1、第五章第五章 经验费率厘定经验费率厘定第五章第五章5.1 引言引言5.2 有限波动信度有限波动信度5.3 贝叶斯方法贝叶斯方法5.4 一致最精确信度一致最精确信度 5.5 NCD系统系统 费率厘定的重要目标：费率厘定的重要目标：1.收取收取足够多的足够多的保费以应付索赔；保费以应付索赔；2.保费应根据投保人的风险水平公平合理地保费应根据投保人的风险水平公平合理地分配。分配。5.1 引言引言例：例：假设某保险公司开发一新险种，保单组合假设某保险公司开发一新险种，保单组合由由10位投保人构成。开始，由于没有任何理赔位投保人构成。开始，由于没有任何理赔经验数据，只能先验地假定他们具有相似的风经验数据
2、，只能先验地假定他们具有相似的风险水平。然后假定每一投保人每年至多引发一险水平。然后假定每一投保人每年至多引发一次理赔，且理赔额为次理赔，且理赔额为1。最初，根据同行业的损。最初，根据同行业的损失水平，估计这一保单组合的保费为失水平，估计这一保单组合的保费为0.2，我们，我们称这种保费为称这种保费为先验保费先验保费，或集体保费。，或集体保费。这样的估计是否符合实际情形，需要经验数据这样的估计是否符合实际情形，需要经验数据来验证。为了搜集足够的理赔数据，保险公司来验证。为了搜集足够的理赔数据，保险公司连续追踪十年，采集的全部数据显示于下表。连续追踪十年，采集的全部数据显示于下表。请分析下表的数据
3、，说明保费收取是否合理，请分析下表的数据，说明保费收取是否合理，该如何改进。该如何改进。iS年份年份投保人投保人12345678910112111311141151116171111811911010.60.30.20.20.20.1000.700.23Sil（1）总体平均理赔额为）总体平均理赔额为23/1000.23。l（2）投保人）投保人9和和1的理赔记录明显偏高，的理赔记录明显偏高，0.7与与0.6的比例足以认为这二人的风险水平要劣于集体的的比例足以认为这二人的风险水平要劣于集体的风险水平；风险水平；l（3）投保人）投保人7、8和和10无理赔记录，表明他们的无理赔记录，表明他们的风险水平
4、又优于集体的风险水平。风险水平又优于集体的风险水平。经验费率厘定就是非寿险精算中用于消除风险子经验费率厘定就是非寿险精算中用于消除风险子集的非同质性而发展起来的一类方法。集的非同质性而发展起来的一类方法。这些方法主要包括两大类：这些方法主要包括两大类：一类是在保险年度开始前，根据被保险人最近几一类是在保险年度开始前，根据被保险人最近几个保险年度的理赔经验确定下一个保险年度的续个保险年度的理赔经验确定下一个保险年度的续期保费。期保费。另一类是在保险年度末，根据被保险人当年的理另一类是在保险年度末，根据被保险人当年的理赔经验来调整他在当年已经交纳的保险费。赔经验来调整他在当年已经交纳的保险费。一、
5、信度与保费一、信度与保费l保费的构成保费的构成)purepremium纯保费（保险费完全附加保费（应付难以预料的确定性赔付）附加保费费用附加（支付经营费用，代理费用，税金等）纯保费纯保费是保险公司为了支付该保单在保险期间的期望是保险公司为了支付该保单在保险期间的期望赔付成本而收取的保险费。可以分成两种情况考虑：赔付成本而收取的保险费。可以分成两种情况考虑：()iE C（1）个别保单情形）个别保单情形:，其中，其中pi表示第表示第i份保单份保单的纯保费，的纯保费，表示该保单的期望赔付成本。表示该保单的期望赔付成本。()iipE C（2）保单组合的情形）保单组合的情形 设有设有N个同质的保单在观察
6、时期内发生理赔，个同质的保单在观察时期内发生理赔，每一份保单的纯保费可以表示为每一份保单的纯保费可以表示为()E SpN其中其中E(S)表示保单组合的总理赔额的期望，表示保单组合的总理赔额的期望，如如200辆汽车总理赔额的期望为辆汽车总理赔额的期望为80000美元，美元，则保费为则保费为80000/200=400美元。美元。1.经验估费经验估费所谓经验费率厘定，就是在确定投保人的保费时，所谓经验费率厘定，就是在确定投保人的保费时，要考虑个人的理赔经验。要考虑个人的理赔经验。2.信度的产生信度的产生例：在劳工补偿保险中，根据近期经验，某例：在劳工补偿保险中，根据近期经验，某工匠应该收取工匠应该收
