1、2021初三二模几何综合分类整理（教师版）手拉手（3）K字图（3）对角互补（3）截长补短（1）三线合一（1）特殊三角形（1）合计12题一手拉手（共3小题）1.（2021海淀二模）已知MON=90，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，OAP=，将线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转60，得到线段OC，作CHON于点H（1）如图1，=60依题意补全图形；连接BP，求BPH的度数；（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明 【答案】27（本小题满分7分）（1）下图即为所求：（2）BPH=90， 解： 线段AP
2、绕点A逆时针旋转60得到AB， AB=AP，且PAB=60 ABP是等边三角形 BPA=60OAP=60， APO=30， BPO=BPA+APO=90 BPH=90 （3）OA=2CH. 证明：连接BP，BC，由（2）可知，ABP是等边三角形， BA=BP，ABP=BPA=60 线段OB绕点O顺时针旋转60得到OC， OB=OC，BOC=60 BOC是等边三角形 BO=BC，OBC=60 ABO=60-OBP=PBC ABOPBC AO=PC，BPC=BAOOAP=， BAO=BAP+OAP= 60+ BPC=60+ BPN=180-APO-BPA=120-(90-)=30+， HPC=BP
3、C-BPN=30 CHON， CHO=90 在RtCHP中， OA=2CH 2. （2021燕山二模类似石景山一模）在等腰三角形ABC中，点P是内一动点，连接AP，BP，将APB绕点逆时针旋转，使边与重合，得到ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点（点与点D不重合）（1）依题意补全图和图2；由作图知，BAP与CAD的数量关系为 ；（2）探究与APM的数量关系为 ；（3）如图1,若DP平分ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明. 【答案】解：（1）依题意补全图和图2；由作图知，BAP与CAD的数量关系为 相等 ； 3分（2）ADM=APM或ADM +APM=180 5分（
4、3）如图，线段，之间的数量关系是：6分 证明：由作图可知ABP ACD APB=ADC , AP=AD, BP=CD, ADM=APM 平分ADC， ADP=PDC AP=AD， APD=ADP APD=PDC AP/CM PAD=ADM= ， APM=M 又由（2）知，ADM=APM= OP=OA， OM=OD OP+OM=OM+OD PM=AD =AP . BM=BP +PM . BM=CD+AP 7分 3.（2021房山二模）如图，已知是矩形的对角线，点是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，使点在射线上，连接.（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3
5、）用等式表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）补全图形如图所示： .2分 （2）是矩形的对角线，延长至，.将线段绕点逆时针旋转，得到线段，使线段在射线上，.的平分线与的平分线交于点， ，. .4分（3）答：. .5分证明：在上截取，连接，是等边三角形，.将线段绕点逆时针旋转，得到线段，.在与中，. .，. .7分二K字图（共3题）4.（2021西城二模）如图，在ABC中，点P为ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且，过点C作，垂足为D.（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数最关系；（2）如图2，当时，用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；在线段A
6、P上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值.【答案】27.（本小题满分7分）（1）解：补全图形如图7所示1分AP=2CD2分（2）AP=2CD证明：如图8，作BEAP于点E，作CFBE交EB的延长线于点F，则F=FED=BEP=90CDPA于点D，ADC=CDE=90四边形CDEF为矩形DCF=902+3=90ACB=901+3=901=2AC=BC，ADC=F=90CD=CF，AD=BF四边形CDEF为正方形DE=EF=CDAPB=45，BEP=90可得PBE=APB=45EP=BEAP=AD+DE+EP=BF+DE+BE=EF+DE=2CD5分解析：法：类似法一，过B作BFCD于F，B
7、EAP于E，设AD为x，DE=BF=CD设为y，则DF=BE=EP=y-x，于是AP=AD+DE+EP=x+y+y-x=2y=2CD ；法：延长线段DC和PB交于点H，过B作BEDC于E,由AA判得CHBBPA,；法：在AP右上方作等腰RtAPE，AE交CD于F，链接CE。由AA旋转相似判得ACEABP；法：过点B作BFAB，使得BF=AB，延长AC和EB交于点F，AEB=APB=45，A、B、P、E四点共圆，则ACEEAP，可得AE=AF=AC+CF=2AC，AP=2CD。画图见图96分7分5.（2021东城二模）已知ADE和ABC都是等腰直角三角形，ADE=BAC=90，P为AE的中点，连
