1、第三章第三章 分离变量法分离变量法n分离变量法是求解线性偏微分方程定解问分离变量法是求解线性偏微分方程定解问题的普遍方法之一，它适用于各种类型的题的普遍方法之一，它适用于各种类型的偏微分方程。基本思想是将多元函数化为偏微分方程。基本思想是将多元函数化为单元函数，将偏微分方程化为常微分方程单元函数，将偏微分方程化为常微分方程进行求解。具体做法是：首先求出具有变进行求解。具体做法是：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。由其余的定解条件确定叠加系数。
2、n由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的解通过变量分离条件的解通过变量分离,将其转化为常微将其转化为常微分方程的定解问题分方程的定解问题.为此，我们首先给出为此，我们首先给出二阶线性常微分方程求解公式。二阶线性常微分方程求解公式。n二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为y”+p y+q y=0特征方程：特征方程：r2+p r+q=0特征根：特征根：r1 和和 r2.当当nr1 r2 都是实根时，其通解为都是实根时，其通解为 y(x)=A exp(r1x)+B exp(r2x)nr1、r2是两个相等的实根是两个相等的实
3、根时，其通解为时，其通解为 y(x)=A exp(r x)+B x exp(r x)nr1,2=i是一对共轭复根时是一对共轭复根时,其通解为其通解为 y(x)=exp(x)(A cosx+Bsinx)傅立叶级数傅立叶级数傅立叶展开定理：周期为傅立叶展开定理：周期为22的函数的函数f(x)f(x)可以展开为三角级数，展开式系数为可以展开为三角级数，展开式系数为11()cos,()sinnnaf xnxdx bf xnxdx狄利克雷收敛定理：狄利克雷收敛定理：若函数在一个周期内连续或只有有限个第若函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点且在一个周期内至多只有有限一类间断点且在一个周期内至多只有
4、有限个极值点，则当个极值点，则当x x是连续点时，级数收敛是连续点时，级数收敛于该点的函数值；当于该点的函数值；当x x是间断点时，级数是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值收敛于该点左右极限的平均值。傅立叶级数推广若函数若函数f(t)f(t)的周期为的周期为T=2LT=2L，则傅里，则傅里叶展开式为叶展开式为1021)sincos()(nLtnnLtnnbaatf,cos)(1LLLtnndttfLaLLLtnndttfLbsin)(1 1.1.有界弦的自由振动有界弦的自由振动 例1.研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：lxxtuxutuulxxuatuttlxx0),(),(0,0
5、,00,000022222 特点:方程齐次,边界齐次.设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有：取参数 .利用边界条件则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数由边值条件(i)方程通解为 0 (ii)时，通解 0 由边值条件得：C C1 1=C C 2 2=0=0 从而 ，无意义.0 无意义0 由边值条件：从而 即：(iii）时，通解 0 故而得再求解T：其解为 所以 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振动振动叠加.代入初始条件得：将 展开为Fourier级数，比较系数得 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 0 和 x
6、=l 处的第一类齐次边界条件决定的。则无穷级数解为如下混合问题的解 lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002 上，且 定理定理：若在区间解：令 ,得 化简:引入参数 得 例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件第二类边界条件得C1=C 2=0 从而 ，无意义 分离变量：(i)时，由边值条件(ii)时,(iii)时,则 而 由边值条件由边值条件从而本征值 本征函数 T 的方程其解为 所以 故代入初始条件:将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2.2.有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题 对于
7、齐次热传导方程的定解问对于齐次热传导方程的定解问题题,其解题过程和波动方程的过程其解题过程和波动方程的过程类似类似.所以下面的例题我们仅给出所以下面的例题我们仅给出主要步骤主要步骤.其中其中 为给定的函数为给定的函数.f x例齐次热传导方程的定解问题例齐次热传导方程的定解问题 令令 代入方程及边界条件中代入方程及边界条件中,并引入参数并引入参数 得得当当 或或 时时,特征值问题特征值问题当当 时时,由边界条件由边界条件 从而从而 特征函数为：特征函数为：T T 的方程的方程 解得解得 所以所以 将将 叠加叠加,利用初始条件确定系数利用初始条件确定系数21,sinnatlnnnu x tC ex
8、l将初始条件将初始条件 (,0)()u xf x代入上式，得代入上式，得 )(sin1xfxlnCnn lnxdxlnxflC0sin2所以系数所以系数 分离变量流程图xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)()0(LXXXXTaT/)/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),(txuu例细杆的热传导问题 长为长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，的温度相等，侧面绝热，端绝热，端绝热，端热量自端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为由散发
9、到周围介质中，介质温度恒为0 0，初始温度为，初始温度为 求此杆的温度分布。求此杆的温度分布。解：定解问题为解：定解问题为 设设 且且 得本征值问题得本征值问题 由由 及齐次边界条件，有及齐次边界条件，有 当 或 时,当 时,由由 得得 由由 得得 故故 xAxX cos)(即即 令令有有函数方程ry3r 2r 1r 1r2r3r图图 1 1由图由图1 1看出，函数方程看出，函数方程有成对的无穷多个实根有成对的无穷多个实根故本征值为：故本征值为：对应的本征函数 的方程：解为故 可以证明函数系 在 上正交由初始条件得将 展成以 为基底的付氏级数，确定（二）利用边界条件（二）利用边界条件,得到特征
10、值问题并求解得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程，（三）将特征值代入另一常微分方程，得到得到 （四）将（四）将 叠加，利用初始条件确定系数叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤分离变量法解题步骤（边界条件齐次）分离变量法适用范围：偏微分方程是线分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。用叠加原理。注注复习分离变量法：复习分离变量法：2(),0,0,0,(,0
11、)(,),(,0)(,),0,0,(0,)(,)0,0,0,(,0,)(,)0,0,0.ttxxyytuc uux ay b tuxyxy u xyxyx ay bu ytuayty btux tuxbtx at 求解下列定解问题求解下列定解问题(,)()()()0u x y tX x Y y T t解：设解：设 2()()()()()()TtXxYyc T tX xY y 2()()0,0,T tcT tt()()0,0,XxX xxa()()0,0.YyY yyb代入方程，得代入方程，得令令(0)()0XX a代入边界条件代入边界条件()()0,0,(0)()0.XxX xxaXX a得特
12、征值问题得特征值问题求得特征值和对应的特征函数为求得特征值和对应的特征函数为2,()sin,1,2,.mmmmm xX xAmaa 类似地类似地,我们得到我们得到(0)()0YY b()()0,0,(0)()0.YyY yybYY b其特征值和对应的特征函数为其特征值和对应的特征函数为2,()sin,1,2,.nnnnn yY yBnbb 及特征值问题及特征值问题2222mnmnab22()()0,mnmnmnTtc Tt()cossinmnmnmnmnmnTtCctDct记记代入关于代入关于t t的方程的方程上述方程通解为上述方程通解为(,)()()(),mnmnmnmnux y tXx Y
13、y Tt1111(,)(,)()()()m nmnm nnmnmuxy tuxy tXx Yy Tt 11(cossin)sinsinmnmnmnmnnmm xn yactbctab,.mnmnmnmnmnmnaC A BbD A B于是得到于是得到利用叠加原理利用叠加原理,得到定解问题的形式解得到定解问题的形式解其中系数其中系数 下面下面,我们利用初始条件确定系数我们利用初始条件确定系数 11(,0)(,)sinsinmnnmm xn yu x yx yaab11(,0)(,)sinsintmn mnnmm xn yu x yx ybcab由于三角函数系的正交性由于三角函数系的正交性,得得 0 0 0 04(,)sinsin,4(,)sinsin,abmnabmnmnm xn yax ydxdyababm xn ybx ydxdyabcab 感谢您的阅读！为了便于学习和使用，本文档下载后内容可随意修改调整及打印。学习永远不晚。JinTai College
