1、数列、函数的极限数列、函数的极限第二节 数列及极限一、数列的极限 23(),1,2,(),nnnxf n nx x xxxxxf n1nn对于整标函数由于它取全体正整数,因此,对应函数值可记作通常记作数列其中每一个值叫作数列的一个项,叫作数列的通项.下面进一步研究当自变量n无限增大时,数列的变化趋势 请看下面三个数列.13 41111(1)2,2 324821 4(1)(3)2,2 3nnnnnn 1 (2)-,13 14为观察各数列的变化情况将它的前几项分别在数轴上表示出来图图 13-14 三个数列的变化趋势nn+112n1(1)nnn 012341652(3)x1214181161320(
2、2)x(1)x015443322 ,lim,nnnnnnxnxxnxAnxA 定义1 数列当 无限增大时值无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫作数列当时的极限 记作 或时(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.0,1,2,3,nnxnMxM n (2)有极限的数列一定有界,有界数列不一定有极限,无界数列一定无极限.一个数列是有界的,是指存在一个与 无关的常数使得 1,3;,1,nnn 例如数列等有极限则有界 数列 1+(-1)虽有界 但无极限;数列 2是无界的 所以无极限.数列极限的性质第三节 函数的极限(1),;xxxxxx 即自变量 的绝对值无限增大.如果 现在从某一时刻起只取正值且
3、无限增大,记作如果从 某一个时刻起只取负值而其绝对值无限增大,则记为000000000(2),0;,0.xxxxxxxxxxxxxxx即自变量 无限趋近于定值但不等于如果 只取比 大的值且趋向于记作如果 只取比 小的值且趋向于记作1,().xf xx先考察当时函数的变化趋势13 15,1()0;1,()0.,()0.xxf xxxxf xxxf x 由图可以看出,当 取正值且无限增大即时 函数的值无限接近于常数 当 取负值且其绝对值无限增大即时 函数的值也无限接近于常数 因此 当 的绝对值无限增大时的值无限接近于11315()xfxx 图 时变化趋势xyO一、,()xf x 当时数函的极限1(
4、),(),()()lim(),()(lim(),().)xxxxf xAAf xxxf xAxf xAf xAxf xA 定义 如果当或时 函数无限接近于一个确定的常数那么称 为函数当或时极限记作 简记或简记11,lim0lim0 xxxx由上述定义可知及()f x对于上述函数的变化趋势,有以下定义.例：我们来看看y=arctanx的极限13 16limarctan,limarctan22xxxx 又如,如图所示,13 16()arctanxf xx图 时变化趋势22arctanyxxyO(),(),lim(),()xxxf xAAf xxf xAxf xA 定义2 如果当 的绝对值无限增大(
5、即)时,函数无限接近于一个确定的常数那么称 为函数当时极限 记为：或当时lim()lim()lim()lim()lim()lim().xxxxxxf xf xf xf xf xf x 注意两点：1、如果和有一个不存在则不存在 2、与都存在但不相等，那么也不存在先看下面的例子.12()22xf xx考察时函数变化趋势(见图13-18)1.99,1.999,1.9999,2,()2.995,2.9995,2.99995,3;2,2.1,2.01,2.001,2.0001,2,()3.05,3.005,3.0005,3.000053xxf xxxf x 当 从左侧无限接近于2时,若 取时 对应的函数
6、从当 从右侧无限接近于 时 若 取时 对应的函数从1,2,()22xf xx 由此可知当时函数的值无限接近于3.二、0,()xxf x当时数函的极限1 31 82()122xfxx图 时,的 变 化 趋 势32O2122yxyx00000003(),(),()lim(),().()xxf xxxxxf xAAf xxxf xAxxf xA xx 定义 设函数在点 的左右近旁有定义(点 可除外 如果当时 函数无限接近于一个确定的常数那么 就叫作函数当时的极限,记作或当时从左右两侧趋于00()xxf xx 由定义可知,研究函数的极限只考虑 无限接近于 时的变化趋势,而与在是否有定义无关.22lim
7、()lim(2)3.2xxxf x可由定义表示为000004(),()lim()(0)xxxxf xAAf xxxf xAf xA 定义 当自变量-0时,函数无限接近于一个确定的常数则称 为函数当时的左极限,记为或 000000,(),(),lim()(0)xxxxf xAAf xxxf xAf xA 如果当自变量时 函数无限接近一个确定的常数则称 为函数当时的右极限 记为或三、左极限与右极限2 02 02 02 0()222(20)lim()lim23,(20)2lim()lim23,(20)(20),2()22.2xxxxxf xxxff xfxf xffxf xx 由图13-18看出,函
8、数当时的左极根为右极限为即它们都有等于函数当时的极限0000,(),(0)(0)lim()xxf xxxf xf xAf xA 由左右极限定义 容易得到 函数当时 极限存在的充分必要条件是它的左极限和右极限都存在并且相等,即1,4()0,0.10 xxf xxxxx(0)例 讨论函数 (=0,当时的极限)()解0 00 00 00 00()0(0 0)lim()lim(1)1,(0 0)lim()lim(1)1,0(),lim()(13 21).xxxxxf xxff xxff xxxf xf x 作此分段函数图形,由图可知函数当时右极限为左极限为因为当时函数左右极限虽存在但不相等 所以不存在
9、见图1321图 例4示意图O111yx1yxxy2151.1xyxx例 讨论函数当时极限解22111,1,11lim2.1xxxyxxxx 函数的定义域为(-,-1)(-1,+).因为所以如图13-22所示由图可知,这时必有左右极限存在且相等.1322图 例5示意图12O211xyxxy1()xf xe(1),.f(x)惟一性 如果函数的极限存在 则极限惟一0()00(2)lim(),()(),(),.xxxf xAMf xxxNxNf xM或 有界性 如果那么存在一个正数使得函数在点不包括点的某一个邻域内(或存在一个正数当时)总有即有极限的函数局部有界性00000(3)()()(),lim()lim()lim(),lim()xxxxxxxxxg xf xh xg xh xAf xf xA 夹逼性 设在 的某一邻域内有且则存 且四、函数极限的性质课堂练习题31131.lim.11计算极限xxx31232.lim.5计算极限xxxxx