8、接DP(1)如图1，点A, B , D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上. 在图2中，按要求补全图形，并证明BAE=ACP； 连接BD，交AE于点F判断线段BF与DF的数量关系，并证明【答案】27.解：（1）DP与AE的位置关系：DPAE；-1分（2）补全图形，如图：-2分 证明：BAC=90，BAE+CAE=90ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，DPAE，即APD=90 -3分点C，D，P在同一条直线上，ACP+CAE=90BAE=ACP. -4分 (3) 线段BF与DF的数
9、量关系：BF=DF -5分证明：如图，过点B作BHAE于点HAHB=APD=90. -6分 BAE=ACP,AB=AC,BAH ACP(AAS)BH=AP=DPBHF=DPF，BFH=DFP，BFH DFP(AAS)BF=DF -7分6.（2021平谷二模）在中，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作过点B作.(1)求证：CM=BN；(2)取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图2，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明； 25 【答案】(1) 补全图形.1 证明：AMCP，BNCP AMC=BNC=90 1+2=90ACB=901+3=902=3.2AC=BCACMCBN（AAS
10、） CM=BN.3(2)依题意补全图形结论：AM=BN+.4 证明：连接OC.5 ACB=90AC=BC， O是AB中点OC=OB，3=4=45ACMCBNAM=CN，1+3=4+21=2CM=BNOCMOBN（SAS）.6 OM=ON，5=65+7=906+7=90AM=BN+ .7法二：延长NO，交AM于点H.5 O是AB中点OA=OBAMCP，BNCPAMBN1=23=4OAHOBN（ASA）.6AH=BN ，HO=ON AM=CN，CM=BNMH=MN AMN=90HM=MN，O是HN中点HM=AM=BN+ .7三对角互补（共3题）7（2021门头沟区二模）已知，如图，MAN=90，点
11、B是MAN的内一点，且到AM，AN的距离相等过点B做 射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90交AN于点D(1)依题意补全图形；(2)求证：BC=BD；(3)连接AB，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系，并证明【答案】27（本小题满分7分）解：(1)依题意补全图形（略）；1分(2)证明：过B作BEAM，BFAN，垂足分别为E，F，则BE=BF MAN=CBD=90，ACB+ADB=180ACB+BCE=180，BCE=ADBBEAM，BFAN，BEC=BFD=90，BECBFDBC=BD3分(3) AC+AD=AB，4分证明：过B作BGAB交AN于点G5分BGABABG=
12、90ABG =CBD=90，ABC=GBDACB+ABD=180，ABD+GDB=180，ACB =GDBBC=BD，ABCGBD6分AB=BG点B到MAN的两边AM，AN的距离相等，BAG =MAN =45，AG=AB，AC+AD=AB7分8.（2021丰台二模）已知MON=90，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），且OAOB，OP平分MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF=OA，连接CF（1）依题意补全图形；（2）求证：CB=CF；（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明 答案：（1）如图所示：（2
13、）法1：【利用全等和垂直平分线性质】证明：连接CA.OP平分MON，AOCFOC.在AOC和FOC中，AOCFOC. ACFC.CE是线段AB的垂直平分线，CBCA.CBCF.法2：【利用正方形的对称性、垂直平分线的性质】证明：过点A作MO的垂线AQ交OP于点Q，连接FQ，连接AC.OP平分MON，AOCFOC.在AOQ和FOQ中，AOQFOQAQFQ OFQ=OAQ=90AOB=90四边形AOFQ是正方形CACFCE是线段AB的垂直平分线CACBCBCF法3：利用全等、角平分线的性质、垂直平分线的性质证明：过点C分别作OM、ON的垂线CR、CQ，垂足分别为R、Q，连接AC，如图C是OP上一点
14、，OP平分MON，CROM、CQONCRCQ在RtCRO和RtCQO中RtCRORtCQO （HL）OROQ OAOFOAOROFOQ 即 RAQF在RtCRA和RtCQF 中RtCRARtCQF (SAS)CACFCE是线段AB的垂直平分线CACBCBCF（3）. 借助第二问的结论思考法1：【利用全等、四边形内角和360、邻补角的性质、等腰直角三角形性质】证明：CBCF，CFBCBF.AOCFOC，CAOCFB.CAOCBF.CBO+CBF180，CAO+CBO180.AOB+ACB180.AOB90，ACB90.又CACB，ACB是等腰直角三角形.法2：【利用正方形的对称性、邻补角的性质、
15、垂直平分线的性质、等腰直角三角形性质】证明：由（2）问【法2】得知：四边形AOFQ是正方形CACF CFBCAOCBCF，CFB=CBFCAO=CBFCBF+CBO180CAO+CBO180AOB+ACB180.AOB90，ACB90.又CACB，ACB是等腰直角三角形.法3：利用全等性质、角平分线的性质、等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、等腰直角三角形性质证明：由（2）问【法3】得知：RtCRARtCQFACRFCQCBCF，CQCFFCQ=BCQACR=BCQROQ=CQO=CRO=90RCQ=90ACBACR+RCB=BCQ+RCB=RCQ=90又CACB，ACB是等腰直角三角形.