7、取5美元的保费；另一方面通过对美元的保费；另一方面通过对同类劳工保险调查显示，应收取保费同类劳工保险调查显示，应收取保费10元，元，问明年该工匠的保费应收取多少？问明年该工匠的保费应收取多少？例：近五年，每个司机发生事故的频率为例：近五年，每个司机发生事故的频率为0.2/年，年，某个司机发生的频率为某个司机发生的频率为0.6/年，问该司机在来年年，问该司机在来年发生事故的频率是多少？发生事故的频率是多少？保险公司在对某个投保人进行经验费率厘定时，保险公司在对某个投保人进行经验费率厘定时，必须考虑区别该投保人的风险水平与风险子集平必须考虑区别该投保人的风险水平与风险子集平均水平的差别中有多少是由
8、于随机波动所引起的，均水平的差别中有多少是由于随机波动所引起的，有多少是由于投保人真的优于或劣于风险子集平有多少是由于投保人真的优于或劣于风险子集平均水平而引起的。换句话说，均水平而引起的。换句话说，投保人的自身理赔投保人的自身理赔经验的可信度是多少？经验的可信度是多少？3.信度理论信度理论信度理论就是研究如何合理利用先验信息和个体理赔信度理论就是研究如何合理利用先验信息和个体理赔经验来进行估计，预测及制定后验保费。后验保费估经验来进行估计，预测及制定后验保费。后验保费估计可以下面公式来表示：计可以下面公式来表示：后验估计值后验估计值z经验值（经验值（1z）先验值先验值其中其中z（0z1）称为
9、）称为信度因子信度因子，后验保费估计值称为，后验保费估计值称为信度保费信度保费。只有正确地选择信度因子。只有正确地选择信度因子z，才能保证调，才能保证调整后的保险费接近于真实的风险水平。整后的保险费接近于真实的风险水平。当当 时，称为经验数据没有信度。时，称为经验数据没有信度。当当1z z 001z当当时，称经验数据具有完全信度。时，称经验数据具有完全信度。时，称为经验数据具有部分信度。时，称为经验数据具有部分信度。5.2 有限波动信度有限波动信度即古典信度理论，核心思想是从投保人的自身即古典信度理论，核心思想是从投保人的自身索赔经验来确定可信保费。需要确定当经验数索赔经验来确定可信保费。需要
10、确定当经验数据达到多大规模时，才可以给与据达到多大规模时，才可以给与100%的可信程的可信程度，此数据规模被称作完全可信度标准。度，此数据规模被称作完全可信度标准。一、数学模型一、数学模型1,jn设设Xj表示某投保人在过去时期表示某投保人在过去时期j的损失或理赔，的损失或理赔，也可以看作某保单组合中第也可以看作某保单组合中第j份保单的损失，份保单的损失，或者风险分级系统中第或者风险分级系统中第j类的损失。类的损失。假设假设()jE Xvar()jX11()nXnXX表示投保人或保单组合的损失经验。表示投保人或保单组合的损失经验。M表示先验获得的表示先验获得的 的估计值，的估计值，M通常称为手册
11、保费。通常称为手册保费。问题问题：如何确定：如何确定的值？的值？方法一：是忽略过去的经验数据，直接令方法一：是忽略过去的经验数据，直接令M。方法二：忽略方法二：忽略M，直接使用经验数据，即令，直接使用经验数据，即令.X方法三：取方法三：取M和和X的加权值。的加权值。(1)zXzM二、完全可信二、完全可信XX当观察值当观察值与真值与真值的差别相对于的差别相对于我们则认为我们则认为是稳定的，具有完全信度。是稳定的，具有完全信度。很小时，很小时，完全可信条件完全可信条件|()0,01XPrprp当当r接近接近0，p接近接近1时（通常选取时（通常选取r=0.05，p=0.9），），则对则对X赋予完全可
12、信。赋予完全可信。（1）由（由（1）有）有(|)XrnPpn定义定义inf(|)pyXyPypn（2）Xpy当当是连续变量时，满足|()pXPypn因此，若经验值因此，若经验值X是完全可信的，则有是完全可信的，则有/prny0prnnyn20(/)pnyr即 （4）X/0/n n如果经验值如果经验值是完全可信的，则变量是完全可信的，则变量X的变差系数的变差系数不大于不大于。几个常用的完全可信条件几个常用的完全可信条件()0,01XPrrprp 0prnnyn220()Var Xnn（1）（2）（3）（C1）202,nn此条件给出了经验值此条件给出了经验值X需要的最小样本量。需要的最小样本量。完
13、全可信所完全可信所（C2）20nn或者或者201niiXn此条件给出了为保证经验值此条件给出了为保证经验值X完全可信完全可信所需的最小总观察值。所需的最小总观察值。注：在一般情况下，注：在一般情况下，通常用估计值来代替。通常用估计值来代替。,是不可知的，是不可知的，设设2)(XVar由中心极限定理，当由中心极限定理，当 n充分大，充分大，1121()nniiiiniiXEXn XnVarX ()Zn X即即的渐近分布为标准正态分布的渐近分布为标准正态分布N(0,1)。py0n如何确定如何确定和和的值？的值？由()XPrp ()()n XnrPppnry 21(|)()()()()ppppppp
14、PZyPyZyyyy 1(1)/2pyp 例如，例如，10.90.9,(0.95)1.645py若若，则则0.05r 01082.41.n个体保单理赔额的完全可信条件个体保单理赔额的完全可信条件例例1 设设X表示理赔额，服从均值为表示理赔额，服从均值为5的指数分布，的指数分布，0.050.9rp，求理赔额估计值，求理赔额估计值 的完全可信条件（的完全可信条件（C1）和（）和（C2）。）。X假定假定解：设解：设X服从均值为服从均值为5的指数分布，的指数分布，()5,()25E XVar X设设n表示观察到的理赔额样本个数，表示观察到的理赔额样本个数，则条件（则条件（C1）和（）和（C2）2022
15、251082.411082.415nn2251082.411082.45412.055iX因此当样本数因此当样本数n大于大于1082时，理赔额估计值时，理赔额估计值完全可信，当观察到的理赔额总值不小于完全可信，当观察到的理赔额总值不小于5412.05时，理赔额估计值完全可信时，理赔额估计值完全可信.例例2：suppose past losses 1,.,nXXare available for a particular policyholder.The sample mean is to be used to estimate Determine the standard for full c
16、redibility.Then suppose there were 10 observations with 6 being zero and the others being 253,398,439,and 756.Determine the full-credibility standard for this case with r=0.05 and p=0.9.()jE X解：根据投保人的索赔经验，我们可以计解：根据投保人的索赔经验，我们可以计算出他的索赔额的期望和标准差无偏估计算出他的索赔额的期望和标准差无偏估计值分别为值分别为:10110184 6.iiXx 10222111267
17、.8910-19()()iiixXxnX，根据完全可信条件为根据完全可信条件为202,nn得得2267.891082.412279.51184.6n因此，至少需要有因此，至少需要有2279个样本数才能保证个样本数才能保证这个投保人的索赔经验是完全可信的。这个投保人的索赔经验是完全可信的。NN12nNNN，n个体保单理赔次数的完全可信条件个体保单理赔次数的完全可信条件例例3：设设表示单位时间内理赔次数，设表示单位时间内理赔次数，设服从服从Poisson（），），为过去为过去个时间内发生的理赔次数，个时间内发生的理赔次数，问过去至少有多少理赔事件发生时，才能使理赔问过去至少有多少理赔事件发生时，才
18、能使理赔次数估计值完全可信。次数估计值完全可信。至少有至少有1083个理赔事件发生，才能使理赔次数估计值个理赔事件发生，才能使理赔次数估计值完全可信。完全可信。0 050 9.,.rp解：由完全可信性条件解：由完全可信性条件(C2)知，知，1()1082.41082.4()niiVar NNE N保单组合的总理赔额的完全可信条件保单组合的总理赔额的完全可信条件设设S表示单位时期内的某保单总理赔额，表示单位时期内的某保单总理赔额，N表示表示单位时期内理赔发生数，单位时期内理赔发生数，Yi表示第表示第i次理赔额，次理赔额，假设每次理赔额假设每次理赔额Yi独立同分布，且都与理赔次独立同分布，且都与理
19、赔次数数N独立。则总理赔额为独立。则总理赔额为 12NSY YY+()()()E SE Y E N2()(|)(|)()()()()Var SE Var S NVar E S NE YVar NE N Var Y1,nSS（C1）和（）和（C2）可以得到总理赔额经验值）可以得到总理赔额经验值的完全可信条件如下：的完全可信条件如下：表示总理赔额的经验数据，由条件表示总理赔额的经验数据，由条件（C1）20022()()()()()()()()Var SE YVar NE N Var YnnnE SE N E Y此条件给出了为保证过去总理赔额经验值完全此条件给出了为保证过去总理赔额经验值完全可信所需
