1、 第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时时,有有 ,min21 一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和.设设,0lim0 xx,0lim0 xx,0 ,01 当当100 xx时时,有有2 ,02 当当200 xx时时,有有2 取取则当则当 00 xx 22 因此因此.0)(lim0 xx这说明当这说明当0 xx 时时,为无穷小量为无穷小量.（合肥工大（合肥工大P3
2、1P31定理）定理）说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，例如，nnnnnn2221211lim1(P56,题题 4(2)解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5类似可证类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设设,),(10 xx Mu 又设又设,0lim0 xx即即,0 ,02 当当),(20 xx 时时,有有M 取取 ,min21 则当则当),(0 xx 时时,就有就有 u u MM故故,0lim0 uxx即即 u是是0 xx 时的无穷小时的无穷
3、小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.oyx例例1.求求.sinlimxxx 解解:1sin x01lim xx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlim xxxxxysin说明说明:y=0 是是xxysin 的渐近线的渐近线.二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf 则有则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 证证:因因,)(lim,)(limBxgAxf 则有则有 BxgAxf)(,)(其中其中 ,为无穷小为无穷小)于是于是)(
4、)()()(BAxgxf)()(BA由定理由定理 1 可知可知 也是无穷小也是无穷小,再利用极限与无穷小再利用极限与无穷小BA 的关系定理的关系定理,知定理结论成立知定理结论成立.定理定理 3.若若推论推论:若若,)(lim,)(limBxgAxf 且且),()(xgxf 则则.BA(同济同济P45 定理定理 5)（合肥工大（合肥工大P28 推论推论2）)()()(xgxfx 利用保号性定理证明利用保号性定理证明.说明说明:定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令令定理定理 4.若若,)(lim,)(limBxgAxf 则有则有)()(lim
5、xgxf)(lim)(limxgxf提示提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明证明.说明说明:定理定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.)(lim)(limxfCxfC(C 为常数为常数)推论推论 2.nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数为正整数)例例2.设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP 试证试证).()(lim00 xPxPnnxx 证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1 nxxnxa0lim)(0 xPn BA 为无穷小为无穷小(详见详见P44)B2B1)
6、(1xg)(0 xx定理定理 5.若若,)(lim,)(limBxgAxf 且且 B0,则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证:因因,)(lim,)(limBxgAxf 有有,)(,)(BxgAxf其中其中 ,设设BAxgxf )()(BABA )(1 BB)(AB 无穷小无穷小有界有界BA 因此因此 由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理,得得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxf BAxgxf)()(为无穷小为无穷小,定理定理6.若若,lim,limByAxnnnn 则有则有)(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,00)3(时时且
7、且当当 BynBAyxnnn limBA BA 提示提示:因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数,故此定理故此定理 可由可由定理定理3,4,5 直接得出结论直接得出结论.x=3 时分母为时分母为 0!31lim3 xxx例例3.设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR 其中其中)(,)(xQxP都是都是多项式多项式,0)(0 xQ试证试证:.)()(lim00 xRxRxx 证证:)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR 说明说明:若若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则.例例4.934lim
8、223 xxxx)3)(3()1)(3(lim3 xxxxx62 31 若若例例5.求求.4532lim21 xxxx解解:x=1 时时3245lim21 xxxx0 31241512 4532lim21xxxx分母分母=0,分子分子0,但因但因例例6.求求.125934lim22 xxxxx解解:x时时,分子分子.21125219134limxxxxx 分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54 分母分母“抓大头抓大头”原式原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数)nmba,0(00 mn 当当(如如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)mmmxaxax
9、a 110limnnnbxbxb 110,00ba,0,mn 当当mn 当当三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7.设设,)(lim0axxx 且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau 则有则有 )(lim0 xfxx Aufau)(lim证证:Aufau)(lim,0 ,0 当当 au0时时,有有 Auf)(axxx)(lim0,0 ,02 当当200 xx时时,有有 ax)(对上述对上述取取 ,min21 则当则当 00 xx时时ax )(au 故故 0Axf)(Auf )(,因此因此式成立式成立.（合肥工大合肥工大P28P28定理定
10、理3 3）定理定理7.设设,)(lim0axxx 且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau 则有则有 )(lim0 xfxx Aufau)(lim 说明说明:若定理中若定理中,)(lim0 xxx 则类似可得则类似可得 )(lim0 xfxx Aufu )(lim例例7.求求解解:令令.93lim23 xxx932 xxu已知已知 ux3lim61(见见 P46 例例3)原式原式=uu61lim61 66(见见 P33 例例5)例例8.求求解解:方法方法 1.11lim1 xxx,xu 则则,1lim1 ux令令11112 uuxx1 u 原式原式)1(lim1
11、 uu2 方法方法 211lim1 xxx1)1)(1(lim1 xxxx)1(lim1 xx2 内容小结内容小结1.极限运算法则极限运算法则(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)极限四则运算法则极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法0)1xx 时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)0)2xx 时时,对对00型型,约去公因子约去公因子 x)3时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”(2)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量Th
12、1Th2Th3Th4Th5Th7思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在不存在存在存在若若xgxf)()(limxgxf 是否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存在.否则由否则由)()()()(xfxgxfxg 利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知)(limxg存在存在,与已知条件与已知条件矛盾矛盾.?321lim2222 nnnnnn解解:原式原式22)1(limnnnn )11(21limnn 21 2.问问3.求求.)1(lim2xxxx 解法解法 1 原式原式=xxxx 1lim21111lim2 xx21 解法解法 2 令令,1xt tttt1111
13、lim20 21 则则原式原式=22011limttt 111lim20 tt 0t4.试确定常数试确定常数 a 使使.0)1(lim33 xaxx解解:令令,1xt 则则 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此备用题备用题 设设?)(lim0 xfx)(xf解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令bxaxxxf 2322)(再利用后一极限式再利用后一极限式,得得xxfx)(lim30 可见可见0,3 ba是多项式是多项式,且且,22)(lim23 xxxfx,3)(lim0 xxfx求求.)(xf)(lim0 xbax 故故xxxxf322)(23 问问:
