《数字信号处理》第三版课后习题答案.docx

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1、数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 (n)及其加权和表示题 1 图所示的序列。解:x(n)(n4) 2 (n2)(n 1) 2 (n)(n 1) 2 (n2) 4 (n3)0.5 (n4) 2 (n6)2n5, 4n12. 给定信号: x(n)6,0n40,其它(1) 画出 x(n)序列的波形,标上各序列的值;(2) 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列;(3) 令 x (n)2x(n2),试画出 x (n)波形;11(4) 令 x (n)2x(n2),试画出 x (n)波形;22(5) 令 x (n)2x(2 n),试画出 x (n)波形。33解:(

2、1)x(n)的波形如题 2 解图(一)所示。(2)x(n)3 (n4)(n3)(n2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n2) 6 (n3) 6 (n4)(3) x (n)的波形是 x(n)的波形右移 2 位,在乘以 2,画出图形如1题 2 解图(二)所示。(4) x (n)的波形是 x(n)的波形左移 2 位,在乘以 2,画出图形如244题 2 解图(三)所示。(5) 画x (n) 时,先画x(-n)的波形,然后再右移2 位, x (n) 波形如33题 2 解图(四)所示。3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。(1) x(n) = A cos( 3 p n

3、 - p ) ,A 是常数;788(2) x(n) = e j ( 1 n-p) 。解:(1) w = 3 p, 2p= 14 ,这是有理数,因此是周期序列,周期是 T=14;7 w3(2) w = 1 , 2p8 w= 16p ,这是无理数,因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述,x(n) 与 y(n) 分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。(1) y(n) = x(n) + 2x(n -1) + 3x(n - 2) ;(3) y(n) = x(n - n ) , n00(5) y(n) = x2 (n) ;为整常数;(7) y(n) = nm=0x(m) 。解

4、:(1)令:输入为x(n - n ) ,输出为0y (n) = x(n - n ) + 2x(n - n -1)+ 3x(n - n- 2)000y(n - n ) = x(n - n ) + 2x(n - n -1)+ 3x(n - n- 2) = y (n)0000故该系统是时不变系统。y(n) = Tax (n) + bx (n)12= ax (n) + bx (n) + 2(ax (n -1) + bx (n -1)+ 3(ax (n - 2) + bx (n - 2)121212Tax (n) = ax (n) + 2ax (n -1) + 3ax (n - 2)1111Tbx (n

5、) = bx (n) + 2bx (n -1) + 3bx (n - 2)2222Tax (n) + bx (n) = aTx (n) + bTx (n)1212故该系统是线性系统。(3)这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。令输入为 x(n - n ) ,输出为 y (n) = x(n - n- n ) ,因为110y(n - n ) = x(n - n - n ) = y (n)110故延时器是一个时不变系统。又因为Tax (n) + bx (n) = ax (n - n ) + bx (n - n ) = aT x (n) + bT x (n)12102012故延时器

6、是线性系统。(5)y(n) = x2 (n)令:输入为 x(n - n ) ,输出为 y (n) = x2 (n - n ) ,因为00y(n - n ) = x2 (n - n ) = y (n)00故系统是时不变系统。又因为Tax (n) + bx (n) = (ax (n) + bx (n)21212 aTx (n) + bTx (n)12= ax2 (n) + bx2 (n)12因此系统是非线性系统。(7)y(n) = nm=0x(m)令:输入为 x(n - n ) ,输出为 y (n) = n0m=0n-n0x(m - n ) ,因为0y(n - n ) =0故该系统是时变系统。又因

7、为m=0x(m) y (n)Tax (n) + bx (n) = n (ax (m) + bx (m) = aTx (n) + bTx (n)121212m=0故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。(1) y(n) =1 N -1 x(n - k ) ;Nk =0(3) y(n) =n+n0k =n-n0x(k ) ;(5) y(n) = ex (n ) 。解:(1)只要 N 1,该系统就是因果系统,因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。如果 x(n) M ,则y(n) M ,因此系统是稳定系统。(3)如果 x(n) M , y

8、(n) n+n0k =n-n0x(k) 2n0+1 M ,因此系统是稳定的。系统是非因果的,因为输出还和 x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 x(n) M ,则 y(n) = ex(n) e x(n) eM ,因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n) 和输入序列 x(n) 如题7 图所示,要求画出输出输出 y(n) 的波形。解:解法(1):采用图解法y(n) = x(n) * h(n) = m=0x(m)h(n - m)图解法的过程如题 7 解图所示。解法(2):采用解析法。按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的

9、表达式:x(n) = -d (n + 2) + d (n -1) + 2d (n - 3) h(n) = 2d (n) + d (n -1) + 1 d (n - 2)2因为x(n)* d (n) = x(n)x(n)* Ad (n - k ) = Ax(n - k )y(n) = x(n)*2 d (n) +d (n -1) + 1 d (n - 2)所以2= 2x(n) + x(n -1) + 1 x(n - 2)2将 x(n)的表达式代入上式,得到y(n) = -2d (n + 2) -d (n +1) - 0.5d (n) + 2d (n -1) + d (n - 2)+ 4.5d (

10、n - 3) + 2d (n - 4) + d (n - 5)8. 设线性时不变系统的单位取样响应 h(n) 和输入 x(n) 分别有以下三种情况,分别求出输出 y(n) 。(1) h(n) = R (n), x(n) = R (n) ;45(2) h(n) = 2R (n), x(n) = d (n) -d (n - 2) ;4(3) h(n) = 0.5n u(n), xn解:= R (n) 。5(1)y(n) = x(n)* h(n) =m=-R (m)R (n - m)45先确定求和域,由R (m) 和R (n - m) 确定对于 m 的非零区间如下:450 m 3,n - 4 m n

11、根据非零区间,将 n 分成四种情况求解: n 0, y(n) = 0 0 n 3, y(n) = nm=01 = n +1 4 n 7, y(n) = 7 n, y(n) = 0 最后结果为3m=n-41 = 8 - n0,n 7 y(n) = n +1,0 n 38 - n,4 n 7y(n)的波形如题 8 解图(一)所示。(2)y(n) = 2R (n)*d(n) -d(n - 2) = 2R (n) - 2R (n - 2)444= 2d (n) +d(n -1)-d(n - 4) -d(n - 5)y(n)的波形如题 8 解图(二)所示.(3)y(n) = x(n)* h(n)= m=

12、-R (m)0.5n-mu(n - m) = 0.5n 5m=-R (m)0.5-m u(n - m)5y(n)对于 m 的非零区间为0 m 4, m n 。 n 0, y(n) = 0 0 n 4, y(n) = 0.5n4nm=01- 0.5- n-10.5- m =0.5n = -(1- 0.5- n-1 )0.5n = 2 - 0.5n1- 0.5-11- 0.5-55 n, y(n) = 0.5nm=00.5- m =0.5n = 31 0.5n1- 0.5-1最后写成统一表达式:y(n) = (2 - 0.5n )R (n) + 31 0.5n u(n - 5)511. 设系统由下

13、面差分方程描述:y(n) = 1 y(n -1) + x(n) + 1 x(n -1);22设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。解:令: x(n) = d (n)h(n) = 1 h(n -1) + d(n) + 1 d(n -1) 22n = 0, h(0) = 1 h(-1) + d(0) + 1 d(-1) = 122n = 1,h(1)= 1 h(0) + d (1)+ 1 d(0) = 11122n = 2, h(2) =h(1)=1122n = 3,h(3) =h(2) = ( )222归纳起来,结果为12. 有一连续信号 xah(n) = ( )n-1 u(n -1)

14、 +d(n) 21(t) = cos(2p ft +j), 式中, f = 20Hz,j = p2(1) 求出 xa(t) 的周期。(2) 用采样间隔T = 0.02s 对 xa达式。(t) 进行采样,试写出采样信号 xa(t) 的表(3) 画出对应 xa周期。(t) 的时域离散信号(序列) x(n) 的波形,并求出 x(n) 的第二章教材第二章习题解答1. 设 X (e jw ) 和Y (e jw ) 分别是 x(n) 和 y(n) 的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换:(1) x(n - n ) ;0(2) x(-n) ;(3) x(n) y(n) ;(4) x(2n) 。解:(1) F

