1、24.4.1 弧长和扇形面积（1）提出问题提出问题（1）什么叫做弧？（2）什么是弧长？（3）弧长的大小由哪些量决定？（4）如何求弧长呢？半径和圆心角半径和圆心角弧长是弧的长度弧长是弧的长度.（1 1）半径为）半径为R的圆的圆,周长是多少？周长是多少？C =2R（2 2）在半径为）在半径为R的圆中的圆中，90的圆心角的圆心角 所对的弧长是多少？所对的弧长是多少？问题探究一901122=36042RRR （3 3）若设）若设O的的半径为半径为R，n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长 为为 l，则则2360nR l=.180n R弧长公式公式解析：公式解析：l是弧长，是弧长，R是半径，是半径，n是
2、弧所对的圆心角的度数是弧所对的圆心角的度数.在公式中在公式中n没有单位，弧长没有单位，弧长 l 的单位和半径的单位和半径R的单位一致的单位一致.180n Rl1.1.半径为半径为2的圆中，的圆中，120的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？12024=.18032.2.半径为半径为2的圆中，一段弧长为的圆中，一段弧长为2的弧，求它所对的的弧，求它所对的 圆心角的度数圆心角的度数.22180n RlR，22.180n 180.n180n Rl例例1 1 制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”，再下料，试计算下图所示管道的展直长度再下料，
3、试计算下图所示管道的展直长度L(结果取整数结果取整数).).分析：分析：管道的展直长度管道的展直长度 L=AC的长的长+BD的长的长+弧弧AB的长的长解：由弧长公式解：由弧长公式 ，可得，可得 的长的长l100 900500180因此管道的展直长度因此管道的展直长度 L （mm）.2 700 15702970答：管道的展直长度约为答：管道的展直长度约为2970 mm 1570 mm（）.180n Rl AC=AO=OC.已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的弧长是()已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的弧长是()在RtOAD中，利用勾股定理，得再下料，试计算下图所示管道的展直长度
4、L(结果取整数).已知，还需要求出 所对的圆心角AOB的度数.答：管道的展直长度约为2970 mm则这个扇形的半径 R=_圆心，OA为半径的圆交AC于点B，若OA=6，求 的长.（2）如何求扇形的面积呢？又 ADOC,AC=AO=OC.例2 如图，在AOC中，AOC=90，C=20，以O为在RtOAD中，利用勾股定理，得由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形例例2 2 如图，在如图，在AOC中，中，AOC=90，C=20，以，以O为为圆心，圆心，OA为半径的圆交为半径的圆交AC于点于点B，若，若OA=6，求，求 的长的长.20707040分析：分析：因为弧长公式中弧长与圆心角
5、和半径因为弧长公式中弧长与圆心角和半径两个因素有关，要求两个因素有关，要求 的长，半径的长，半径OA已知，还需要求出已知，还需要求出 所对的圆心角所对的圆心角AOB的度数的度数.C=20AOB=40A=70 180n Rl40641803例例2 2 如图，在如图，在AOC中，中，AOC=90，C=20，以，以O为为圆心，圆心，OA为半径的圆交为半径的圆交AC于点于点B，若，若OA=6，求，求 的长的长.20707040扇形扇形由组成圆心角的由组成圆心角的两条半径两条半径和圆心角所对的和圆心角所对的弧弧围成的图形围成的图形叫做叫做扇形扇形记作：扇形记作：扇形OAB扇形的定义记作：扇形记作：扇形O
6、CED提出问题提出问题（1）扇形的面积由哪些量决定？（2）如何求扇形的面积呢？半径和圆心角半径和圆心角6 m，其中水面高0.例2 如图，在AOC中，AOC=90，C=20，以O为在RtOAD中，利用勾股定理，得于点C,连接AC.如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线 l上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B所经过的路线长度为_.再下料，试计算下图所示管道的展直长度L(结果取整数).例2 如图，在AOC中，AOC=90，C=20，以O为从而AOD=60,AOB=120.（2）你是如何得到这两个公式的？如何运用？已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的弧长是()