20、要的最小的样本量。可信所需要的最小的样本量。（C2）2001()()()()()()()()niiVar SE YVar NE N Var YSnnE SE N E Y此条件给出了完全可信所需此条件给出了完全可信所需n个时期内的最小总理赔额之和。个时期内的最小总理赔额之和。(C3)设设Ni表示第表示第i个时期发生的理赔数，个时期发生的理赔数，1niiN表示过去表示过去n个时期内发生的总理赔数。个时期内发生的总理赔数。由（由（C1）我们可以得到总理赔额可信的）我们可以得到总理赔额可信的另一个等价条件：另一个等价条件：20021()()()()()()()()()niiVar SE YVar NE
21、 N Var YNnnE S E YE N E Y此条件给出了完全可信所需的最小的总理赔次数此条件给出了完全可信所需的最小的总理赔次数.Then Determine if these standards are met for the data in example 2,where it is now known that the first three nonzero payments came from a single claim but the final one was from two claims,one for 129 and the other for 627.例例4(例例2
22、续续)：Suppose that past losses 1,.,nXXare available for a particular policyholder and it is reasonable to assume that are independent and jXcompound Poisson distributed,that ()()()12iiiiiNXYYYwhere eachiNis Poisson with parameter and the claim size distribution Y has mean Yand Variance 2.Y确定总理赔额经验值完全可
23、信的最小样本量、最小确定总理赔额经验值完全可信的最小样本量、最小总理赔次数和最小总理赔额。总理赔次数和最小总理赔额。解：设解：设 1,.,nNN表示该投保人第表示该投保人第i期的理赔次数，期的理赔次数，设第设第i张保单的总理赔额张保单的总理赔额()()()12iiiiiNXYYY()ijY表示第表示第i期内第期内第j次理赔额，次理赔额，1,in(),YE Y2(),YVar Y由由(),jYE X222()()jXYYVar X 总理赔额经验值完全可信所需要的最小的样总理赔额经验值完全可信所需要的最小的样本量：本量：20022()()()()()()()()Var XE YVar NE N V
24、ar YnnnE XE N E Y202(1)YYn完全可信所需的最小的总理赔次数：完全可信所需的最小的总理赔次数：20021()()()()()()()()()niiVar XE YVar NE N Var YNnnE X E YE N E Y202(1)YYn完全可信所需完全可信所需n个时期内的最小总理赔额之和：个时期内的最小总理赔额之和：201()nYiYiYXn2001()()()()()()()()niiVar XE YVar NE N Var YXnnE XE N E Y即即22021082.41189.35(1)(1)2734.020.5369.2YYnn本例中，本例中，的估计值
25、为的估计值为0.5，可验证几个完全可，可验证几个完全可信条件是否满足。如信条件是否满足。如显然，显然，10个样本数远远不能满足所需的完全可信条件。个样本数远远不能满足所需的完全可信条件。请同学们自行验证另外两个完全可信条件是否满足？请同学们自行验证另外两个完全可信条件是否满足？例例5 You are given:(i)The number of claims has a Poisson distribution.(ii)Claim sizes have a Pareto distribution with parameters=0.5 and=6.(iii)The number of clai