16、9.（2021石景山二模）已知等边，为边中点，为边上一点（不与A，重合），连接. （1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接依题意补全图1；此时与的数量关系为： ，= .（2）如图2，若，在边上有一点，使得.直接用等式表示线段，之间的数量关系，并证明图2图1【答案】27解:（1）补全图形如图1 1分线段与的数量关系为；=. 3分（2）证明：取线段中点，连接如图2 点是边的中点，点是边的中点, 是等边三角形， ， ， 7分解析：法：作CDH=120，由SAS得CDMHDN。于是可得CD=BD=BH=BN+NH=BN+MC=BN+DN，2CD=2BN+
17、ND.四截长补短（共1题）10.（2021朝阳二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F（1）如图1，当点P在正方形内部，且ADP=60时，求证：DE+CE=DF；（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明 【答案】26.（1）证明：设AB=a四边形ABCD是正方形，AD=CD=aDA=DP，ADP=60，APD是等边三角形PAD=60在RtADF中，DF=1分在RtDCE中，CE=，DE=DE+CE=DF2分 解析：法：延长DE至H，使得EH
18、=EC，连接HC，再证DCHDPF；法：过P作PHPD交CF于H， 再证PHF为等腰三角形即可。法：延长CB至H，使得HE=DE，再证DCHADF即可。（2）依题意补全图形，如图所示. 3分DE-CE=DF. 4分证明：作DHAP交BC于点H.DHAF， HDC+AFD=90. HDC+DHC=90， AFD =DHC. AD=DC，ADF=DCH=90， ADFDCH. 5分 DF=CH.DA=DP，ADH=EDH. ADBC，ADH=EHD.EDH=EHD. ED=EH. 6分 DE-CE=DF.解析：法：截长：在DE上截取DH=DF，链接CP、CH，设CDE为x，通过等腰三角形的常用倒角
19、可得CHE=HCE，即CE=HE，所以DE=DH+HE=DF+CE。法：补短：延长FD至H，使得DH=CE，可得AHDDBC，所以DB=AH，通过等腰三角形和直角三角形的常用倒角可得HAF=HFA=45+x，所以AH=HF。于是DB=AH=HF=HD+DF=CE+DF。五三线合一（共1题）11（2021顺义二模）已知：如图，在Rt中，ACB=90，CAB=30，P是AB边上任意一点，D是AB边的中点，连接CP，CD，并将PC绕点P逆时针旋转60得到PE，连接AE（1）求证：CD=BC；（2）依题意补全图形；用等式表示线段PE与AE的数量关系，并证明 【答案】27（1）解：ACB=90，CAB=
20、30 ，ABC= 60 1分D是AB边的中点，CD=BD CDB是等边三角形CD=BC2分（2）3分线段PE与AE之间的数量关系为PE=AE. 证明：连接EC,EDPE=PC，EPC=60EPC是等边三角形CP=CE，ECP=60DCB=60ECD=PCB,CD=CB，CPBCED， CDE=B=60,CDB=60ADE=60，ADE=CDEDA=DCADE CDEAE=CEAE=PE7分六特殊三角形（共1题）12（2021昌平二模）如图，在等腰直角ABC中，AB=AC，BAC=90，点D是CA延长线上任意一点，点E是AB延长线上任意一点，且AD=BE.过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的
21、延长线于点G.（1）依题意补全图形；（2）当AED=，请你用含的式子表示AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路.【答案】27.（1）1分（2）当AED=时，AGC=45-.推理如下：AB=AC，BAC=90，ABCACB=45.EAD=90，ADE +AED =90AFDE，DFA =90，ADE+DAF=90DAFAED=，DAFCAG=，ACB=CAG +AGC=45AGC=45-. 4分（3）CG=AD 5分证明思路1：构造等腰直角BEH，接下来证ACGABH.7分证明思路2：在AE上截取AM=AD，连接DM.得到ADM是等腰直角.接下来证ACGEMD.7分
22、 证明思路3：过点E上作AC的平行线交GB的延长线于点P D，连接AP，DP.证BEP是等腰直角，四边形AEPD是矩形.接下来再证ACGABP.7分坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。 由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。 终于有一天，他到达了那座
23、山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于
24、你。一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。 感恩，是一种美德，是一种境界。 感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。 感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。 感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。 感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。 感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨
