我们多多少但它并没有告诉我们多多少.2、中位数是样本数据所占频率、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。对极端值的不敏感有时也会成为缺点
16、。如上例中假设有某一用户月均用水量如上例中假设有某一用户月均用水量为为10t，那么它所占频率为，那么它所占频率为0.01,几乎几乎不影响中位数不影响中位数,但显然这一极端值是不但显然这一极端值是不能忽视的。能忽视的。3、由于平均数与每一个样本的、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因数、中位数都不具有的性质。也正因如此如此，与众数、中位数比较起来，平，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息
17、，但平均数受数据中的极全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。可靠性降低。在频率分布直方图中，中位数、众数与平均数如何在频率分布直方图中，中位数、众数与平均数如何确定？确定？提示：提示：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.众数是众数是最高的矩
18、形的中点的横坐标最高的矩形的中点的横坐标.1(2009年上海高考)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为3【解析解析】由于甲地总体均值为3，中位数为4，即中间两个数(第5、6天)人数的平均数为4，因此后面的人数可以大于7，故甲地不符合乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总和为10，又由于方差大于0，
19、故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合丙地中中位数为2，众数为3,3出现的最多，并且可以出现8，故丙地不符合故丁地符合【答案答案】D2：(2009安徽高考安徽高考)某良种培育基地正在培育一种小麦某良种培育基地正在培育一种小麦新品种新品种A.将其与原有的一个优良品种将其与原有的一个优良品种B进行对照试验两种进行对照试验两种小麦各种植了小麦各种植了25亩，所得亩产数据亩，所得亩产数据(单位：千克单位：千克)如下：如下：品种品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,43
20、0,434,443,445,445,451,454品种品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)完成数据的茎叶图；完成数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种通过观察茎叶图，对品种A与与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论统计结论【解【解】(1)(2)由于每个品种的数据都只有由于每个品种的数据都只有25个，样本
21、不大，画茎叶个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据时记录新的数据(3)通过观察茎叶图可以看出：通过观察茎叶图可以看出：品种品种A的亩产平均数的亩产平均数(或或均值均值)比品种比品种B高；高；品种品种A的亩产标准差的亩产标准差(或方差或方差)比品种比品种B大，故品种大，故品种A的亩产稳定性较差的亩产稳定性较差3从甲、乙两品种的棉花中各抽测了从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度根棉花的纤维长度 (单
22、位：单位：mm)，结果如下：，结果如下：甲品种：甲品种：271273280285285287292294295 301303303307308310314319323 325325328331334337352 乙品种：乙品种：284292295304306307312313315 315316318318320322322324327 32933133333633734335609海南宁夏由以上数据设计了如下茎叶图：由以上数据设计了如下茎叶图：根据茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作根据茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：比较，写出两个统计结论：解：解：可从以下几
23、个结论中任意写出两个可从以下几个结论中任意写出两个乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度长度(或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度纤维长度)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散散(或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中度更集中(稳定稳定)甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大品种棉花的纤维长度的分散
24、程度更大)甲品种棉花的纤维长度的中位数为甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉，乙品种棉花的纤维长度的中位数为花的纤维长度的中位数为318 mm.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间在中间(均值附近均值附近)甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值352外，也大致对称，其分布较均匀外，也大致对称，其分布较均匀.4.(2009广东高考广东高考)随机抽取某中学甲、乙两班各随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，名同学，测量他们的身高测量他们的身高(单位：单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图：，获得身高数据的茎叶图如图：(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；计算甲班的样本方差；解解(1)乙班的平均身高较高乙班的平均身高较高(可由茎叶图判断或计算得可由茎叶图判断或计算得出出)(2)因为甲班的平均身高为因为甲班的平均身高为所以甲班的样本方差所以甲班的样本方差 21222922221272820257.2.