26、ms and claim sizes are independent.(iv)The observed pure premium should be within 2%of the expected pure premium 90%of the time.Determine the expected total number of claims needed for full credibility.解解:根据题意，总理赔额根据题意，总理赔额S的完全可信条件为的完全可信条件为|()0,01SPrprp设设Y表示个体保单的理赔额。表示个体保单的理赔额。()YE Y2()YVar Y()jYE S
27、222()()jXYYVar S 由条件（由条件（C1）有：）有：220022()(1)YYnnn202(1)YYnn为过去为过去n个时期内发生理赔个时期内发生理赔事件的期望次数，也即的期望次数，也即 其中其中n1()niiENn2021(1)nYiiYNn20(/)pnyr1(1)/2pyp 0.5/50.1Y2222(0.5)(0.1)0.0155(4)Y代入完全可信条件知，为使总理赔额估计值代入完全可信条件知，为使总理赔额估计值完全可信，总理赔期望次数最低不能少于完全可信，总理赔期望次数最低不能少于221.6450.015()(1)16,9130.020.1三、部分可信三、部分可信若投保
28、人的经验不满足完全可信条件，可采用若投保人的经验不满足完全可信条件，可采用加权平均的办法来计算投保人的信度保费，即加权平均的办法来计算投保人的信度保费，即(1)cPzXz M其中其中M称为手册保费，称为手册保费，M通常等于通常等于 。确定确定z的公式通常有两种方法，的公式通常有两种方法，一、一致最精确信度方法：一、一致最精确信度方法：nznk二、有限波动信度法：控制信度保费二、有限波动信度法：控制信度保费PC的波动性，的波动性，即控制即控制PC的方差使其小于完全可信条件时方差的方差使其小于完全可信条件时方差的上界的上界 .20/n即选取即选取z满足满足20222()var(1)var()cVa
29、r PnzXz MzXzn若若z小于小于1，则计算出，则计算出0nzn因此，由有限波动信度得到的信度因子的公式为因此，由有限波动信度得到的信度因子的公式为0min(,1)nzn0nzn完全可信条件所要求的最小变异系数完全可信条件所要求的最小变异系数与损失分布的变异系数的比与损失分布的变异系数的比.(*)公式公式(*)计算信度因子计算信度因子z的方法也称为的方法也称为平方根法平方根法.例例6（例（例2续）续）Suppose in example 2 that the manual premium M is 225.Determine the credibility estimate.解：根据公式
30、解：根据公式0min(,1)nzn2000.066232279.51nnnznn信度保费为信度保费为0.06623*(184.6)0.93377(225)222.32cP 由此例看出，信度因子由此例看出，信度因子z等于实际样本数除以等于实际样本数除以完全可信条件所需的样本数的平方根。完全可信条件所需的样本数的平方根。例例7.已知某医疗保险中每个投保人的年度医疗花费平已知某医疗保险中每个投保人的年度医疗花费平均为均为175，标准差为，标准差为140，现有一个团体医疗保险，在，现有一个团体医疗保险，在第一年内有第一年内有100个人投保，在第二年有个人投保，在第二年有110个人投保，个人投保，两年内
31、人均获赔两年内人均获赔150元，问这个团体经验数据是完全可元，问这个团体经验数据是完全可信的还是部分可信的，求明年如果有信的还是部分可信的，求明年如果有125人将投保，他人将投保，他们的总信度费用是多少？们的总信度费用是多少？0.050.9rp解：根据已知条件，解：根据已知条件，175,140,150,X110100210,n 01082.41n 0175210min(,1)min(,1)0.551401082.41nzn因此这个数据是部分可信的，信度因子是因此这个数据是部分可信的，信度因子是0.55。每个人的信度保费为每个人的信度保费为0.55 1500.45 175161.25cP 总信度保费为总信度保费为 125161.25=20156.25