15、Tx(n - n ) =0n=-x(n - n )e- jwn0令n = n - n , n = n + n ,则00FTx(n - n ) = x(n )e- jw(n +n ) = e- jwn X (e )jw000n=-(2) FTx*(n) = n=-jwnx*(n)e= n=-x(n)e jwn * = X *(e- jw )(3) FTx(-n) = 令n = -n ,则n=-x(-n)e- jwnFTx(-n) =n =-jwnx(n )e= X (e- jw )(4)FT x(n)* y(n) = X (e jw )Y (e jw )证明:x(n)* y(n) =m=-x(m

16、) y(n - m)FTx(n)* y(n) = x(m) y(n - m)e- jwn令 k=n-m,则n=- m=-FTx(n)* y(n) = x(m) y(k )e- jwke- jwnk =- m=-= k =-y(k)e- jwkm=-x(m)e- jwn1,w w= X (e jw )Y (e jw )2. 已知 X (e jw ) = 00, w w p0求 X (e jw) 的傅里叶反变换 x(n) 。解:1wsin w n0x(n) = 2p 0 e jwndw =- wp n03. 线性时不变系统的频率响应(传输函数) H (e jw ) = H (e jw ) e jq

17、( w) , 如果单位脉冲响应 h(n) 为实序列,试证明输入 x(n) = A cos(w n +j ) 的稳态响应0为y(n) = A H (e jw ) cosw n +j +q(w ) 。00解:假设输入信号 x(n) = e jw0n ,系统单位脉冲相应为 h(n),系统输出为y ( n ) = h ( n )* x ( n ) =m =-h ( m )e jw 0 ( n - m ) = e jw 0 nm =-jw n0h ( m )e - jw 0 m = H (e jw 0 )e上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列, 且频率相同,但幅度和相位决定于网络传

18、输函数,利用该性质解此题。00x(n) = A cos(w n +j ) = 1 Ae jw ne jj + e- jw ne- jj 021y(n) =Ae jj e jw n H (e jw ) + e- jj e- jw n H (e- jw )200001=Ae jj e jw n H (e jw ) e jj( w ) + e- jj e- jw n H (e- jw ) e jq (- w ) 2000000上式中 H (e jw) 是 w 的偶函数,相位函数是 w 的奇函数,H (e jw ) = H (e- jw ),q(w) = -q(-w) 1y(n) =A H (e jw

19、 ) e jj e jw ne jq ( w ) + e- jje- jw ne- jq (w ) 2000000= A H (e jw ) cos(w n +j +q(w )000,其它4. 设 x(n) = 1,n = 0,1将x(n) 以 4 为周期进行周期延拓,形成周期序列x(n) ,画出 x(n) 和 x(n) 的波形,求出 x(n) 的离散傅里叶级数 X (k) 和傅里叶变换。解:画出 x(n)和 x(n) 的波形如题 4 解图所示。X (k ) = DFSx(n) = 3x(n)e- j 2p kn = 1-ppe j kn = 1+ e- j kn=0422n=0,= e- j

20、 p k (e j p k + e- j p k ) = 2cos( pp-k) e j k44X (k ) 以 4 为周期,或者444- 1p1p1pj sin 1 p k1- j p kn1- e- jp ke 2 k (e j 2k - e- j 2 k )- j 1p k2,X (k) =e 2n=0=1- e- j p k= e 4e- j 1p k (e j 1p k - e- j 1p k )sin 1 p kX (k ) 以 4 为周期244442pX (e jw ) = FTx(n) =4 X (k)d (w - 2p k)4k =-= p X (k )d (w - p k

21、) 22k =-4= p cos(p k )e- j pkd (w - p k )42k =-5. 设如图所示的序列 x(n) 的 FT 用 X (e jw ) 表示,不直接求出 X (e jw ) , 完成下列运算:(1) X (e j 0 ) ;(2)p X (e jw )dw ;-p(5) p2 X (e jw ) dw-p解:7(1)X (e j 0 ) =n=-3x(n) = 6(2) p X (e jw )dw = x(0) 2p = 4p-p(5) p X (e jw ) 2 dw = 2p 7-pn=-3x(n) 2 = 28p6. 试求如下序列的傅里叶变换:(2) x (n)

22、 = 1 d (n +1) +d (n) + 1 d (n -1);222(3) x (n) = anu(n),0 a 13解:(2)X (e jw ) = x (n)e- jwn = 1 e jw +1+ 1 e- jw2222n=-1= 1+(e jw + e- jw ) = 1+ cos w2(3)X(e jw ) =3 anu(n)e- jwn = ane- jwn =11- ae- jw7. 设:(1) x(n) 是实偶函数,n=-n=0(2)x(n) 是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,x(n) 的傅里叶变换性质。解:令 X (e jw ) =n=-x(n)e- jwn(1)x

23、(n)是实、偶函数, X (e jw ) =两边取共轭,得到n=-x(n)e- jwnX * (e jw ) =因此 X (e jw ) = X * (e- jw )n=-x(n)e jwn =n=-x(n)e- j (- w)n = X (e- jw )上式说明 x(n)是实序列, X (e jw ) 具有共轭对称性质。X (e jw ) =n=-x(n)e- jwn =n=-x(n)cos wn + j sin wn由于 x(n)是偶函数,x(n)sinwn 是奇函数,那么因此 X (e jw ) =n=-x(n) cos wnn=-x(n)sin wn = 0该式说明 X (e jw )

24、 是实函数,且是 w 的偶函数。总结以上 x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换 X (e jw ) 是实、偶函数。(2)x(n)是实、奇函数。上面已推出,由于 x(n)是实序列, X (e jw ) 具有共轭对称性质,即X (e jw ) = X * (e- jw )X (e jw ) =n=-x(n)e- jwn =n=-x(n)cos wn + j sin wn由于 x(n)是奇函数,上式中 x(n)cos wn 是奇函数,那么 n=-x(n) cos wn = 0因此 X (e jw ) = j n=-x(n)sin wn这说明 X (e jw ) 是纯虚数,且是 w 的奇函数。10

25、. 若序列 h(n) 是实因果序列, 其傅里叶变换的实部如下式:H (e jw ) = 1 + cos w R求序列h(n) 及其傅里叶变换H (e jw ) 。解:H (e jw ) = 1+ cos w = 1+ 1 e jw + 1 e- jw = FTh (n) = h (n)e- jwnR2221 , n = -1een=-h (n) = 1,n = 0e 1, n = 1 20, n 00,其它nH (e jw ) = h(n)e - jwn = 1+ e - jw = 2e - jw / 2 cos w2n=-12. 设系统的单位取样响应 h(n) = anu(n),0 a 1

26、, 输入序列为x(n) = d (n) + 2d(n - 2) ,完成下面各题:(1) 求出系统输出序列 y(n) ;(2) 分别求出x(n) 、h(n) 和 y(n) 的傅里叶变换。解:(1)(2)y(n) = h(n)* x(n) = anu(n)*d(n) + 2d(n - 2)= anu(n) + 2an-2u(n - 2)X (e jw ) = n=-d (n) + 2d(n - 2)e- jwn = 1+ 2e- j 2 wH (e jw ) = n=-anu(n)e- jwn = 1+ 2e- j 2wX (e jw ) =1- ae- jwn=0ane- jwn =11- ae

27、- jw13. 已知 xaY (e jw ) = H (e jw )(t) = 2cos(2 p f t) ,式中 f00= 100Hz ,以采样频率 fs= 400Hz 对x (t) 进行采样,得到采样信号x (t) 和时域离散信号 x(n) ,试完成下面aa各题:(1) 写出 xa(t) 的傅里叶变换表示式 Xa( jW) ;(2) 写出 x (t) 和 x(n) 的表达式;a(3) 分别求出 x (t) 的傅里叶变换和 x(n) 序列的傅里叶变换。a解:(1)X ( jW) = x (t)e- jWtdt = 2cos( W t)e- jWtdta- a-0= (e jW t +e- j

28、W t )e- jWtdt00-上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数d 函数,它的傅里叶变换可以表示成:X ( jW) = 2pd (W - Wa0) + d (W + W0)(2)x (t) = x (t)d (t - nT ) = 2cos( W nT )d (t - nT )an=-a0n=-x(n) = 2cos( W nT ),- n 12(3)ZT-2- n u(-n -1) =n=-n=-n=0-2- n u(-n -1)z- n = n=-1-2- n z- n = n=1-2n zn= -2z =1, z 11- 2z1- 2-1 z-12(6)9-ZT2 n u(

