1、机机械振动械振动知识点一、简谐运动单摆、单摆的周期公式知识点一、简谐运动单摆、单摆的周期公式1简谐运动简谐运动(1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向_的回复力作用下的振动。的回复力作用下的振动。(2)平衡位置：物体在振动过程中平衡位置：物体在振动过程中_为零的位置。为零的位置。(3)回复力回复力定义：使物体返回到定义：使物体返回到_的力。的力。方向：总是指向方向：总是指向_。来源：属于来源：属于_力，可以是某一个力，也可以是几个力力，可以是某一个力，也可以是几个力的的_或某个力的或某个力的_。平衡位置平衡位置回复力回复力平衡位置平衡位置平衡位置平
2、衡位置效果效果合力合力分力分力(4)简谐运动的特征简谐运动的特征动力学特征：动力学特征：F回回_。运动学特征：运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意注意v、a的变化趋势相反的变化趋势相反)。能量特征：系统的机械能守恒，振幅能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。不变。kx2简谐运动的两种模型简谐运动的两种模型模型模型弹簧振子弹簧振子单摆单摆示意图示意图简谐运简谐运动条件动条件(1)弹簧质量可忽略弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内在弹簧弹性限度内(1)摆线为不可伸缩的轻摆线为不可伸缩的轻细线细线(2)无空气等阻
3、力无空气等阻力(3)最大摆角小于最大摆角小于10原长原长重力重力弹力弹力知识点二、简谐运动的公式和图象知识点二、简谐运动的公式和图象1简谐运动的表达式简谐运动的表达式(1)动力学表达式：动力学表达式：F_，其中，其中“”表示回复力与位表示回复力与位移的方向相反。移的方向相反。(2)运动学表达式：运动学表达式：x_，其中，其中A代表振幅，代表振幅，2f表示简谐运动的快慢。表示简谐运动的快慢。kxAsin(t)2简谐运动的图象简谐运动的图象(1)从从_开始计时，函数表达式为开始计时，函数表达式为xAsin t，图，图象如图象如图1甲所示。甲所示。平衡位置平衡位置图图1(2)从从_开始计时，函数表达
4、式为开始计时，函数表达式为xAcos t，图象如图图象如图1乙所示。乙所示。最大位移处最大位移处知识点三、受迫振动和共振知识点三、受迫振动和共振1受迫振动受迫振动系统在系统在_作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期迫振动的周期(或频率或频率)等于等于_的周期的周期(或频率或频率)，而与，而与物体的固有周期物体的固有周期(或频率或频率)_关。关。驱动力驱动力驱动力驱动力无无2共振共振做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者其振幅就越大，当二者_时，振幅达到最大，这
5、就是时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图共振现象。共振曲线如图2所示。所示。相等相等图图2思考判断思考判断(1)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。()(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。位移都是相同的。()(3)做简谐运动的质点，速度增大时，加速度可能增大。做简谐运动的质点，速度增大时，加速度可能增大。()(4)简谐运动的周期与振幅成正比。简谐运动的周期与振幅成正比。()(5)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。单摆在任何情况下的运动都是
6、简谐运动。()(6)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。()答案答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)简谐运动简谐运动1简谐运动中路程简谐运动中路程(s)与振幅与振幅(A)的关系的关系(1)质点在一个周期内通过的路程是振幅的质点在一个周期内通过的路程是振幅的4倍。倍。(2)质点在半个周期内通过的路程是振幅的质点在半个周期内通过的路程是振幅的2倍。倍。(3)质点在四分之一周期内通过的路程有三种情况：质点在四分之一周期内通过的路程有三种情况：计时起点对应质点在三个特殊位置计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处和一个两个最大位移处和一个平
7、衡位置平衡位置)时，时，sA；计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向平衡位计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向平衡位置运动时，置运动时，sA；计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向最大位计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向最大位移处运动时，移处运动时，s”、“”、“”或或“”)。图图3答案答案3简谐运动的对称性简谐运动的对称性如图如图4所示，一个质点在平衡位置所示，一个质点在平衡位置O点附点附近做简谐运动，若从近做简谐运动，若从O开始计时，经过开始计时，经过3 s质点第一次过质点第一次过M点；点；再继续运动，又经过再继续运动，又经过2 s它第二次经过它第二次经过M点
8、；则该质点第三次点；则该质点第三次经过经过M点所需要的时间是点所需要的时间是_或或_。图图4简谐运动的图象简谐运动的图象1简谐运动的数学表达式简谐运动的数学表达式xAsin(t)2根据简谐运动图象可获取的信息根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅振幅A、周期、周期T(或频率或频率f)和初相位和初相位(如图如图5所示所示)。图图5(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。某时刻振动质点离开平衡位置的位移。(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速小和正负分别表示各时刻质点的速度
9、的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定。度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定。(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴。轴。(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。能的变化情况。1应用图象分析运动过程应用图象分析运动过程(多选多选)如图如图6甲所示，水平的光滑杆甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以上
10、有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在点为平衡位置，在a、b两点之间两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知做简谐运动，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知()图图6A振子的振动周期等于振子的振动周期等于2t1B在在t0时刻，振子的位置在时刻，振子的位置在a点点C在在tt1时刻，振子的速度为零时刻，振子的速度为零D在在tt1时刻，振子的速度最大时刻，振子的速度最大E从从t1到到t2，振子正从，振子正从O点向点向b点运动点运动解析解析弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，
11、从振动图象同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从振动图象可以看出振子的振动周期为可以看出振子的振动周期为2t1，选项，选项A正确；在正确；在t0时刻，振子时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项，选项B错误；在错误；在tt1时刻，振子在平衡位置时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项，该时刻振子速度最大，选项C错误，错误，D正确；从正确；从t1到到t2，振子的位移方向沿正方向且在增加，所以振，振子的位移方向沿正方向且在增加，所以振子正从子正从O点向点向b点运动，选项点运动，选项E正确。正确。答案答案ADE2应用图象求解有关物理量应用
12、图象求解有关物理量(多选多选)一质点做简谐运动的图象一质点做简谐运动的图象如图如图7所示，下列说法不正确的是所示，下列说法不正确的是()图图7A质点振动频率是质点振动频率是4 HzB在在10 s内质点经过的路程是内质点经过的路程是20 cmC第第4 s末质点的速度是零末质点的速度是零D在在t1 s和和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同两时刻，质点位移大小相等、方向相同E在在t2 s和和t6 s两时刻，质点速度相同两时刻，质点速度相同解析解析读图可知，该简谐运动的周期为读图可知，该简谐运动的周期为4 s，频率为，频率为0.25 Hz，在，在10 s内质点经过的路程是内质点经过的路程是2.
13、54A20 cm。第。第4 s末的速度最大。末的速度最大。在在t1 s和和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反。在两时刻，质点位移大小相等、方向相反。在t2 s和和t6 s两时刻之间相差一个周期，故速度相同，选项两时刻之间相差一个周期，故速度相同，选项B、E正正确，确，A、C、D错误。错误。答案答案ACD求解简谐运动问题时，要紧紧抓住一个模型求解简谐运动问题时，要紧紧抓住一个模型水平方向振水平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量的变化规律，看到振动图象，头脑中立即呈现出中各物理量的变化规律，看到振动图象，
14、头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。反思总结反思总结单摆周期公式及用单摆测定重力加速度单摆周期公式及用单摆测定重力加速度3用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度(1)实验原理与操作实验原理与操作产生原因产生原因减小方法减小方法偶然误差偶然误差测量时间测量时间(单摆周期单摆周期)及及摆长时产生误差摆长时产生误差多次测量再求平均值多次测量再求平均值计时从单摆经过平衡位置时开始计时从单摆经过平衡位置时开始系统误差系统误差主要来源于单摆模型主要来源于单摆模型本身本身摆球要选体积小，密度大的摆球要选体积小，密度大的最大
15、摆角要小于最大摆角要小于10图图82单摆模型的应用单摆模型的应用(多选多选)如图如图9所示，为半径很大的光滑圆弧所示，为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段，小球轨道上的一小段，小球B静止在圆弧轨道的最低点静止在圆弧轨道的最低点O处，另有处，另有一小球一小球A自圆弧轨道上自圆弧轨道上C处由静止滚下，经时间处由静止滚下，经时间t与与B发生正碰。发生正碰。碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时第二次相碰时()图图9A相间隔的时间为相间隔的时间为4tB相间隔的时间为相间隔的时间为2tC将仍在将仍在O处相碰处相碰D可能在可能在O
16、点以外的其他地方相碰点以外的其他地方相碰E两球在碰撞的瞬间水平方向上的动量守恒两球在碰撞的瞬间水平方向上的动量守恒答案答案BCE3实验：用单摆测定重力加速度实验：用单摆测定重力加速度某同学在某同学在“用单摆测定重力用单摆测定重力加速度加速度”的实验中进行了如下的操作：的实验中进行了如下的操作：(1)用游标尺上有用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图10甲所示，可读出摆球的直径为甲所示，可读出摆球的直径为_cm。把摆球用细线悬。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L。图图10(2)用秒表测
17、量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为始计时并记为n1，单摆每经过最低点记一次数，当数到，单摆每经过最低点记一次数，当数到n60时秒表的示数如图时秒表的示数如图10乙所示，该单摆的周期是乙所示，该单摆的周期是T_s(结结果保留三位有效数字果保留三位有效数字)。(3)测量出多组周期测量出多组周期T、摆长、摆长L的数值后，画出的数值后，画出T2L图线如图图线如图10丙，此图线斜率的物理意义是丙，此图线斜率的物理意义是()(4)在在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线
