1、数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 (n)及其加权和表示题 1 图所示的序列。解：x(n)(n4) 2 (n2)(n 1) 2 (n)(n 1) 2 (n2) 4 (n3)0.5 (n4) 2 (n6)2n5, 4n12. 给定信号： x(n)6,0n40,其它（1） 画出 x(n)序列的波形，标上各序列的值；（2） 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列；（3） 令 x (n)2x(n2)，试画出 x (n)波形；11（4） 令 x (n)2x(n2)，试画出 x (n)波形；22（5） 令 x (n)2x(2 n)，试画出 x (n)波形。33解：（
2、1）x(n)的波形如题 2 解图（一）所示。（2）x(n)3 (n4)(n3)(n2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n2) 6 (n3) 6 (n4)（3） x (n)的波形是 x(n)的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如1题 2 解图（二）所示。（4） x (n)的波形是 x(n)的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如244题 2 解图（三）所示。（5） 画x (n) 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2 位， x (n) 波形如33题 2 解图（四）所示。3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1） x(n) = A cos( 3 p n
3、 - p ) ，A 是常数；788（2） x(n) = e j ( 1 n-p) 。解：（1） w = 3 p, 2p= 14 ，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14；7 w3（2） w = 1 , 2p8 w= 16p ，这是无理数，因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n) 与 y(n) 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1） y(n) = x(n) + 2x(n -1) + 3x(n - 2) ；（3） y(n) = x(n - n ) ， n00（5） y(n) = x2 (n) ；为整常数；（7） y(n) = nm=0x(m) 。解
4、：（1）令：输入为x(n - n ) ，输出为0y (n) = x(n - n ) + 2x(n - n -1)+ 3x(n - n- 2)000y(n - n ) = x(n - n ) + 2x(n - n -1)+ 3x(n - n- 2) = y (n)0000故该系统是时不变系统。y(n) = Tax (n) + bx (n)12= ax (n) + bx (n) + 2(ax (n -1) + bx (n -1)+ 3(ax (n - 2) + bx (n - 2)121212Tax (n) = ax (n) + 2ax (n -1) + 3ax (n - 2)1111Tbx (n
5、) = bx (n) + 2bx (n -1) + 3bx (n - 2)2222Tax (n) + bx (n) = aTx (n) + bTx (n)1212故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为 x(n - n ) ，输出为 y (n) = x(n - n- n ) ，因为110y(n - n ) = x(n - n - n ) = y (n)110故延时器是一个时不变系统。又因为Tax (n) + bx (n) = ax (n - n ) + bx (n - n ) = aT x (n) + bT x (n)12102012故延时器
6、是线性系统。（5）y(n) = x2 (n)令：输入为 x(n - n ) ，输出为 y (n) = x2 (n - n ) ，因为00y(n - n ) = x2 (n - n ) = y (n)00故系统是时不变系统。又因为Tax (n) + bx (n) = (ax (n) + bx (n)21212 aTx (n) + bTx (n)12= ax2 (n) + bx2 (n)12因此系统是非线性系统。（7）y(n) = nm=0x(m)令：输入为 x(n - n ) ，输出为 y (n) = n0m=0n-n0x(m - n ) ，因为0y(n - n ) =0故该系统是时变系统。又因
7、为m=0x(m) y (n)Tax (n) + bx (n) = n (ax (m) + bx (m) = aTx (n) + bTx (n)121212m=0故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1） y(n) =1 N -1 x(n - k ) ；Nk =0（3） y(n) =n+n0k =n-n0x(k ) ；（5） y(n) = ex (n ) 。解：（1）只要 N 1，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。如果 x(n) M ，则y(n) M ，因此系统是稳定系统。（3）如果 x(n) M ， y
8、(n) n+n0k =n-n0x(k) 2n0+1 M ，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 x(n) M ，则 y(n) = ex(n) e x(n) eM ，因此系统是稳定的。7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n) 和输入序列 x(n) 如题7 图所示，要求画出输出输出 y(n) 的波形。解：解法（1）:采用图解法y(n) = x(n) * h(n) = m=0x(m)h(n - m)图解法的过程如题 7 解图所示。解法（2）:采用解析法。按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的
9、表达式:x(n) = -d (n + 2) + d (n -1) + 2d (n - 3) h(n) = 2d (n) + d (n -1) + 1 d (n - 2)2因为x(n)* d (n) = x(n)x(n)* Ad (n - k ) = Ax(n - k )y(n) = x(n)*2 d (n) +d (n -1) + 1 d (n - 2)所以2= 2x(n) + x(n -1) + 1 x(n - 2)2将 x(n)的表达式代入上式，得到y(n) = -2d (n + 2) -d (n +1) - 0.5d (n) + 2d (n -1) + d (n - 2)+ 4.5d (
10、n - 3) + 2d (n - 4) + d (n - 5)8. 设线性时不变系统的单位取样响应 h(n) 和输入 x(n) 分别有以下三种情况，分别求出输出 y(n) 。（1） h(n) = R (n), x(n) = R (n) ；45（2） h(n) = 2R (n), x(n) = d (n) -d (n - 2) ；4（3） h(n) = 0.5n u(n), xn解：= R (n) 。5（1）y(n) = x(n)* h(n) =m=-R (m)R (n - m)45先确定求和域，由R (m) 和R (n - m) 确定对于 m 的非零区间如下：450 m 3,n - 4 m n
11、根据非零区间，将 n 分成四种情况求解： n 0, y(n) = 0 0 n 3, y(n) = nm=01 = n +1 4 n 7, y(n) = 7 n, y(n) = 0 最后结果为3m=n-41 = 8 - n0,n 7 y(n) = n +1,0 n 38 - n,4 n 7y(n)的波形如题 8 解图（一）所示。（2）y(n) = 2R (n)*d(n) -d(n - 2) = 2R (n) - 2R (n - 2)444= 2d (n) +d(n -1)-d(n - 4) -d(n - 5)y(n)的波形如题 8 解图（二）所示.（3）y(n) = x(n)* h(n)= m=
12、-R (m)0.5n-mu(n - m) = 0.5n 5m=-R (m)0.5-m u(n - m)5y(n)对于 m 的非零区间为0 m 4, m n 。 n 0, y(n) = 0 0 n 4, y(n) = 0.5n4nm=01- 0.5- n-10.5- m =0.5n = -(1- 0.5- n-1 )0.5n = 2 - 0.5n1- 0.5-11- 0.5-55 n, y(n) = 0.5nm=00.5- m =0.5n = 31 0.5n1- 0.5-1最后写成统一表达式：y(n) = (2 - 0.5n )R (n) + 31 0.5n u(n - 5)511. 设系统由下
13、面差分方程描述：y(n) = 1 y(n -1) + x(n) + 1 x(n -1)；22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令： x(n) = d (n)h(n) = 1 h(n -1) + d(n) + 1 d(n -1) 22n = 0, h(0) = 1 h(-1) + d(0) + 1 d(-1) = 122n = 1,h(1)= 1 h(0) + d (1)+ 1 d(0) = 11122n = 2, h(2) =h(1)=1122n = 3,h(3) =h(2) = ( )222归纳起来，结果为12. 有一连续信号 xah(n) = ( )n-1 u(n -1)
14、 +d(n) 21(t) = cos(2p ft +j), 式中， f = 20Hz,j = p2（1） 求出 xa(t) 的周期。（2） 用采样间隔T = 0.02s 对 xa达式。(t) 进行采样，试写出采样信号 xa(t) 的表（3） 画出对应 xa周期。(t) 的时域离散信号(序列) x(n) 的波形，并求出 x(n) 的第二章教材第二章习题解答1. 设 X (e jw ) 和Y (e jw ) 分别是 x(n) 和 y(n) 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：（1） x(n - n ) ；0（2） x(-n) ；（3） x(n) y(n) ；（4） x(2n) 。解：（1） F
15、Tx(n - n ) =0n=-x(n - n )e- jwn0令n = n - n , n = n + n ，则00FTx(n - n ) = x(n )e- jw(n +n ) = e- jwn X (e )jw000n=-（2） FTx*(n) = n=-jwnx*(n)e= n=-x(n)e jwn * = X *(e- jw )（3） FTx(-n) = 令n = -n ，则n=-x(-n)e- jwnFTx(-n) =n =-jwnx(n )e= X (e- jw )（4）FT x(n)* y(n) = X (e jw )Y (e jw )证明：x(n)* y(n) =m=-x(m
16、) y(n - m)FTx(n)* y(n) = x(m) y(n - m)e- jwn令 k=n-m，则n=- m=-FTx(n)* y(n) = x(m) y(k )e- jwke- jwnk =- m=-= k =-y(k)e- jwkm=-x(m)e- jwn1,w w= X (e jw )Y (e jw )2. 已知 X (e jw ) = 00, w w p0求 X (e jw) 的傅里叶反变换 x(n) 。解：1wsin w n0x(n) = 2p 0 e jwndw =- wp n03. 线性时不变系统的频率响应(传输函数) H (e jw ) = H (e jw ) e jq
17、( w) , 如果单位脉冲响应 h(n) 为实序列，试证明输入 x(n) = A cos(w n +j ) 的稳态响应0为y(n) = A H (e jw ) cosw n +j +q(w ) 。00解：假设输入信号 x(n) = e jw0n ，系统单位脉冲相应为 h(n)，系统输出为y ( n ) = h ( n )* x ( n ) =m =-h ( m )e jw 0 ( n - m ) = e jw 0 nm =-jw n0h ( m )e - jw 0 m = H (e jw 0 )e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列， 且频率相同，但幅度和相位决定于网络传
18、输函数，利用该性质解此题。00x(n) = A cos(w n +j ) = 1 Ae jw ne jj + e- jw ne- jj 021y(n) =Ae jj e jw n H (e jw ) + e- jj e- jw n H (e- jw )200001=Ae jj e jw n H (e jw ) e jj( w ) + e- jj e- jw n H (e- jw ) e jq (- w ) 2000000上式中 H (e jw) 是 w 的偶函数，相位函数是 w 的奇函数，H (e jw ) = H (e- jw ),q(w) = -q(-w) 1y(n) =A H (e jw
19、 ) e jj e jw ne jq ( w ) + e- jje- jw ne- jq (w ) 2000000= A H (e jw ) cos(w n +j +q(w )000,其它4. 设 x(n) = 1,n = 0,1将x(n) 以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n) ，画出 x(n) 和 x(n) 的波形，求出 x(n) 的离散傅里叶级数 X (k) 和傅里叶变换。解：画出 x(n)和 x(n) 的波形如题 4 解图所示。X (k ) = DFSx(n) = 3x(n)e- j 2p kn = 1-ppe j kn = 1+ e- j kn=0422n=0,= e- j
20、 p k (e j p k + e- j p k ) = 2cos( pp-k) e j k44X (k ) 以 4 为周期，或者444- 1p1p1pj sin 1 p k1- j p kn1- e- jp ke 2 k (e j 2k - e- j 2 k )- j 1p k2,X (k) =e 2n=0=1- e- j p k= e 4e- j 1p k (e j 1p k - e- j 1p k )sin 1 p kX (k ) 以 4 为周期244442pX (e jw ) = FTx(n) =4 X (k)d (w - 2p k)4k =-= p X (k )d (w - p k
21、) 22k =-4= p cos(p k )e- j pkd (w - p k )42k =-5. 设如图所示的序列 x(n) 的 FT 用 X (e jw ) 表示，不直接求出 X (e jw ) ， 完成下列运算：（1） X (e j 0 ) ；（2）p X (e jw )dw ；-p（5） p2 X (e jw ) dw-p解：7（1）X (e j 0 ) =n=-3x(n) = 6（2） p X (e jw )dw = x(0) 2p = 4p-p（5） p X (e jw ) 2 dw = 2p 7-pn=-3x(n) 2 = 28p6. 试求如下序列的傅里叶变换:（2） x (n)
22、 = 1 d (n +1) +d (n) + 1 d (n -1)；222（3） x (n) = anu(n),0 a 13解：（2）X (e jw ) = x (n)e- jwn = 1 e jw +1+ 1 e- jw2222n=-1= 1+(e jw + e- jw ) = 1+ cos w2（3）X(e jw ) =3 anu(n)e- jwn = ane- jwn =11- ae- jw7. 设:（1） x(n) 是实偶函数，n=-n=0（2）x(n) 是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n) 的傅里叶变换性质。解：令 X (e jw ) =n=-x(n)e- jwn（1）x
23、(n)是实、偶函数， X (e jw ) =两边取共轭，得到n=-x(n)e- jwnX * (e jw ) =因此 X (e jw ) = X * (e- jw )n=-x(n)e jwn =n=-x(n)e- j (- w)n = X (e- jw )上式说明 x(n)是实序列， X (e jw ) 具有共轭对称性质。X (e jw ) =n=-x(n)e- jwn =n=-x(n)cos wn + j sin wn由于 x(n)是偶函数，x(n)sinwn 是奇函数，那么因此 X (e jw ) =n=-x(n) cos wnn=-x(n)sin wn = 0该式说明 X (e jw )
24、 是实函数，且是 w 的偶函数。总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 X (e jw ) 是实、偶函数。（2）x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于 x(n)是实序列， X (e jw ) 具有共轭对称性质，即X (e jw ) = X * (e- jw )X (e jw ) =n=-x(n)e- jwn =n=-x(n)cos wn + j sin wn由于 x(n)是奇函数，上式中 x(n)cos wn 是奇函数，那么 n=-x(n) cos wn = 0因此 X (e jw ) = j n=-x(n)sin wn这说明 X (e jw ) 是纯虚数，且是 w 的奇函数。10
25、. 若序列 h(n) 是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式:H (e jw ) = 1 + cos w R求序列h(n) 及其傅里叶变换H (e jw ) 。解：H (e jw ) = 1+ cos w = 1+ 1 e jw + 1 e- jw = FTh (n) = h (n)e- jwnR2221 , n = -1een=-h (n) = 1,n = 0e 1, n = 1 20, n 00,其它nH (e jw ) = h(n)e - jwn = 1+ e - jw = 2e - jw / 2 cos w2n=-12. 设系统的单位取样响应 h(n) = anu(n),0 a 1
26、， 输入序列为x(n) = d (n) + 2d(n - 2) ，完成下面各题：（1） 求出系统输出序列 y(n) ；（2） 分别求出x(n) 、h(n) 和 y(n) 的傅里叶变换。解：（1）（2）y(n) = h(n)* x(n) = anu(n)*d(n) + 2d(n - 2)= anu(n) + 2an-2u(n - 2)X (e jw ) = n=-d (n) + 2d(n - 2)e- jwn = 1+ 2e- j 2 wH (e jw ) = n=-anu(n)e- jwn = 1+ 2e- j 2wX (e jw ) =1- ae- jwn=0ane- jwn =11- ae
27、- jw13. 已知 xaY (e jw ) = H (e jw )(t) = 2cos(2 p f t) ，式中 f00= 100Hz ，以采样频率 fs= 400Hz 对x (t) 进行采样，得到采样信号x (t) 和时域离散信号 x(n) ，试完成下面aa各题：（1） 写出 xa(t) 的傅里叶变换表示式 Xa( jW) ；（2） 写出 x (t) 和 x(n) 的表达式；a（3） 分别求出 x (t) 的傅里叶变换和 x(n) 序列的傅里叶变换。a解：（1）X ( jW) = x (t)e- jWtdt = 2cos( W t)e- jWtdta- a-0= (e jW t +e- j
28、W t )e- jWtdt00-上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数d 函数，它的傅里叶变换可以表示成：X ( jW) = 2pd (W - Wa0) + d (W + W0)（2）x (t) = x (t)d (t - nT ) = 2cos( W nT )d (t - nT )an=-a0n=-x(n) = 2cos( W nT ),- n 12（3）ZT-2- n u(-n -1) =n=-n=-n=0-2- n u(-n -1)z- n = n=-1-2- n z- n = n=1-2n zn= -2z =1, z 11- 2z1- 2-1 z-12（6）9-ZT2 n u(
29、n) - u(n -10) =2-n z-nn=0= 1- 2-10 z-10 ,0 z 1- 2-1 z-116. 已知:32X (z) =1+- 1-z-11- 2z 12求出对应 X (z) 的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域 z 0.5 时，12p j X (Z )zn-1dzcx(n) =令5 - 7 z-15z - 7F (z) = X (z)zn-1 =zn-1 =zn(1- 0.5z-1 )(1- 2z-1 )(z - 0.5)(z - 2)n 0 ，因为 c 内无极点，x
30、(n)=0；n -1，C 内有极点 0，但 z=0 是一个 n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有 z1= 0.5, z2= 2 ，那么x(n) = - Re sF (z),0.5 - Re sF (z), 2=(5z - 7) zn(z - 0.5)(z - 2)1(z - 0.5)z =0.5-(5z - 7) zn(z - 0.5)(z - 2)(z - 2)z =2= -3 ( )n + 2 2n u(-n -1) 2（2）当收敛域0.5 z 2 时，n 0 ，C 内有极点 0.5；F (z) =(5z - 7)zn (z - 0.5)(z - 2)( 1)n 2x(n) = Re
31、 sF (z),0.5 = 3n 0 ，C 内有极点 0.5，0，但0 是一个 n 阶极点，改成求c 外极点留数，c 外极点只有一个，即 2，( )n u(n) - 2 2n u(-n -1)12最后得到 x(n) = 3x(n) = - Re sF (z), 2 = -2 2nu(-n -1)（3）当收敛域2 z 时，n 0 ，C 内有极点 0.5，2；F (z) =(5z - 7)zn(z - 0.5)(z - 2)( 1)n + 2 2n2x(n) = Re sF (z),0.5 + Re sF (z),2 = 3n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此 x(n)=0。或者这样分析，C
32、 内有极点 0.5，2，0，但 0 是一个 n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外无极点，所以 x(n)=0。最后得到( 1)n + 2 2n u(n)2x(n) = 317. 已知 x(n) = anu(n),0 a a（2） ZT nx(n) = -z ddzn=-X (z) =az-1(1- az-1 )2, z a（3） ZT a- nu(-n) = - a- n z- n = n=0n=0an zn =1, z a-11- az18. 已知 X (z) =-3z-12 - 5z-1 + 2z-2，分别求：（1） 收敛域0.5 z 2 对应的原序列x(n) 。解：12p j X (
33、z)zn-1dzcx(n) =-3z-1-3 znF (z) = X (z)zn-1 =zn-1 =2 - 5z-1 + 2z-22( z - 0.5)(z - 2)（1）当收敛域0.5 z 2 时， n 0 ， c 内有极点 0.5，x(n) = Re sF (z),0.5 = 0.5n = 2- n , n 2 时，n 0, c 内有极点 0.5,2,x(n) = Re sF (z),0.5 + Re sF (z),2-3 zn= 0.5n +(z - 2)2(z - 0.5)(z - 2)= 0.5n - 2nz = 2n 0, c 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极
34、点,改成求 c 外极点留数,可是 c 外没有极点,因此 x(n) = 0 , 最后得到x(n) = (0.5n - 2n )u(n)25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n) = anu(n), h(n) = bnu(n),0 a 1,0 b 1 ，试：（1） 用卷积法求网络输出 y(n) ；（2） 用 ZT 法求网络输出 y(n) 。解：（1） 用卷积法求 y(n)y(n) = h(n) * x(n) =m=-bmu(m)an-mu(n - m) ， n 0 ,y(n) =nm=0an-mbm = annm=0a-mbm =an1- a- n-1bn+1 = an+1 - bn+1 ，1- a-1ba - bn 0 ，y(n) = 0最后得到（2） 用 ZT 法求 y(n)y(n) =1an+1 - bn+1 a - bu(n)1X (z) =1- az-1, H (z) =)(11- bz-1(Y (z) = X (z)H (z) =1- az-1