7、解：由弧长公式 ，可得 的长则这个扇形的半径 R=_答：截面上有水部分的面积约为0.OD=OCDC=0.半径为2的圆中，一段弧长为2的弧，求它所对的例2 如图，在AOC中，AOC=90，C=20，以O为由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形解：由弧长公式 ，可得 的长（3）弧长的大小由哪些量决定？例3 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.（1 1）半径为）半径为R的圆的圆,面积是多少？面积是多少？S=R2（2 2）若设）若设O的半径为的半径为R，圆心角为圆心角为n的的 扇形面积为扇形面积为S，则则问题探究二2360nR=S扇形2.360n R公式解析：公式解析：S是
8、扇形面积，是扇形面积，R是半径，是半径，n是扇形圆心角的度数是扇形圆心角的度数.2360n RS扇形扇形面积公式22=3602 180n Rn R180n Rl比较扇形面积与弧长公式比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积用弧长表示扇形面积:12SlR扇形2=360n RS扇形12 180n RR12 l R2.2.已知扇形面积为已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为60，则这个扇形的半径则这个扇形的半径 R=_=_ 1.1.已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120，半径为，半径为2，则这个扇形的，则这个扇形的面积面积S扇形=_.=_.2433.3.已知半径为已知半径为2的扇形，其弧长为的扇
9、形，其弧长为 ，则这个扇形的面积为则这个扇形的面积为_4343132360n RS扇形12SlR扇形例例3 3 如图如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积求截面上有水部分的面积（精确到（精确到0.01 m2）.分析：分析：有水部分的面积有水部分的面积 =S扇形OAB SOAB弧弧AB的中点到弦的中点到弦AB的距离的距离半径半径OA分析：分析：有水部分的面积有水部分的面积 =S扇形扇形OAB SOAB半径半径OA扇形扇形OAB圆心角圆心角AOB底底ABOAB高高OD=OCDC特殊特殊AOC半
10、弦半弦ADRtOAD60 OC=0.6 m,DC=0.3 m,OD=OCDC=0.3(m).OD=DC.又又 ADOC,AD垂直平分垂直平分OC.解：连接解：连接OA,OB,过过O作作OCAB于于D,交交 于点于点C,连接连接AC.根据垂径定理，根据垂径定理，OC平分平分AB，在在RtOAD中，利用勾股定理，得中，利用勾股定理，得 AC=AO=OC.从而从而AOD=60,AOB=120.33(m).1022ADOAOD220.60.360S =S扇形OAB SOAB20.22(m).130.12230.3210 答：截面上有水部分的面积约为答：截面上有水部分的面积约为0.22 m2.21201
11、0.63602AB OD60（1）弧长和扇形面积公式是什么？（2）你是如何得到这两个公式的？如何运用？2360n RS扇形180n Rl，1.2lR2360180nn RlR，22.360360nn RSR扇形布置作业布置作业1.已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120，半径为，半径为6，则扇形的弧长是则扇形的弧长是()()(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2.如图所示，把边长为如图所示，把边长为2的正方形的正方形ABCD的一边放在定直线的一边放在定直线 l上，按顺时针方向上，按顺时针方向绕点绕点D旋转到如图的位置，则点旋转到如图的位置，则点B运动到运动到点点B所经过的路线长度为所经过
12、的路线长度为_._.已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_.解：由弧长公式 ，可得 的长半径为2的圆中，一段弧长为2的弧，求它所对的从而AOD=60,AOB=120.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形在RtOAD中，利用勾股定理，得因为弧长公式中弧长与圆心角和半径有水部分的面积 =S扇形OAB SOAB弧AB的中点到弦AB的距离在RtOAD中，利用勾股定理，得再下料，试计算下图所示管道的展直长度L(结果取整数).半径为2的圆中，一段弧长为2的弧，求它所对的例2 如图，在AOC中，AOC=90，C=20，以O为从而AOD=60,AOB=120.3 m，求截面上有水部分的面积（精确到0.解：由弧长公式 ，可得 的长 OD=OCDC=0.解：连接OA,OB,过O作OCAB于D,交布置作业布置作业3.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，分别以中，分别以B，D为圆心，为圆心，以正方形的边长以正方形的边长a为为半径半径画弧，形成树叶形画弧，形成树叶形(阴影阴影部分部分)图案，则树叶形图案的面积为图案，则树叶形图案的面积为_._.同学们，再见！