18、将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小小()A偏大偏大 B偏小偏小C不变不变 D都有可能都有可能答案答案(1)2.06(2)2.28(3)C(4)C受迫振动和共振受迫振动和共振1自由振动、受迫振动和共振的关系比较自由振动、受迫振动和共振的关系比较自由振动自由振动受迫振动受迫振动共振共振受力情况受力情况仅受回复力仅受回复力受驱动力作用受驱动力作用受驱动力作用受驱动力作用振动周期或振动周期或频率频率由系统本身性质决由系统本身性质决定，即固有周期定，即固有周期T0或固有频率或固有频率f0由驱动力的周期或由驱动力的周期或频率决定
19、，即频率决定，即TT驱驱或或ff驱驱T驱驱T0或或f驱驱f0振动能量振动能量振动物体的机械能振动物体的机械能不变不变由产生驱动力的物由产生驱动力的物体提供体提供振动物体获得的振动物体获得的能量最大能量最大常见例子常见例子弹簧振子或单摆弹簧振子或单摆(05)机械工作时底座发机械工作时底座发生的振动生的振动共振筛、声音的共振筛、声音的共鸣等共鸣等2.对共振的理解对共振的理解(1)共振曲线：如图共振曲线：如图11所示，横坐标为驱所示，横坐标为驱动力频率动力频率f，纵坐标为振幅，纵坐标为振幅A。它直观地。它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知
20、，动振幅的影响，由图可知，f与与f0越接近，越接近，振幅振幅A越大；当越大；当ff0时，振幅时，振幅A最大。最大。图图11(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。恒，系统与外界时刻进行能量交换。1受迫振动受迫振动(多选多选)如图如图12所示，所示，A球振动后，通过水平细绳迫球振动后，通过水平细绳迫使使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是()图图12A只有只有A、C的振动周期相等的振动周期相等BC的振幅比的振幅比B的振幅小的振幅小CC的振幅比的振幅比B的
21、振幅大的振幅大DA、B、C的振动周期相等的振动周期相等EC与与A发生共振现象发生共振现象答案答案CDE2振动曲线分析振动曲线分析(多选多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振曲线(振幅振幅A与驱动力频率与驱动力频率f的关系的关系)如图如图13所示，则所示，则()图图13A此单摆的固有周期约为此单摆的固有周期约为2 sB此单摆的摆长约为此单摆的摆长约为1 mC若摆长增大，单摆的固有频率增大若摆长增大，单摆的固有频率增大D若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动E若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动答
22、案答案ABD3生活中的共振现象生活中的共振现象(多选多选)下列说法正确的是下列说法正确的是()A摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确B挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频步频C在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象是共振现象D部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌E较弱声音可振碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振较弱声音可振碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振答案
23、答案BDE1下列说法正确的是下列说法正确的是_。(填正确答案标号。填正确答案标号。)A在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比正比B弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变持不变C在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小谐振动的周期越小D系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率驱动力的频率E已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知
24、振已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向子在任意时刻运动速度的方向答案答案ABD2(多选多选)如图如图14所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是()图图14A甲、乙两单摆的摆长相等甲、乙两单摆的摆长相等B甲摆的振幅比乙摆大甲摆的振幅比乙摆大C甲摆的机械能比乙摆大甲摆的机械能比乙摆大D在在t0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆时有正向最大加速度的是乙摆E由图象可以求出当地的重力加速度由图象可以求出当地的重力加速度答案答案ABD4据某一科普杂志介绍，在含有某些金属矿物的矿区，其重力
25、据某一科普杂志介绍，在含有某些金属矿物的矿区，其重力加速度稍有偏大，几位同学通过加速度稍有偏大，几位同学通过“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验探究该问题。他们用最小刻度为毫米的直尺测得摆线的实验探究该问题。他们用最小刻度为毫米的直尺测得摆线的长度为的长度为92.00 cm，用游标为，用游标为10分度的卡尺测得摆球的直径分度的卡尺测得摆球的直径如图如图15所示，摆球的直径为所示，摆球的直径为_cm。将摆球从平衡位。将摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，当摆动稳定后，在摆球通过平衡位置时启动秒表，并数下当摆动稳定后，在摆球通过平衡位置时启动秒表，并数下“1”，直到摆球第直到摆球第30次同向通过平衡位置时按停秒表，秒表读数为次同向通过平衡位置时按停秒表，秒表读数为56 s，则单摆的周期为，则单摆的周期为_ s，该实验测得当地的重力，该实验测得当地的重力加速度为加速度为_m/s2。(以上结果均保留以上结果均保留3位有效数字位有效数字)图图15答案答案2.021.939.85