29、n) - u(n -10) =2-n z-nn=0= 1- 2-10 z-10 ,0 z 1- 2-1 z-116. 已知:32X (z) =1+- 1-z-11- 2z 12求出对应 X (z) 的各种可能的序列的表达式。解:有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况:三种收敛域对应三种不同的原序列。(1)当收敛域 z 0.5 时,12p j X (Z )zn-1dzcx(n) =令5 - 7 z-15z - 7F (z) = X (z)zn-1 =zn-1 =zn(1- 0.5z-1 )(1- 2z-1 )(z - 0.5)(z - 2)n 0 ,因为 c 内无极点,x

30、(n)=0;n -1,C 内有极点 0,但 z=0 是一个 n 阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有 z1= 0.5, z2= 2 ,那么x(n) = - Re sF (z),0.5 - Re sF (z), 2=(5z - 7) zn(z - 0.5)(z - 2)1(z - 0.5)z =0.5-(5z - 7) zn(z - 0.5)(z - 2)(z - 2)z =2= -3 ( )n + 2 2n u(-n -1) 2(2)当收敛域0.5 z 2 时,n 0 ,C 内有极点 0.5;F (z) =(5z - 7)zn (z - 0.5)(z - 2)( 1)n 2x(n) = Re

31、 sF (z),0.5 = 3n 0 ,C 内有极点 0.5,0,但0 是一个 n 阶极点,改成求c 外极点留数,c 外极点只有一个,即 2,( )n u(n) - 2 2n u(-n -1)12最后得到 x(n) = 3x(n) = - Re sF (z), 2 = -2 2nu(-n -1)(3)当收敛域2 z 时,n 0 ,C 内有极点 0.5,2;F (z) =(5z - 7)zn(z - 0.5)(z - 2)( 1)n + 2 2n2x(n) = Re sF (z),0.5 + Re sF (z),2 = 3n0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此 x(n)=0。或者这样分析,C

32、 内有极点 0.5,2,0,但 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,c 外无极点,所以 x(n)=0。最后得到( 1)n + 2 2n u(n)2x(n) = 317. 已知 x(n) = anu(n),0 a a(2) ZT nx(n) = -z ddzn=-X (z) =az-1(1- az-1 )2, z a(3) ZT a- nu(-n) = - a- n z- n = n=0n=0an zn =1, z a-11- az18. 已知 X (z) =-3z-12 - 5z-1 + 2z-2,分别求:(1) 收敛域0.5 z 2 对应的原序列x(n) 。解:12p j X (

33、z)zn-1dzcx(n) =-3z-1-3 znF (z) = X (z)zn-1 =zn-1 =2 - 5z-1 + 2z-22( z - 0.5)(z - 2)(1)当收敛域0.5 z 2 时, n 0 , c 内有极点 0.5,x(n) = Re sF (z),0.5 = 0.5n = 2- n , n 2 时,n 0, c 内有极点 0.5,2,x(n) = Re sF (z),0.5 + Re sF (z),2-3 zn= 0.5n +(z - 2)2(z - 0.5)(z - 2)= 0.5n - 2nz = 2n 0, c 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极

34、点,改成求 c 外极点留数,可是 c 外没有极点,因此 x(n) = 0 , 最后得到x(n) = (0.5n - 2n )u(n)25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n) = anu(n), h(n) = bnu(n),0 a 1,0 b 1 ,试:(1) 用卷积法求网络输出 y(n) ;(2) 用 ZT 法求网络输出 y(n) 。解:(1) 用卷积法求 y(n)y(n) = h(n) * x(n) =m=-bmu(m)an-mu(n - m) , n 0 ,y(n) =nm=0an-mbm = annm=0a-mbm =an1- a- n-1bn+1 = an+1 - bn+1 ,1- a-1ba - bn 0 ,y(n) = 0最后得到(2) 用 ZT 法求 y(n)y(n) =1an+1 - bn+1 a - bu(n)1X (z) =1- az-1, H (z) =)(11- bz-1(Y (z) = X (z)H (z) =1- az-1

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